Kelishilgan

Parabola va uning tenglamasi.


Ta’rif. Tekislikda, har bir nuqtasidan berilgan nuqta(fokus)gacha va berilgan to‘g‘ri chiziq (direktrisa)gacha masofalari o‘zaro teng bo‘lgan nuqtalar geometrik o‘rniga parabola deyiladi.
Koordinatlar sistemasini shunday olamizki, o‘qi (fokus)dan o‘tib, direktrisaga perpendikulyar, o‘qi esa fokus va direktrisaning o‘rtasidan o‘tsin(2-chizma). parabolaga tegishli ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani bilan belgilaymiz. Bunda bo‘lib, direktrisaning tenglamasi

bo‘ladi.
Ta’rifga asosan, .
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga asosan,
.
Bu tenglamadan irrasionallikni yo‘qotib,
(4)
tenglamani hosil qilamiz. Bu absissalar o‘qiga simmetrik parabolaning kanonik tenglamasi bo‘ladi. Ordinatlar o‘qi simmetriya o‘qi bo‘lsa, parabola tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holda direktrisa tenglamasi, nuqta fokus bo‘ladi(3-chizma).



3-chizma
nuqtadan fokusgacha masofaga fokal radius
deyiladi va nuqtadan fokusgacha
masofa bo‘ladi.
4-misol. parabolaning fokusini va direktrisasining tenglamasini toping. nuqtadan fokusgacha bo‘lgan masofani aniqlang.
Yechish. Berilgan tenglamani (7) tenglama bilan solishtirib bundan Shunday qilib, fokus nuqtada direktrisa tenglamasi =-3 ekanligini topamiz. nuqta uchun , bo‘lib, fakol radius bo‘ladi.


Mustaqil yechish uchun masalalar
1. nuqtadan o‘tib, markazi nuqtada bo‘lgan aylana tenglamasini yozing.
2. va nuqtalar berilgan. Diametri kesmadan iborat bo‘lgan aylana tenglamasini yozing.
3. Ushbu 1) ;
2)
3)
4)
aylanalarning markazlarini va radiuslarini toping.
4. , va aylanalar markazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
5. Fokuslari orasidagi masofa 24, katta o‘qi 26 ga teng bo‘lgan ellipsning kanonik tenglamasini yozing va uni yasang.
6. Quyidagilar berilganda ellipsning kanonik tenglamasini toping:
1) katta yarim o‘q , ekssentrisitet ;
2) kichik yarim o‘q , ekssentrisitet ;
3) ekssentrisitet , fokuslar orasidagi masofa .
7. 1) , 2) ellipslar uchun o‘qlarining uzunliklarini, fokuslarini va ekssentrisitetlarini toping va yasang.
8.Koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘lgan ellips va nuqtalardan o‘tadi. Ellips tenglamasini yozing. nuqtadan fokuslargacha masofalarni toping.
9. Ellipsning ekssentrisiteti berilgan. Ellips yarim o‘qlarining nisbatini toping.
10. ellips berilgan. Uchlari ellipsning fokuslarida, fokuslari esa uning uchlarida bo‘lgan giperbola tenglamasini yozing va uni yasang.
11. Quyidagilar berilganda giperbolaning kanonik tenglamasini yozing:
1) fokuslari orasidagi masofa 10, ekssentrisitet ;
2) haqiqiy yarim o‘q va giperbola nuqtadan o‘tadi;
3) fokuslar orasidagi masofa 10, uchlari orasidagi masofa 4.
12. 1) ; 2) giperbolalar uchun o‘qlarning uzunliklarini, fokuslarini va ekssentrisitetini toping.
13. giperbolada abssissasi 3 ga teng nuqta olingan. Bu nuqtaning fokal radiuslarini toping.
14. Giperbola biror uchidan fokuslarigacha bo‘lgan masofalar 9 va 1 bo‘lsa, uning tenglamasini yozing.
15. giperbolani va uning asimptotalarini yasang. Fokuslarini, ekssentrisitetini va asimptotalari orasidagi burchakni toping.
16. Koordinatlar boshidan va nuqtadan o‘tib, o‘qiga simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini yozing va uni yasang.
17. Koordinatlar boshidan va nuqtadan o‘tib, o‘qiga simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini yozing va uni yasang.
18. 1) ; 2) ; 3) ; 4) parabolalar uchun fokuslarini va direktrisalarining tenglamalarini toping.
19. parabolada fokal radiusi 5 ga teng bo‘lgan nuqtani toping.