Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Topologiya – yunan sözü olub, ”topos” – “yerləşmə” və “loqos” –“elm” sözlərinin birləşməsindən yaranib. XIX əsrin sonu - XX əsrin əvvəllərində yaranan və həndəsənin nöqtə, düz xətt, müstəvinin kəsilməz cevirmələr qrupunun invariantlarını öyrənən ən maraqlı sahələrindən biridir. Topologiya ilə bağlı ilk mülahizələr hələ V.Ley­bnisin Qüygensə yazdığı məktublarda qeyd olunmuşdu. 1679-cu ildə V.Leybnis yazırdı: “Mən belə hesab edirəm ki, kəmiy-yətləri öyrənməklə məşğul olan cəbrlə yanaşı, hansısa yeni bir sahə möv­cud­dur ki, bu sahə həndəsəyə aid olub, fiqurların yerdəyiş-mələrini tədqiq edir. V.Leybnis bu sahəyə “Analisus Situs” adını ve-rir. Lakin həmin dövrdə V.Leybnisin ideyaları tamamlanmır və bu ideyalar yalnız XIX əsrdə yenidən baş qaldırır. Topologiyanın banisi isə Anri Puankare (1854-1912) hesab olunur. F.Kleyn Erlangen proqramında topologiyaya həndəsənin yeni sahəsi kimi yüksək qiy-mət vermişdir.
Topologiya – fiqurların xassələrini və onların homeomorfizm (qarşılıqlı birqiymətli və kəsilməz inikas) zamanı dəyişməz qalan qarşılıqlı yerdəyişmələrini öyrənən elm sahəsidir. Başqa sözlə, hər hansı bir obyekti – məsələn, adi vərəqi qatlasaq, düzbucaqlı forma-sından trapesiya, kvadrat və ya silindr formasına salsaq, adi həndəsədə yeni fiqur alınmasına baxmayaraq, bu fiqur topologiya üçün eyni fiqur olaraq qalacaq. Vacib olan budur ki, həmin fiqur kəsilməsin və ya yapışdırılmasın. Yəni adi həndəsədə məsafə və bu-caq cox mühüm anlayışlardırsa, topologiyada bu, heç də belə deyildir, topologiya obyektlərin daha ümumi, daha dərin xassələrini öyrənir. Topologiyanın əsas ideyası – kəsilməzlik ideyasıdır.
Əvvəlcə homeomorfizmin nə demək olduğunu aydınlaşdıraq. Belə bir sadə misal üzərində bunu aydınlaşdıraq. Latın qrafikasının və ya Azərbaycan əlifbasının aşağıdakı hərflərini nəzərdən keçirək.
Həndəsədə (Evklid) bu hərfləri ifadə edən fiqurlar formaca müxtəlifdir. Lakin topologiyada hər üç hərf eyni topoloji fiqurdur. Bunu onları adi sap və ya ip vasitəsilə bir-birinə çevrildiyini göstərməklə isbat etmək olar. Lakin X hərfi bu hərflərlə homeomorf deyildir. Belə bir sual yarana bilər: bəs fiqurların homeomorf olmadığını necə müəyyən etmək olar? Sadə bir eksperiment aparsaq, məsələn, X hərfini orta nöqtəsindən kəssək, dörd parça alarıq. Lakin həmin eksperimenti L hərfi ilə aparsaq, yalnız iki parça alarıq. Bu üsullar aydın olur ki, bu hərflər bir-biri ilə homeomorf ola bilməz.
Topologiya elmi Köninberq körpüləri haqqında məsələnin həlli ilə təşəkkül tapmışdır. 17-ci əsrdə (1637-ci il) L.Eylerin yaşa­dığı Köninqberq (indiki Kalininqrad şəhəri) şəhərində Preqolya çayı axırdı. Bu çay şəhərin içərisində iki qola ayrılaraq kiçik bir ada əmələ gətirmişdi. O zamanlar şəhərdə 7 körpü var idi. Bir dəfə şəhər sakinlərindən biri öz tanışına belə bir sual verir: “O körpülərdən elə keçmək olar ki, hər körpüdən yalnız bir dəfə keçəsən və gəzintiyə başladığın yerə qayıdasan?” Bu sual şəhərin bir çox sakinlərini maraqlandırır. Zaman keçdikcə bu sual məsələ şəklində dünyanın müxtəlif ölkələrinin alimləri arasında yayılır. Bu məsələni məşhur riyaziyyatçı Leonard Eyler həll edir. Belə ki, o məsələni həll etməklə kifayətlənmir. Eyler bu tip məsələlərin həlli üçün ümumi bir metod fikirləşir. Eyler məsələni belə həll edir:
O, quru sahələri nöqtələrlə, körpüləri isə düz xətlərlə işarə edir. Nəticədə nöqtələri birləşdirən oxlar alınır. Bu cür qrafik təsvir qraf adlanır. Qrafların nöqtələrini onun təpələri, təsvirdəki düz xətləri isə qrafın tilləri adlandırırlar. D, B, C, O nöqtələri qrafın təpə nöqtələridir. (şək.12)



C





B

A





O

Şək.12

Şəkildən aydın olur ki, B, O, C təpələrinin hər birindən üç til, A təpəsindən isə beş til çıxır.
Köninqberq körpüsünün şəkli isə aşağıdakı kimi təsvir edilir: (şək.13)


Şək.13

Eyler göstərir ki, bu məsələnin həlli yoxdur. Çünki qraflar nəzəriyyəsinin köməyilə bu məsələni həll etdikdə, hər körpüdən bir dəfə keçilməsi mümkün olmur. Beləliklə, ilk baxışdan adi görünən bu məsələ riyaziyyatda qraflar nəzəriyyəsinin və topologiyanın meydana gəlməsinə səbəb olur.

