Mpetencji do podejmowania samodzielnych decyzji dzielimy organy na

76

2.5.1. Pierwiastek kwadratowy z funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.5.2. Pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.5.3. Funkcja potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.6. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.6.1. Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.6.2. Funkcja logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.6.3. Krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.6.4. Sumy funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.6.5. Uogólniona krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.6.6. Iloczyn funkcji potęgowej i wykładniczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.7. Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.1.1. De?nicje i wykresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.1.2. Dziedziny i przebieg wykresu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.7.2. Podstawowe relacje dla funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.7.2.1. Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi . . . . . . . . . . .

86

2.7.2.2. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy dwóch kątów (wzory su-

macyjne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.7.2.3. Funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta . . . . . . . . . . . . .

87

2.7.2.4. Funkcje trygonometryczne kąta połówkowego . . . . . . . . . . . . . .

88

2.7.2.5. Suma i różnica funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . .

88

2.7.2.6. Iloczyny funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

2.7.2.7. Potęgi funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.7.3. Opis drgań harmonicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.7.3.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.7.3.2. Superpozycja drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.7.3.3. Przedstawienie wektorowe drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.7.3.4. Drgania tłumione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.8. Funkcje cyklometryczne (funkcje arcus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.8.1. De?nicja funkcji cyklometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.8.2. Wartość główna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

2.8.3. Relacje pomiędzy wartościami głównymi funkcji cyklometrycznych . . . . . .

93

2.8.4. Wzory dla argumentów ujemnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.8.5. Suma i różnica arc sin x i arc sin y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.8.6. Suma i różnica arc cos x i arc cos y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.8.7. Suma i różnica arc tg x i arc tg y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

2.8.8. Pewne szczególne relacje między arc sin x, arc cos x, arc tg x . . . . . . . . . .

94

2.9. Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.9.1. De?nicja funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.9.2. Wykresy funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.2.1. Sinus hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.2.2. Cosinus hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.2.3. Tangens hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.2.4. Cotangens hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.3. Ważne wzory dla funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.3.1. Funkcje hiperboliczne tego samego argumentu . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.3.2. Przedstawienie jednej funkcji hiperbolicznej przez inne tego samego

argumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.9.3.3. Wzory dla ujemnych argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.9.3.4. Funkcje hiperboliczne sumy i różnicy dwóch argumentów . . . . . . .

97

2.9.3.5. Funkcje hiperboliczne podwojonego argumentu . . . . . . . . . . . . .

97

2.9.3.6. Wzory de Moivre’a dla funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . .

97

2.9.3.7. Funkcje hiperboliczne argumentu połówkowego . . . . . . . . . . . . .

97

2.9.3.8. Sumy i różnice funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2.9.3.9. Relacje między funkcjami hiperbolicznymi i trygonometrycznymi dla

argumentów zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2.10. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych (funkcje area) . . .

98

2.10.1. De?nicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2.10.1.1. Area sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2.10.1.2. Area cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.10.1.3. Area tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.10.1.4. Area cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.10.2. Wyrażenie funkcji area za pomocą logarytmów wyrażeń algebraicznych .

100

2.10.3. Relacje między różnymi funkcjami area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

2.10.4. Sumy i różnice funkcji area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

2.10.5. Wzory dla ujemnych argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.11. Krzywe trzeciego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.11.1. Parabola półsześcienna lub parabola Neila . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.11.2. Wersiera Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.11.3. Liść Kartezjusza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

2.11.4. Cysoida Dioklesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

2.11.5. Strofoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.12. Krzywe czwartego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.12.1. Konchoida Nikomedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.12.2. Uogólniona konchoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

2.12.3. Ślimak Pascala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.12.4. Kardioida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.12.5. Owal Cassiniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

2.12.6. Lemniskata Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

2.13. Cykloidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

2.13.1. Cykloidy zwykłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

2.13.2. Cykloidy wydłużone i skrócone (trochoidy) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

2.13.3. Epicykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

2.13.4. Hipocykloida i asteroida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

2.13.5. Epicykloida i hipocykloida, skrócona i wydłużona . . . . . . . . . . . . . .

110

2.14. Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

2.14.1. Spirala Archimedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

2.14.2. Spirala hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

2.14.3. Spirala logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

2.14.4. Ewolwenta koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

2.14.5. Klotoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

2.15. Inne krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

2.15.1. Linia łańcuchowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

2.15.2. Traktrysa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

2.16. Wyznaczanie wzorów krzywych empirycznych . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.16.1. Typowe procedury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.16.1.1. Porównywanie wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.16.1.2. Rekty?kacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.16.1.3. Wyznaczanie parametrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.16.2. Najczęściej stosowane wzory empiryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

2.16.2.1. Funkcja potęgowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

2.16.2.2. Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.16.2.3. Trójmian kwadratowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

2.16.2.4. Funkcja homogra?czna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

2.16.2.5. Pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego . . . . . . .

118

2.16.2.6. Uogólniona krzywa dzwonowa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . .

118

2.16.2.7. Krzywa trzeciego stopnia typu II . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

2.16.2.8. Krzywa trzeciego stopnia typu III . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

2.16.2.9. Krzywa trzeciego stopnia typu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

2.16.2.10. Iloczyn funkcji potęgowej i wykładniczej . . . . . . . . . . . . . .

120

2.16.2.11. Suma funkcji wykładniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

2.16.2.12. W pełni przeliczony przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2.17. Skale i papiery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

2.17.1. Skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

2.17.2. Papiery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

2.17.2.1. Zwykły papier logarytmiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

2.17.2.2. Papier podwójnie logarytmiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

2.17.2.3. Papier funkcyjny ze skalą odwrotną . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

2.17.2.4. Uwaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

2.18. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

2.18.1. De?nicja i przedstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

2.18.1.1. Przedstawienie funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . .

126

2.18.1.2. Przedstawienia gra?czne funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . .

126

2.18.2. Obszary oznaczoności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2.18.2.1. Obszar oznaczoności funkcji określonej wykresem . . . . . . . . .

