Immigratsiyali tarmo

Teorema 3.2.6. Immigratsiyali Belman-Harris jarayonidagi holat qaytaruvchi (ya``ni ) bo`ladi, agarda:
bo`lsa. Masalan, agar o`rinli bo`ladi, faqat bo`lsa.

va (3.2.50) bajarilganda.
va (2.2.32) o`rinli bo`ladi, yoki va (2.2.50) bajarilsa o`rniga (2.2.51) qo`yilganda.
(2.2.37) yoki (2.2.38) o`rinli bo`lsa va yoki va (2.2.50) da o`rniga (2.2.51) dan qo`yilsa.
Boshqa barcha qollarda qolat qaytmaydigan bo`ladi, ya``ni masalan, qismida agar yoki qismida yoki va integral yaqinlashuvchi (2.2.50) bajarilganda va qokazo.
[5] A.M.Zubkovga o`hshash ommaviy hizmat nazariyasidan misol keltiramiz.
Faraz qilaylik sistema cheksiz sondagi bir xil asboblardan tashkil topgan bo`lib, unga ordinar bo`lmagan Puasson oqimi kelib tushsin va bu talablar oqimi maqolani boshidagi immigratsiyalanuvchi zarrachalar oqimi bilan ustma-ust tushsin.
bitta talabga hizmat qilishini taqsimot funksiyasi.
tasodifiy miqdor sistemaning bandlik davrining davomiyligi.
Ko`rish mumkinki bandlik davri, yashash davri bilan ustma-ust tushadi, agar bo`lsa, u holda [1] dagi
Bu holda sistemaning bo`sh qolatiga qaytishi (ya``ni sistemada talab yo`q bo`lishi) uchun
(2.2.53)
bo`lishi zarur va etarlidir. (3.2.53) integralni yaqinlashishi yoki uzoqlashishini teorema 2.2.1-2.2.6 lardan keltirib chiqarish mumkin.


2.2-§. Immigratsiyali belman-harris tarmoqlanish jarayonini yashash davri.


bilan immigratsiya diskret vaqtda ro`y beruvchi tarmoqlanish jarayonini hosil qiluvchi funksiyasini belgilaymiz.
bilan uzluksiz vaqtda immigratsiya ro`y beruvchi tarmoqlanish jarayonini hosil qiluvchi funksiyasini belgilaymiz ( vaqtda ta zarrachani kelib qo`shilish ehtimolligi , agar va , agar ).
har bir immigratsiyalanuvchi zarracha "0" yoshga ega bo`lib keyinchalik Belman-Harrisni [1, 137-180 b.] tarmoqlanish jarayoni sxemasi bo`yicha "yosh" taqsimot qonunga ega va bevosita avlodlarni taqsimotini hosil qiluvchi funksiyasi
Bundan keyin barcha hollarda deb hisoblaymiz.
immigratsiyasiz oddiy Belman-Harris jarayonidagi "0"-yoshli bitta zarrachani vaqtdagi ko`payishlari soni , bilan jarayoni nchi avlodidagi zarrachalari sonini belgilaymiz. Jarayonni quyidagi modellarini ko`rib o`tamiz:
a) Immigratsiya shunday vaqt momentida ro`y beradiki, ya`ni u qandaydir panjara hosil qiladi,bu holda taqsimot funksiyani o`sish nuqtasi immigratsiya momenti bilan ustma-ust tushadi, lekin hammasi bilan shart emas. Masalan: o`sishning taqsimotini maksimal qadami immigratsiya momentlari orasidagi minimal masofadan katta bo`lishi mumkin.
Bu holda umumiylikni buzmagan holda immigratsiya butun sonli vaqt momentida ro`y beradi deb faraz qilish mumkin, shuning uchun zarrachani yoshi butun qiymatlarni qabul qiladi;
b) Immigratsiyali jarayon uzluksiz vaqtda ro`y beradi, bu holda zarracha yoshi taqsimotini panjarasimon emas deb faraz qilamiz.
[5] ishda immigratsiyali Gal`ton-Vatson Markov tarmoqlanish jarayonini -yashash davrining taqsimot qonuni o`rganilgan ( - tasodifiy miqdor). [2;3]
Biz keltiradigan teoremalar yuqoridagi natijalarni umumlashtiradi, ya`ni ko`payish jarayoni Bel`man-Harris bo`lgan hol uchun [5] dagi A.M.Zubkov lemmasiga mos lemma 1 ni isbot uchun butunlay boshqacha yo`l tutishga to`g`ri keladi, bundan tashqari olingan natijalar yangi, A.M.Zubkov tasdiqlaridan butunlay farq qiladi.
Biz yuqorida aytganimizdek a) va b) sxemalarni ko`rib o`tamiz.
Ya`ni immigratsiya diskret vaqtda ro`y beradi o`sish esa uzluksiz taqsimlangan.
- tasodifiy miqdorni o`rganishda jarayoni, tasodifiy miqdorni boshlang`ich davri bilan uni birinchi marta nolga tushish momentini hisoblashda ayrim qiyinchiliklar tug`iladi, buni yechish uchun qo`shimcha izlanishlar olib borish kerak bo`ladi. Shuning uchun a) va b) sxemalarni alohida qarash maqsadga muvofiqdir.
T momentda boshlang`ich immigratsiyali jarayonni yashash davri - uzunlikka ega deb ataymiz, agarda zarrachalar soni barcha va bo`lsa.
jarayonni traektoriyasi o`ngdan uzluksiz deb faraz qilaylik.
Faraz qilaylik,