Eylerin topologiya ilə bağlı digər işi çoxüzlülərin tilləri, təpələri və üzlərinin sayının tapılmasına aid düsturudur. Bu düstura əsasən, Təpə - Til + Üz=2. Bu düsturda çoxüzlülərin tillərinin uzunluğu və ya bucaqlarının qiyməti heç bir rol oynamır. Beləliklə, bu düsturda metrik münasibətlər nəzərə alınmır. Bu isə sonralar A.Keli, A.F.Möbius və digər alimlər üçün daha ümumi nəticələr əldə etməyə əsas vermişdi.
Topologiyaya aid daha bir məsələ üç ev və üç quyuya aid məsələdir: “Deyirlər, üç qonşunun evlərindən bir qədər aralı üç quyu olur. Qonşular bir-birilə küsülü olduğundan quyulara elə yol çəkmək istəyirlər ki, yolları bir-birilə kəsişməsin. Bu, mümkündürmü?” (şək.14)

Şək.14

Şəkildən də göründüyü ki, bu məsələnin də həlli yoxdur. Qonşulardan heç olmasa ikisinin yolu bir dəfə kəsişir. Eylerin qraflar nəzəriyyəsinin köməyilə bu məsələ də riyazi şəkildə həll edilə bilər.
Tək sayda tillərin çıxdığı təpələr tək, cüt sayda tillərin çıxdığı təpələr isə cüt təpələr adlanır. Köninqberq körpüləri haqqında olan bu məsələni həll edərkən Eyler qrafların aşağıdakı xassələrini müəyyən edir:
Əgər qrafın bütün təpələri cütdürsə, onda bu qrafı əlini vərəqdən ayırmadan çəkmək olar. Bu zaman qrafın çəkilməsinə X təpə nöqtəsindən başlamaq və həmin nöqtədə də bitirmək olar.
İki tək təpəsi olan qrafları da bir xətlə çəkmək olar. Bu zaman qrafın çəkilməsini tək təpələrdən biri ilə başlamaq və digər tək təpədə bitirmək lazımdır.
İkidən artıq tək təpəsi olan qrafları isə bir xətlə çəkmək qeyri-mümkündür.
Köninberq körpüləri haqında məsələdə qrafın tək təpələrinin sayı 2-dən çox olduğu üçün məsələnin həlli yoxdur. Həmçinin üç quyuya aid məsələni qraflarla həll etsək, aydın olar ki, hər təpədən (evləri bildirən) üç til (quyulara yol) çıxmalıdır. Deməli, tək (3) təpələrin sayı üçdür – bu isə məsələnin həlli olmadığını göstərir.
Topologiyada fiqur – müəyyən aksiomlar sistemini ödəyən nöqtələr çoxluğudur. Belə fiqurlar çoxluğu topoloji fəza adlanır. Deməli, digər həndəsələrdə nəzərdən keçirilən istənilən fiqur da topoloji fəzaya aid ola bilər. Bu mənada topologiya daha ümumi həndəsə sayılar, lakin digər həndəsələrdə öyrənilən fiqurların bir çox xassələrinə topologiyada baxılmır. Məsələn, kub və kürə həndəsədə müxtəlif, topologiyada isə eyni fiqurlardır. Çünki topologiyada kubdan kəsilməz çevirmə ilə kürə və əksinə, kürədən kub almaq mümkündür. (şək.15)







Şək.15

Bu sahənin inkişafı A.Puankare, K.Qauss, A.F.Möbius, İ.Lis-tinq, B.Riman kimi məşhur riyaziyyatçıların adları ilə bağlıdır. Xüsusən, Möbiusun səthlər nəzəriyyəsinə aid olan və Möbius səthi adlandırılan qapalı səthi böyük maraq kəsb edir. Bu səthin nə ön, nə də arxa üzü var: (şək.16)

Şək.16

Möbius səthinin maraqlı xassələri vardır. Belə ki, bu səthi fırça ilə rəngləməyə başlasaq, əlimizi ayırmadan o, tamamilə rənglənər. Bundan başqa, səthi orta xətti üzrə kəssək (şək.12), o, heç də gözlənildiyi kimi iki hissəyə ayrılmayacaq, daha uzun səthə çevriləcək. Bu səthi düzəltmək üçün düzbucaqlı şəklində adi vərəqi götürüb uclarını buraraq yapışdırmaq olar.
Hazırda topologiya müstəqil elm kimi inkişaf edir və yalnız həndəsədə deyil, riyaziyyatın digər sahələrində də tətbiq edilir. Kəsilməzlik ideyası fəza və zamanı birbaşa xarakterizə edən ən mühüm ideya olduğu üçün, bu ideyanı rəhbər tutan topologiya elmi də cəbrlə birlikdə fəzanın forma və qanunlarını öyrənən riyaziyyat elminin əsasını təşkil edir.