127

2.18.2.2. Obszary dwuwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2.18.2.3. Obszary trój- i więcej wymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2.18.2.4. Sposoby określania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

2.18.2.5. Postacie analitycznego określenia funkcji . . . . . . . . . . . . . .

129

2.18.2.6. Zależności między funkcjami wielu zmiennych . . . . . . . . . . .

130

2.18.3. Granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

2.18.3.1. De?nicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

2.18.3.2. Ścisłe sformułowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

2.18.3.3. Uogólnienie na przypadek funkcji wielu zmiennych . . . . . . . .

132

2.18.3.4. Granice iterowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

2.18.4. Ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

2.18.5. Własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.18.5.1. Twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.18.5.2. Twierdzenie o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.18.5.3. Twierdzenie o ograniczoności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.18.5.4. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów . . . . . . . . . . .

133

2.19. Nomogra?a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.19.1. Nomogramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.19.2. Nomogramy siatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.19.3. Arkusze kolineacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

2.19.3.1. Nomogram kolineacyjny z trzema skalami prostoliniowymiprze-

chodzącymi przez jeden punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

2.19.3.2. Nomogram kolineacyjny zbudowany z dwu prostych równole-
głych i trzeciej nachylonej do nich prostej . . . . . . . . . . . . .

135

2.19.3.3. Nomogram kolineacyjny z dwiema skalami równoległymi i trze-
cią skalą krzywliniową . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

2.19.4. Arkusze siatkowe dla więcej niż trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . .

137

3. GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

3.1. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

3.1.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

3.1.1.1. Punkt, prosta, promień, odcinek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

3.1.1.2. Kąt płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

3.1.1.3. Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi . . . . . . . . . . . .

139

3.1.1.4. Pary kątów na dwu prostych równoległych przeciętych trzecią prostą

140

3.1.1.5. Miara w stopniach i miara łukowa kąta płaskiego . . . . . . . . . . .

140

3.1.2. Geometryczna de?nicja funkcji trygonometrycznych
i hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

3.1.2.1. De?nicja funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

3.1.2.2. Geometryczna de?nicja funkcji hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . .

142

3.1.3. Trójkąt płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.1.3.1. Twierdzenia dotyczące trójkąta płaskiego . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.1.3.2. Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

3.1.4. Czworokąty na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

3.1.4.1. Równoległobok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

3.1.4.2. Prostokąt i kwadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

3.1.4.3. Romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

3.1.4.4. Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

3.1.4.5. Ogólny czworokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

3.1.4.6. Czworokąt cięciw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

3.1.4.7. Czworokąt stycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

3.1.5. Wielokąty (wieloboki) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

3.1.5.1. Ogólny wielokąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

3.1.5.2. Wielokąty wypukłe foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

3.1.5.3. Niektóre wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

3.1.6. Figury płaskie o symetrii obrotowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

3.1.6.1. Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

3.1.6.2. Odcinek kołowy (segment koła) i wycinek kołowy (sektor koła) . . .

152

3.1.6.3. Pierścień kołowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

3.2. Trygonometria płaska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

3.2.1. Rozwiązywanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

3.2.1.1. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

3.2.1.2. Rozwiązywanie dowolnych trójkątów płaskich . . . . . . . . . . . . . .

153

3.2.2. Zastosowania w geodezji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

3.2.2.1. Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

3.2.2.2. Kąt w geodezji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

3.2.2.3. Zastosowania w technice pomiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

3.3. Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

3.3.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

3.3.2. Kąty dwuścienne, kąty wielościenne, kąty bryłowe . . . . . . . . . . . . . . . .

163

3.3.3. Wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

3.3.4. Bryły ograniczone powierzchniami zakrzywionymi . . . . . . . . . . . . . . . .

168

3.4. Trygonometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

3.4.1. Podstawowe pojęcia geometrii na powierzchni kuli . . . . . . . . . . . . . . . .

171

3.4.1.1. Krzywe, łuki i kąty na powierzchni kuli . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

3.4.1.2. Niektóre specjalne układy współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . .

173

3.4.1.3. Dwukąt sferyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

3.4.1.4. Trójkąt sferyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

3.4.1.5. Trójkąt biegunowy (polarny, dualny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

3.4.1.6. Trójkąty eulerowskie i nieeulerowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

3.4.1.7. Kąt bryłowy trójścienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

3.4.2. Podstawowe własności trójkątów sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

3.4.2.1. Twierdzenia ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

3.4.2.2. Wzory podstawowe i ich zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

3.4.2.3. Inne wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

3.4.3. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

3.4.3.1. Podstawowe typy zadań, dyskusja dokładności . . . . . . . . . . . . .

182

3.4.3.2. Sferyczny trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

3.4.3.3. Dowolne trójkąty sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

3.4.3.4. Krzywe sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

3.5. Algebra wektorów i geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

3.5.1. Algebra wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

3.5.1.1. De?nicja wektora, wzory rachunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

3.5.1.2. Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

3.5.1.3. Złożenia operacji na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

3.5.1.4. Równania wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

3.5.1.5. Kowariantne i kontrawariantne współrzędne wektora . . . . . . . . . .

203

3.5.1.6. Zastosowania algebry wektorów w geometrii . . . . . . . . . . . . . . .

204

3.5.2. Geometria analityczna na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

3.5.2.1. Płaskie układy współrzędnych i ich transformacje . . . . . . . . . . .

204