Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

MƏKTƏB HƏNDƏSƏ KURSUNDA İKİLİ
ANLAYIŞLARDAN İSTİFADƏ İMKANLARI


§1.Planimetriya kursunda ikilik prinsipinin tətbiqi imkanları

1822-ci ildə fransız riyaziyyatçısı J.Ponsele tərəfindən pro-yektiv həndəsənin əsas qanunlarından biri olan ikilik prinsipi irəli sürüldü. Bu prinsipin köməyilə proyektiv həndəsədə bütün teoremlər sistemli şəkildə, biri digərinin, yəni onunla ikili xarakterdə olan anlayış və münasibətlərin vasitəsilə isbat edilirdi. “Fiqurların pro-yektiv xassələrinin tədqiqi haqqında traktat” əsərində o, özünün əsas elmi ideyalarını şərh etmişdi. İkilik prinsipinin kəşfi həndəsənin proyektiv həndəsə adını almış sahəsinin və bunun ardınca bir çox elm sahələrinin güclü inkişafına səbəb oldu. “Bu prinsip həndəsəyə nə verdi?” sualına cavab axtarsaq, çox aydın və maraqlı bir mənzərə ilə qarşılaşmış olarıq: proyektiv həndəsədə isbat edilən teoremlər onlarla ikili olan digər teoremlərin isbatına gətirib çıxarır ki, bu da teoremlərin sayını ikiqat artırır və digər tərəfdən, onların tam yarısının isbatına heç bir ehtiyac qalmır.

Proyektiv həndəsədə bu prinsipi sadə formada belə ifadə etmək olar: əgər həndəsədə hər bir anlayışı özü ilə “ikili” olan anlayış ilə əvəz etsək, məsələn, müstəvi üzərində götürülmüş nöqtəni düz xətt ilə və əksinə, düz xətti nöqtə ilə əvəz etsək, doğru teorem alarıq.
Qeyd edək ki, metodik ədəbiyyatlarda ikilik prinsipinin iki növünü fərqləndirirlər: kiçik ikilik prinsipi və böyük ikilik prinsipi. Kiçik ikilik prinsipi müstəvi üzərində verilmiş elementlərə, böyük ikilik prinsipi isə fəzada verilmiş elementlərə şamil edilir.
Tutaq ki, biz hər hansı bir fiquru müstəvi üzərində təsvir etmək istəyirik. Bu fiqur şam ağacı və ya kürə ola bilər. (şək.17) Şəffaf bir kağız parçası götürüb, onu gözümüzlə həmin fiqurlar arasında yerləşdirərək nəzərdən keçirək. Kağız üzə-rində fiqurları gördüyümüz xətlərlə təsvir etməyə çalışaq. Belə-liklə, həmin fiqurları kağıza kopiylayırıq - proyeksiyalayırıq. Bu prosesdə gözümüz proyeksiya mərkəzi rolunu oynayır. Şəffaf kağız isə proyeksiya müstəvisidir. Proyeksiyalama zamanı fiqurların bəzi xassələri dəyişməz qalır, bəziləri isə dəyişir. Məsələn, nöqtə nöqtə kimi, düz xətt düz xətt kimi proyeksiyalanır. Lakin çevrə ellips formasında, üçbucaq üçbucaq kimi, kvadrat isə müxtəlif tərəfli dördbucaqlı formasında proyeksiyalanır. (şək.18) Bu dördbucaqlının kvadratla eyni olan yeganə xassəsi – onun dörd tərəfinin və dörd bucağının olmasıdır. Lakin proyeksiyalama prosesində kvadratın bucaqlarının düz olması, tərəflərinin bərabərliyi və paralelliyi kimi xassələr saxlanılmamışdır. Bütün bu deyilənlərdən belə bir nəticə çıxır ki, proyeksiyalamada orijinal təkrar edilmir, dəyişdirilir.

Şək.17

Proyeksiyalama zamanı fiqurun dəyişməyən xassələrinə onun proyektiv, dəyişən xassələrinə isə metrik xassələri deyilir. Proyektiv həndəsədə fiqurun proyeksiyalama prosesində dəyişməyən xassələri – daha doğrusu, proyektiv xassələri öyrənilir.

Şək.18

Fiqurun proyeksiyalanmasının ən sadə xassələri – nöqtənin nöqtəyə, düz xəttin düz xəttə çevrilməsidir. Hər hansı bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtə proyeksiyalama zamanı bu düz xəttin təsviri üzərində yerləşən nöqtəyə çevriləcək. Bu deyilənlərdən isə belə aydın olur ki, eyni bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələr proyek-siyalamada eyni bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələrə çevrilir.
A nöqtəsi a düz xətti üzərində yerləşirsə, onda deyirlər ki, A nöqtəsi və a düz xətti insidentdir. Proyeksiyalama zamanı insidentlik saxlanılır – çünki nöqtə və bu nöqtədən keçən düz xətt onlarla insi-dent olan elementlərə keçir.
Proyeksiyalamada tez-tez sonsuz uzaq nöqtə anlayışından istifadə edilir. Bu nöqtənin mahiyyətini aydınlaşdıraq. Tutaq ki, dəmiryol relslərinə baxırıq. Bizə elə gəlir ki, bu relslər uzaqda hər hansı bir nöqtədə birləşir. Əslində belə olmadığını bilirik. Lakin gözümüz sanki bizi «aldadır». Bu nöqtə proyektiv həndəsədə sonsuz uzaq nöqtə adlandırılır. (şək.19)

Şək.19

Evklid həndəsəsində müstəvi üzərində iki düz xəttin paralellik halı mövcuddur. Yuxarıda qeyd etdiyimizə əsasən, proyektiv həndə-sədə düz xətlərin paralelliyi saxlanılmadığından, bu həndəsədə paralellik halı mövcud deyil. Lakin proyektiv həndəsədə ixtiyari iki düz xətt mütləq olaraq bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtə sonsuz uzaq nöqtədir. Bütün sonsuz uzaq nöqtələrin yerləşdiyi düz xətti isə sonsuz uzaq düz xətt adlandırmaq qəbul edilmişdir. Sonsuz uzaq düz xətlərin yerləşdiyi müstəvi isə sonsuz uzaq müstəvi adlandırılır.
Beləliklə, sonsuz uzaq elementlər anlayışının daxil edilməsi əslində Evklid həndəsəsinə stilistik dəyişikliklər gətirir. Bunun mənasını daha yaxşı anlamaq üçün sonsuz uzaq elementləri daxil etdiyimiz proyektiv həndəsədə nöqtə, düz xətt və müstəvinin insidentlik (aid olma) aksiomlarını qeyd edək.