Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Lobaçevski həndəsəsi (hiperbolik həndəsə). Evklid həndəsə­sində bütün digər aksiomlar sistemini saxlamaq şərti ilə, yalnız paralellik aksiomunu dəyişdirməklə, yəni verilmiş nöqtədən verilmiş düz xəttə iki paralel düz xəttin çəkildiyini qəbul etdikdə, Lobaçevski həndəsəsi və ya hiperbolik həndəsə alınır. Bu həndəsə Evklid həndəsəsindən hiperbolik və ya yəhərvari səthi ilə seçilir. Səth nə qədər kiçik olarsa, bu həndəsənin Evklid həndəsəsindən fərqi də bir o qədər az olar. Bu həndəsədə sonsuz sayda kəsişməyən düz xətlər mövcuddur. Lobaçevski həndəsəsində üçbucaqların bütün bərabərlik əlamətləri ödənilir, lakin üçbucağın bucaqları cəmi sabit kəmiyyyət olmur və 180 dərəcədən kiçik olur. Məsələn, kiçik sahədə üçbucağın bucaqları cəmi 180 dərəcədən daha az fərqli olur. Səthin sahəsi böyüdükcə, bu fərq də böyüyür. Evklid həndəsəsində qabarıq dördbucaqlının bucaqları cəminin 360 dərəcəyə bərabər olduğu məlumdur. Lakin hiperbolik həndəsədə bu cəm 360 dərəcədən kiçik olur. Bu isə o deməkdir ki, hiperbolik həndəsədə düzbucaqlı yoxdur.
Lobaçevski həndəsəsi müstəvidə belə izah olunur: adi müstəvidə dairə götürüb onun çevrəsini çıxaraq, daxilinə “müstəvi”, daxili nöqtəsinə “nöqtə”, ixtiyari vətərə isə “düz xətt” deyək. Çevrə “müstəvi”dən götürüldüyündən vətərlərin son nöqtələri də götürülür. “Hərəkət” vətəri vətərə keçirən dairənin ixtiyari çevrilməsidir. Bu çevirmədə biri digərinə keçən fiqurlara bərabər fiqurlar deyilir. Belə təsvir olunan həndəsi fakt Lobaçevski həndəsəsinin teorem və aksiomlarını ifadə edir, yəni Lobaçevski həndəsəsinin müstəvi-sindəki hər hökmə, dairədəki fiqurların Evklid həndəsəsinin hökmü kimi baxmaq olar. Lakin a vətəri xaricindəki O nöqtəsindən çıxan və onu kəsməyən istənilən sayda vətər olduğundan (məsələn, b və ya b^/) Evklidin paralellik aksiomu ödənilmir. (şək.8)

b^/





a

b

O

Şək.8

Fəzada Lobaçevski həndəsəsi kürə daxilindəki həndəsə kimi analoji qəbul edilir. Lakin düz xətt - vətər, müstəvi-kürədaxili müstəvi kəsik, bərabər fiqurlar isə kürəni özünə və vətəri vətərə keçirən çevirmədə biri digərinə keçən fiqurlar kimi götürülür. Lobaçevski həndəsəsinin ziddiyyətsizliyi Evklid həndəsəsinin zid-diyyətsizliyinə, yaranması isə Evklidin beşinci postulatına əsas­lanır. Lobaçevcki aparılan tədqiqatları yekunlaşdıraraq göstər­mişdir ki, beşinci postulat Evklidin heç bir hökmündən nəticə kimi alınmır və onu həmin postulata zidd postulatla əvəz etdikdə Evklid həndəsəsi qədər mənalı və ziddiyyətsiz həndəsə alınır. Lobaçevski həndəsəsinin ziddiyyətsizliyi onun modeli əsasında isbat olunmuşdur. Lobaçevski həndəsəsi Lobaçevski müstəvisini (planimetriyasını) və Lobaçevski fəzasını (stereometriyasını) öyrənir. Lobaçevski aksiomu ödənilən müstəviyə Lobaçevski müstəvisi deyilir. Lobaçevski fəzası da analoji təyin edilir. Lobaçevski həndəsəsinin real mənası onun modeli ilə aydın olur.