(2)
agar a) sxema qaralayotgan bo`lsa,
(3)
agar immigratsiya uzluksiz vaqtli bo`lsa, u holda

Lemma 1 Agar a) sxema qaralayotgan bo`lsa, u holda
(4)
bu yerda


(5)
( agar bo`lsa),
. (6)
Agar b) sxema qaralayotgan bo`lsa, u holda
(7)
bu yerda
,
. (8)
Lemma 1 ni isboti. A) Faraz qilaylik, zarrachaning yashash davrining boshlang`ich momentida bo`lsin, ya`ni . U holda
(9)
Yuqoridagilarni hisobga olgan holda to`la ehtimollik formulasidan quyidagini hosil qilamiz.

Ikkinchi tomondan,
(11)
(10) va (11) ni -ga ko`paytirib, bo`yicha yig`sak, u holda
.
va ni aniqlab, oxirgi ifodadan hosil qilamiz.

yoki huddi shunday,

bu ifoda (4) ga ekvivalent bo`ladi.
B) sxema uchun quyidagi munosabatlardan foydalanamiz

(12)
(13)
ko`rsatish qiyin emaski,

yoki oldindagiday
(15)
(15) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishni qo`llasak (7) kelib chiqadi.
Lemma to`la isbotlandi.
Asosiy natijalarni isbotlash uchun bizga quyidagi yordamchi tasdiqlar kerak bo`ladi.
Lemma 2[5]. Faraz qilaylik hosil qiluvchi funksiya,

tengsizlik o`rinli bo`lishi uchun (16)
bajarilishi uchun zarur va etarlidir.
Agar vaqt uzluksiz bo`lsa va bajarilsa, u holda (16) shart

