Asosiy savollar

a  b _
2
tengsizlikdan foydalanib isbotlash.

Avvalo o‘quvchilarga uning sodda ko‘rinishlarini isbotlashni taklif etish mumkin:

1. 1  x  2
; 2. x  ¹
x
 2 ; 3.
x²  y²
2
 xy ;4.
2(x²  y² )  (x  y)²

Shundan so‘ng, quyidagi ko‘rinishdagi tengsizliklarni isbotlashga o‘tish mumkin:

Agar
x, y, z
- musbat sonlar bo‘lsa,
x⁴  y⁴  z⁴  xyz (x  y  z)

tengsizlik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
Buni isbotlash ikki marta asosiy tengsizlikni qo‘llash orqali amalga oshiriladi.

2. 
   Harfiy ifodani yig‘indi yoki ayirma shaklida tasvirlash usuli.
   

Bunda qulay shakl almashtirishlar yordamida ifodani hadlarini 1 yoki 0 bilan oson taqqoslash mumkin bo‘lgan ko‘rinishga keltiriladi.
Misol. x ixtiyoriy son bo‘lganda


x(x  1)(x  2)(x  3)  1
tengsizlikni isbotlashda uning birinchi va to‘rtinchi, ikkinchi va uchinchi hadlarni alohida ko‘paytirib, tengsizlikning
(x²  3x  1)²  1  1
isbotini olish mumkin.

3. 
   Harfiy ifodalarni ko‘paytuvchilarga ajratish usuli, bunda agar o‘suvchi funksiya va a, v bu funksiya aniqlanish sohasiga tegishli sonlar bo‘lsa,
   

^{u holda (} (a  b)( f (a)  f (b))  0 ^{tengsizlik o‘rinli bo‘lishidan foydalaniladi.}

Masalan, musbat x va u sonlar uchun
_x4

 y⁴ 

x _ y⁶

6
_y2 _x2

tengsizlikni isbotlashda yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.
x²  a, y²  b
belgilashlarni kiritib,

4. 
   Darajani o‘z ichiga olgan sonli ifodalarni ayniy shakl almashtirish
   

usuli, bu asosan darajaga bog‘liq ifodalarni katta yoki kichikligini aniqlashga doir masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Bunga doir quyidagi mashqlardan foydalanish mumkin:
Taqqoslang: qaysi katta 7⁹² mi yoki 8⁹¹ , 2⁴⁰ mi yoki 3³⁷ ?

5. 
   Matematik induksiya prinsipi asosida isbotlash usuli natural sonlar va ularning yigindilari bilan bog‘liq ko‘p tengsizliklarni isbotlashda qo‘llaniladi.Bunda o‘quvchilarga har bir qadamning asoslanishi hamda uning turli xil ko‘rinishlarini hisobga olgan holda isbotlashga o‘rgatish maqsadga muvofiq.
   

Masalan, agar ikkita natural sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib,

biror natural son m uchun
a_m  b_m
o‘rinli bo‘lib, barcha
k  m
lar uchun

^ak 1 ^{ a}k

•