Immigratsiyali tarmo

Isboti.

2-natija.
Faraz qilaylik (1) bajariladigan bo`lsin.
1 Agar bo`lsa, u holda yoki bo`ladi, agar
b) shema qaralayotgan bo`lsa va agar a) shema qaralayotgan bo`lsa, shuning uchun integralni yaqinlashishi yoki uzoqlashishi

2 . Agar va (17) bajariladigan bo`lsa, u holda agar bo`lsa, bo`ladi. Agar bo`lsa, faqat va faqat
(48)
bo`lganda bajariladi.
3. Agar va (32), (32') yoki (37), (37') o`rinli bo`lsa, u holda da va bo`lsa bo`ladi, faqat va faqat (48) o`rinli bo`lganda, lekin (32), (32') larda o`rniga
(50)
bo`ladi.
Isboti.
ni isboti ta`rifi va (24) dan kelib chiqadi.
b) shema qaralayotgan bo`lsin (8) va (38) ifodalardan, quyidagini hosil qilamiz.

da
, (51)
chunki bo`lishi uchun bo`lishi zarur va etarli.
Bu integralni yaqinlashishi (25), (26) dan kelib chiqadi.
Huddi shunday 3 va 4 isbotlanadi.
TEOREMA 1. a) shema uchun 4 lemmani 1-shartlari bajarilganda

b) shema uchun

o`rinli bo`ladi.
a) Agar tenglamani ildizi bo`lsa, u holda

bo`ladi.
Agarda bo`lsa, u holda

bo`ladi.
b) Agar tenglama echimga yega bo`lsa, u holda
,
agarda bo`lsa, u holda

bo`ladi.
Isboti. 4 lemma natijasiga ko`ra
a)
b)
keyingi mulohazalarni b) shema uchun davom yettiramiz (4.lemmada ta``kidlanganidek printsipal farq yo`q, birinchi holda (5) munosabatdan foydalansak (a) shema) b) shemada (8) munosabatdan foydalanamiz. (8) va (38) dan hosil qilamiz.

Agar, masalan,
bo`lsa, u holda
da
analitik funksiya bo`ladi. Agar (7) munosabatdan foydalansak va [8,t1,3155] tiklanish tenglamasi qaqidagi teoremadan Laplas almashtirishni qo`llasak u holda teoremani isboti kelib chiqadi.
TEOREMA-2. 4-lemmani II-shartlari bajarildi.
A)
B)
Agar

yoki
va
bo`lsa, u holda
a) :
b) :
Agar va bo`lsa, u holda

agar

u holda da

bo`ladi, agar bo`lsa, u holda

bo`ladi.
Isboti. bo`lgan holda 1-teoremani isbotidek isbotlanadi. - holda (2 natija ga qarang); holda ta``rifidan va (24) munosabatdan kelib chiqadiki
sekin o`zgaruvchi funksiya hossasidan [8,t 2,340 b]
,
agar bo`lsa,

bo`ladi. Tauber [8,t2,s.513] teoremaga asosan da

Bu yerdan va 4-lemmani 1-natijasini hisobga olgan holda

ni hosil qilamiz.
( monoton kamayiishni hisobga olib) Tauber teoremasini qayta qo`llasak 2-teoremaning birinchi qismi isbotlanadi. Ikkinchi qismini isbotlash uchun mos ravishda yuqoridagi muloqazalarni ikkinchi qol shartlari uchun bajaramiz.
TEOREMA 3. Faraz qilaylik 4-lemmani III-qismini shartlari bajariladigan bo`lsin, u holda
a) :
b) :
va agar bo`lsa, u holda

bo`ladi.
Agar yana (16) va (18) bajariladigan bo`lsa, u holda
,
agar bo`lsa,

agar bo`lsa 3-teoremani isboti 2-teoremanikiga o`qshash bo`ladi.
TEOREMA 4. Faraz qilaylik 4-teoremaning IV-qismini shartlari bajariladigan bo`lsin.
Agar (31) o`rinli bo`lsa, u holda
a) shema uchun ,
b) shema uchun o`rinli bo`ladi.
Agar (32) o`rinli bo`lsa, u holda da

bo`ladi.
Agarda (32') o`rinli bo`lsa, u holda agar bo`lsa,

bo`ladi, agar bo`lsa,

bo`ladi.
TEOREMA 5. Faraz qilaylik 4-lemmani V-qismini shartlari bajarilgan bo`lsin.
Agar (35) o`rinli bo`lsa, u holda
a) shema uchun ,
b) shema uchun bo`ladi.
Agar (36) o`rinli bo`lsa, u holda
a) :
b) ;
agar (37) o`rinli bo`lsa, u holda da
,
va agar (37') o`rinli bo`lsa, u holda

agar bo`lsa,

bo`ladi.
Bu teoremani isboti 1,2 teoremalarning isboti kabi bo`ladi.

TEOREMA 6. Immigratsiyali Belman-Harris jarayonidagi holat qaytaruvchi (ya``ni ) bo`ladi, agarda:

bo`lsa.
Masalan, agar o`rinli bo`ladi, faqat bo`lsa.

va (48) bajarilganda.
va (32) o`rinli bo`ladi, yoki va (48) bajarilsa o`rniga (49) qo`yilganda.
(36) yoki (37) o`rinli bo`lsa va yoki va (48) da o`rniga (50) dan qo`yilsa.
Boshqa barcha qollarda qolat qaytmaydigan bo`ladi, ya``ni masalan, qismida agar yoki qismida yoki va integral yaqinlashuvchi (48) bajarilganda va qokazo.
[5] A.M.Zubkovga o`hshash ommaviy hizmat nazariyasidan misol keltiramiz.
Faraz qilaylik sistema cheksiz sondagi bir xil asboblardan tashkil topgan bo`lib, unga ordinar bo`lmagan Puasson oqimi kelib tushsin va bu talablar oqimi maqolani boshidagi immigratsiyalanuvchi zarrachalar oqimi bilan ustma-ust tushsin.
bitta talabga hizmat qilishini taqsimot funksiyasi.
tasodifiy miqdor sistemaning bandlik davrining davomiyligi.
Ko`rish mumkinki bandlik davri, yashash davri bilan ustma-ust tushadi, agar

bo`lsa, u holda [1] dagi

Bu holda sistemaning bo`sh qolatiga qaytishi (ya``ni sistemada talab yo`q bo`lishi) uchun
(*)
bo`lishi zarur va etarlidir.
(*) integralni yaqinlashishi yoki uzoqlashishini 1-6 teoremadan keltirib chiqarish mumkin.