Kelishilgan

Ellips va uning tenglamasi.


Ta’rif. Tekislikda, har bir nuqtasidan berilgan ikkita nuqtalargacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdordan iborat bo‘lgan nuqtalar geometrik o‘rniga ellips deyiladi.
(2)
(2) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
(2) tenglamadan ko‘rinadiki. koordinatlar boshi, ellipsning simmetriya markazi, koordinatlar o‘qi simmetriya o‘qlari bo‘ladi.

nuqtalar ellipsning uchlari, masofalar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o‘qlari deyiladi.
Shunday qilib, ellips ikkita simmetriya o‘qiga, simmetriya markaziga ega bo‘lgan yopiq egri chiziqdir.
kattalik ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Aylanani ellipsning bo‘lgan xususiy holi deb qarash mumkin.
nuqtadan fokuslargacha bo‘lgan masofaga ellipsning fokal radiuslari deyiladi, ularni va bilan belgilasak, bo‘ladi.
2-misol. ellipsning yarim o‘qlarini, fokuslarini va ekssentrisitetini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani 400 ga bo‘lib,

ko‘rinishga keltiramiz. Bu tenglamadan bo‘lib, yarim o‘qlari mos ravishda bo‘ladi. Ma’lumki, , bo‘lib, bo‘ladi. Demak, fokuslari va nuqtalarda bo‘ladi. Ekssentrisiteti esa, .
Giperbola va uning tenglamasi.

Ta’rif. Tekislikda, har bir nuqtasidan berilgan ikkita (fokus) nuqtalargacha bo‘lgan masofalar ayirmasi o‘zgarmas miqdordan iborat bo‘lgan nuqtalar geometrik o‘rniga giperbola deyiladi(ko‘rsatilgan ayirma absolyut qiymati bo‘yicha olinib, u fokuslar orasidagi masofadan kichik va 0 dan farqli).

O‘zgarmas miqdorni , fokuslar orasidagi masofani va koordinat o‘qlarini ellipsdagidek olib, belgilash kiritib,
(1)
tenglamani hosil qilamiz. (5) tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Giperbolaning fokuslari va bo‘ladi (1 hizma). Koordinatlar o‘qi simmetriya o‘qlari va koordinatlar boshi simmetriya markazidir. Giperbola kordinat o‘qlarini nuqtalarda kesib o‘tib, bu nuqtalarga haqiqiy uchlari va masofa haqiqiy yarim o‘qi deyiladi. nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, mavhum yarim o‘qi deyiladi.
Giperbola ikkita asimptotalarga ega bo‘lib, uning tenglamalari
(2)
bo‘ladi.
kattalikka giperbolaning ekssentrisiteti deb
ataladi.
3-misol. giperbolaning yarim o‘qlarini, fokuslarini, ekssentrisitetini hamda aksimptotalarining tenglamalarini toping.
Yechish. Berilgan tenlamani 144 ga bo‘lib tenglamani kanonik

ko‘rinishga keltiramiz. Bundan bo‘lib, haqiqiy yarim o‘q , mavhum yarim o‘q bo‘ladi. bo‘lib, fokuslari nuqtalarda bo‘ladi. Ekssentrisitet .
va larning qiymatini (6) asimptota tenglamasiga qo‘yib,

tenglamalarni hosil qilamiz. Bu asimptotalar tenglamasidir.
nuqtadan fokuslargacha bo‘lgan masofaga giperbolaning fokal radiuslari deyiladi, ularni va bilan belgilasak, nuqta o‘ng shoxlarida bo‘lganda nuqta chap shoxlarida bo‘lganda bo‘ladi.