Gündüz Əvəzağa oğlu Əliyev Gülhava Akif qızı Nəbiyeva

88 
 
6.2. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi 
  
Kəsilməz ?????? təsadüfi  kəmiyyətinin  paylanma  funksiyası ??????(??????)-
dirsə və 
∫ |??????|
+∞
−∞
 ????????????(??????) < +∞
 
olarsa, 
??????(??????) = ∫  ?????? ????????????(??????)
+∞
−∞
                                (6.2)
 
 
bərabərliyinin  sağ  tərəfindəki  inteqrala  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin 
riyazi gözləməsi deyilir. 
Kəsilməz  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin  paylanmasının  sıxlıq 
funksiyası ??????(??????)-dirsə və 
 
∫ |??????|
+∞
−∞
 ??????(??????)???????????? < +∞
 
olarsa, 
??????(??????) = ∫  ?????? ??????(??????)????????????
+∞
−∞
                            (6.3)
 
 
bərabərliyinin  sağ  tərəfindəki  inteqrala  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin 
riyazi gözləməsi deyilir. 
 
Məsələ  6.1.  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin  paylanmasının  sıxlıq 
funksiyası  
 
??????(??????) = {
2??????,                0 ≤ ?????? ≤ 1
0,
??????????????????ə?????? ℎ?????????????????????????????????????????? 

---

89 
 
şəklində ifadə olunarsa, ??????(??????)-i tapın. 
 
Həlli:  
Riyazi gözləmənin tərifinə görə 
 
??????(??????) = ∫  ?????? ??????(??????)????????????
+∞
−∞
= ∫ 2 ??????
2
 ????????????
1
0
=
2
3
 .
 
 
6.3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası 
 
 
 
Paylanma  funksiyası  ??????(??????)  olan    ??????    təsadüfi  kəmiyyətinin 
dispersiyası 
 
??????????????????(??????) = ∫ (?????? − ??????(??????))
2
 ????????????(??????)
+∞
−∞
                     (6.4)
 
 
düsturu; paylanmasının sıxlıq funksiyası ??????(??????) olan mütləq kəsilməz 
təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası 
 
??????????????????(??????) = ∫ (?????? − ??????(??????))
2
 ??????(??????)????????????
+∞
−∞
                     (6.5)
 
 
düsturu ilə hesablanır.  
 
Məsələ 6.2. 
 
Kəsilməz  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin  paylanmasının  sıxlıq 
funksiyası aşağıdakı ifadə ilə verilmişdir: 
  
??????(??????) = {4?????? ??????
−2??????
,               ?????? > 0
0,
??????????????????ə?????? ℎ?????????????????????????????????????????? 

---

90 
 
a)
 
??????(??????)
-i tapın. 
b)
 
??????????????????(??????)
-i tapın. 
 
Həlli: 
Bu  misalın  həllində  ∫ ??????
??????
 ??????
−??????
????????????
∞
0
= ??????!
 eyniliyindən  istifadə 
edəcəyik. 
a)
 
?????? = 2??????
 əvəzləməsi aparaq, riyazi gözləmənin tərifinə əsasən alırıq: 
b)
 
 
??????(??????) = ∫ 4??????
2
 ??????
−2??????
????????????
∞
0
=
1
2
∫ ??????
2
 ??????
−??????
????????????
∞
0
=
2!
2
= 1 .
 
 
c)
 
Əvvəlcə  ??????(??????
2
)
-nı  tapaq.  Yenə  də  ?????? = 2??????  əvəzləməsindən 
istifadə edəcəyik. Onda  
 
??????(??????
2
) = ∫ 4??????
3
 ??????
−2??????
????????????
∞
0
=
1
4
∫ ??????
3
 ??????
−??????
????????????
∞
0
=
3!
4
=
3
2
 .
 
 
Beləliklə,  
 
??????????????????(??????) = ??????(??????
2
) − (??????(??????))
2
=
3
2
− 1 =
1
2
 .
 
 
 
Mütləq  kəsilməz  paylanma  funksiyalarının  bəzi  nümunələri 
ilə tanış olaq.  
 
 
 
 
 
 

---

91 
 
6.4. Kəsilməz paylanma funksiyaları 
 
[??????, ??????]
 parçasında müntəzəm paylanma 
Müntəzəm paylanma mütləq kəsilməz paylanmalar arasında ən 
sadə paylanmadır. Paylanma funksiyası 
 
??????(??????) = {
0,          ?????? ≤ ??????
??????−??????
??????−??????
, ?????? < ?????? ≤ ??????
1,        ?????? > ??????
                                (6.6) 
 
olan  ??????  təsadüfi  kəmiyyətinin  paylanmasının  sıxlıq  funksiyası     
??????(??????) = ??????
′
(??????)
 bütün nöqtələrdə təyin olunmuşdur: 
 
??????(??????) = {
1
??????−??????
,    ?????? ∈ (??????, ??????];     
0,        ?????? ∈
̅ (??????, ??????].
                        (6.7) 
 
Paylanmasının  sıxlıq  funksiyası  (6.7)  bərabərliyi  ilə  verilən 
paylanmaya [??????, ??????]
 parçasında müntəzəm paylanma deyilir. 
[??????, ??????]
 parçasında müntəzəm paylanan ?????? təsadüfi kəmiyyətinin 
paylanma funksiyası və paylanmasının sıxlıq funksiyasının qrafikləri 
uyğun olaraq, şəkil 3 və şəkil 4-də verilmişdir: 
 
 
şəkil 3 
şəkil 4 
 

---

92 
 
Əgər  ?????? = 0  və  ?????? = 1  olarsa,
 ??????  təsadüfi  kəmiyyəti  standart 
müntəzəm paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyət adlanır. 
 
Məsələ 6.3. 
??????
 –  sığorta  hadisə  baş  verdiyi  zaman  yaranan  itki  məbləğini 
ifadə  edən  təsadüfi  kəmiyyətdir  və  məlumdur  ki,  itki  məbləği 
[0, 5000]
 parçasında  müntəzəm  paylanmaya  malikdir.  Zərər 
məbləğinin 2000 AZN-dən az olmamasının ehtimalını tapın.
 
 
 
Həlli: 
??????
 təsadüfi  kəmiyyəti  [0, 5000]  parçasında  müntəzəm 
paylanmaya malik olduğundan və (6.6) düsturundan alırıq ki,  
 
??????(?????? ≥ 2000) =
5000 − 2000
5000
=
3000
5000
= 0,6 .
 
 
[??????, ??????]
 parçasında  müntəzəm  paylanmaya  malik  təsadüfi 
kəmiyyətin riyazi gözləməsi 
 
??????(??????) = ∫
1
?????? − ??????
 ?????? ????????????
??????
??????
=
1
?????? − ??????
∫ ?????? ????????????
??????
??????
=
?????? + ??????
2
 
 
olacaqdır. 
İndi isə [??????, ??????] parçasında müntəzəm paylanmaya malik təsadüfi 
kəmiyyətin dispersiyasını tapaq. 
Artıq bildiyimiz kimi bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi 
??????(??????) =
??????+??????
2
-yə bərabərdir. ??????(??????
2
)
-nı hesablayaq: 
 
??????(??????
2
) =
1
?????? − ??????
∫ ??????
2
 ????????????
??????
??????
=
1
3
 ∙ 
??????
3
− ??????
3
?????? − ??????
=
1
3
∙ (??????
2
+ ???????????? + ??????
2
).
 

---