bajarilishi uchun zarur va etarlidir.
Lemma 3. Faraz qilaylik,

(17)
(18)
shartning bajarilishi
(19)
ni o`rinli bo`lishi uchun zarur va etarlidir.
Agar vaqt uzluksiz bo`lsa, u holda (19) ni quyidagi ko`rinishida yozamiz.
(20)
Isboti. [4,137-180 b] ma`lumki, Gal`ton-Vatson jarayonini -chi avlodidagi zarrachalar soni bo`ladi va uning hosil qiluvchi funksiyasi bo`lib ni hosil qiluvchi funksiyasi ni -chi iteratsiyadan iborat bo`ladi va da [4, 141 b] Gol`dshtey lemmasiga asosan
, (21)
bu yerda -ni -chi svertkasi.
Bundan tashqari [7, 355 b] dan bizning shartlarimizda
, (22)
bu yerda birinchi tengsizlik uchun va ikkinchi tengsizlik uchun; qandaydir cheksiz kichik son.
3-lemmani to`g`riligini ko`rsatish uchun [5] dagi A.M.Zubkovni lemmasidan (21) va (22) dan foydalanamiz. 3-lemma isbotlandi.
Lemma-4. Faraz qilaylik, va (1) bajarilgan bo`lsin.
1. Agar bo`lsa, u holda
. (23)
2. Agar bo`lsa, u holda
. (24)
3. Agar (17) bajarilgan bo`lsa, u holda
(25)
bu yerda -sekin o`zgaruvchi funksiya. Agar yana (16) ga (18) bajariladigan bo`lsa, u holda
(26)

4. Agar va

(27)
(bu yerda va boshqa barcha joylarda bilan sekin o`zgaruvchi funksiyani belgilaymiz, ).
(28)
(29)
bo`lsa, u holda ga asosan
, (30)
va bo`lsa, u holda
. (31)
Agar
. (32)
Agar bo`lsa, u holda
(32')
5. Faraz qilaylik va (27) bajarilgan bo`lsin, bundan tashqari agar
(33)
(34)
bo`lsa, u holda [6]

va bo`lsa,
(35)
agar
(36)
agar bo`lsa, u holda
(37)
Agar bo`lsa, u holda
(37')
Isboti. 4-chi lemmani isboti. a) va b) shemalar uchun printsip jiqatdan ko`p farq qilmaydi. Biz bu yerda b) shema uchun isbotini keltiramiz. (.) funksiya ta``rifidan (lemma 2 ga qarang) va (8) dan hosil qilamiz.
(38)
[4, 171 b] dan ma`lumki bizning shartlarimizda
. (39)
Agar , (40)
tenglamaning yechimi mavjud bo`lsa, agar (39) o`rinli bo`lmasa, u holda
. (41)
Agar ni hisobga olsak, u holda ihtiyoriy (39) va (40) dan
. (42)
Bundan kelib chiqadiki monoton kamayuvchi funksiya -musbat limitga ega bo`ladi.
II. ga asosan (38) dan foydalansak, da quyidagini hosil qilamiz.

bu yesa 4-lemmani II-qismini isbotlaydi.
III. Faraz qilaylik (17) bajariladigan bo`lsin, u holda dan
, (43)
bu yerda
(44)
shunday qilib
(45)
munosabat o`rinli bo`ladi.
Ammo ligini hisobga olsak, u holda biz (25) ni hosil qilamiz. [8,t2, 342b].
Agar (16) va (18) bajariladigan bo`lsa, u holda

bundan (26) ni hosil qilamiz.
IV. Faraz qilaylik (27)-(29) bajariladigan bo`lsin va bo`lsin, u holda
(46)
[8,t2, 342b] ga asosan ahirgi tenglik quyidagiga ekvivalent
. (47)
Agar bo`lsa, u holda (32) ni hosil qilamiz.
V. Faraz qilaylik (27), (33) va (34) bajarilgan bo`lsa, u holda agar bo`lsa,

(38)-nchi munosabatdan va funksiya hossasidan (35) ni hosil qilamiz, agar bo`lsa, u holda

bu yesa (36) ga yekvivalent, agar bo`lsa, u holda (46) va (47) munosabatlariga o`hshash ifodalar hosil bo`ladi, bu (37) va (37') ni isbotlaydi.
4-lemma to`la isbotlandi.
1-natija.
Faraz qilaylik agar b) shema qaralayotgan bo`lsa va agar a) shema qaralayotgan bo`lsa. Bu va boshqa qollar uchun