Lobaçevski Lobaçevski həndəsəsini özünün aksiomuna əsaslanaraq qurmuşdur. Lobaçevski həndəsəsinin paralellik nəzəriy-yəsindən sonra onun triqonometriyası, analitik həndəsəsi və dife-rensial həndəsənin başlangıcı öyrənildi. Lobaçevski göstərmişdir ki, Lobaçevski həndəsəsinin Evklid həndəsəsindən fərqlənən bəzi faktları bunlardır:
1) Lobaçevski həndəsəsində bərabər olmayan oxşar üçbu­caqlar yoxdur. Bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.
2) Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180 dərəcədən kiçikdir və sıfra yaxın ola bilər. π-( fərqi üçbucağın sahəsi ilə mütənasibdir, ( - üçbucağın daxili bucaqlarıdır).
3) a düz xətti xaricindəki O nöqtəsindən çıxan, onu kəsməyən bir müstəvidə yerləşən sonsuz sayda düz xətt var. Bunlardan b və b^/ sərhəd xətləri Lobaçevski mənada a-ya paralel düz xətlər adlanır. Modeldə son nöqtələr çıxarıldığından onların a düz xətti ilə ortaq nöqtələri yoxdur. O-dan a-ya endirilmiş perpendikulyarla b və b^/ sərhəd xətləri arasındakı bucağı O nöqtəsinin a-dan uzaqlaş-masından asılı olub, 90 dərəcədən 0 dərəcəyədək azalır. a-ya bir tərəfdən paralel olan b (o biri tərəfdən b^/) ona asimptotik yaxınlaşır, başqası ondan sonsuz uzaqlaşır.
4) Ortaq perpendikulyara malik düz xətlər ortaq perpen­dikulyardan hər iki tərəfə sonsuz uzaqlaşaraq dağılır.
5) Düz xətdən eyni uzaqlıqda olan nöqtələr çoxluğu xüsusi əyridir. Ona evvidistant əyri və ya hipersikl, həmin düz xəttə isə onun bazası deyilir.
6) Radiusu sonsuzlağa yaxınlaşan çevrə (fəzada sfera) düz xətt (müstəvi) yox, xüsusi əyridir (səthdir). Ona limit çevrəsi (sferası) və ya orisikl (orisfera) deyilir. Orisfera üzərindəki orisikllar sisteminə görə həndəsə Evklid həndəsəsidir. Buna əsasən Lobaçevski Loba-çevski həndəsəsinin triqonometrik düsturlarını vermişdir.
7) Çevrənin uzunluğu radiusla mütanasib deyil.
8) Lobaçevski müstəvisi və fəzası oblastın kiçikliyindən asılı olaraq, həmin oblastdakı həndəsi münasibətlər Evklid həndə­səsindəkindən az fərqlənir, yəni oblastın sonsuz kiçik ətrafındakı həndəsə Evklid həndəsəsidir. Oblastın kiçilməsi vahid uzunluğun böyüməsi ilə eynigüclüdür. Ona görə vahid uzunluğu sonsuz böyüt-məklə Lobaçevski həndəsəsinin düsturlarını Evklid həndə­səsinə gətirmək olar. Bu mənada evklid həndəsəsi Lobaçevski həndəsəsinin “limit” vəziyyətidir. Lobaçevski həndəsəsində qurma məsələləri, ço-xüzlülər, fiqurların düzgün sistemləri, əyrilərin və səthlərin ümumi nəzəriyyəsi öyrənilir.
Lobaçevski Lobaçevski həndəsəsini müəyyən inteqralın hesablanmasına tətbiq etmişdir. Lobaçevski həndəsəsi vasitəsilə avtomorf funksiya nəzəriyyəsi qurulmuşdur. A.Puankare yazmışdır: “Qeyri-Evklid həndəsəsi bütün məsələlərin həlli üçün açar-dır.“ Lobaçevski həndəsəsinin nisbilik nəzəriyyəsinin xüsusi kinematikası ilə əlaqəsi belə əsaslandırılır: işığın paylanma qanununu ifadə edən
x²+y²+z²=c²t²
bərabərliyini t²-na böldükdə, işıq sürəti üçün

Bu, fəzada sferanın tənliyidir. Toplananlar isə sürətlər fəza­sında x, y, z oxları üzrə sürətin komponentləridir. Bu fəzada Lorents çevirmələri xəttidir və düz xətti özünə çevirdiyindən, həmin sferanı da özünə çevirir. Beləliklə, C radiuslu sfera daxilindəki işıq sürətin.-dən kiçik sürətlər üçün Lobaçevski həndəsəsi doğrudur. Səmada materiya kütləsi müntəzəm paylansa müəyyən şərtlər daxilində Lobaçevski həndəsəsi ödənilir.