Asosiy savollar

Zarur va yetarli shartlarni ham o‘rganish talab etiladi. Umuman olganda, r mulohaza uchun x uchun yetarli shart bo‘ladi, agar xr implikatsiya rost natija bersa, r mulohaza x uchun yetarli shart bo‘ladi, agar rx implikatsiya rost bo‘lsa. Masalan, natural son 6 ga bo‘linishi uchun u juft bo‘lishi zarur, lekin yetarli emas, natural son juft bo‘lishi uchun u 6 ga bo‘linishi yetarli.Natural son 2 ga bo‘linishi uchun u juft bo‘lishi zarur va yetarli.
Zarur va yetarli shartlar: r shart uchun zarur va yetarli shart bo‘ladi, agar bir vaqtning o‘zida xr va rx implikatsiyalar rost bo‘lishi kerak.
Tushuncha ostiga kiritish. U yoki bu ob’ekt yoki munosabat berilgan tushuncha hajmidan iborat ob’ektlar yoki munosabatlar to‘plamiga mos ravishda tegishliligini isbotlash faoliyati tushuncha ostiga kiritish deyiladi.
Maktabda o‘quvchilarning matematik tafakkurini rivojlantirishda isbotlashga doir masalalarni yechish muhimdir. Ayniqsa, algebra darslarida bunday masalalarni yechishga o‘rgatish uchun yetarli imkoniyatlar mavjud. Ko‘p qo‘llaniladigan teskarisidan faraz qilish, matematik induksiya usullaridan tashqari o‘quvchilarga ba’zi o‘ziga xos usullarni ham o‘rgatish ularning matematik fikrlash faoliyatlarini rivojlantirishga ijobiy ta’sir ko‘rsatadi. Ana shunday usullarni 7-9-sinf algebra darslarida foydalanish jihatlariga to‘xtalib o‘tamiz.

1. 
   Kontrapozitsiya bo‘yicha isbotlash. Bu usulda A V mulohazani isbot- lash o‘rniga V ga qarama-qarshi mulohazani rost deb faraz qilib, A ga qarama- qarshi mulohazaning haqiqatligini keltirib chiqarishga harakat qilinadi. Mazkur usul bevosita
   

2. 
   isbotlash ancha murakkab bo‘lgan holda qo‘llanib, dastlab
   

o‘quvchilarga AV mulohazadan A  C mulohazani tuza olish, so‘ngra esa

isbotlash usulini tadqiq etishga o‘rgatiladi. Masalan, qisqa ko‘paytirish

formulalarini o‘rganishda: agar 9a²-12ac +2b<0 bo‘lsa, u holda b ≤ 5cs²
o‘rinli bo‘lishini isbotlash o‘rniga, “agar b > 2c² bo‘lsa, 9a² 12ac  2b  0
tengsizlik o‘rinli bo‘lishini isbotlash oson ekanligini ko‘rsatish mumkin:
9a ² 12ac  2b  9a ²  12ac  4c²  (3a  2c)²  0

3. 
   Kontrmisol va tasdiqlovchi misol keltirish usullari. Kontrmisol
   

sifatida x / P(x).va.(x)R(x) mulohazalar teng kuchliligini hisobga olib,
xX,P(x) mulohaza yolg‘onligini ko‘rsatish uchun X sohadagi shunday x qiymatni topish kerakki, uning uchun P xossa bajarilmasligini ko‘rsatish yetarli. Masalan, “Tengsizliklar” mavzusini o‘rganishda “ c>1/c bo‘lsa, s>1 bo‘lishi to‘g‘rimi” mulohazasiga kontrmisol sifatida s=-0,5 ni olish mumkin, chunki –0,5>1/-0,5=-2 bo‘lsa, u holda s=-0,5<1 bo‘ladi. “Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish” mavzusini o‘rganishda “n³+5n-1 ifodaning qiymati ixtiyoriy natural n da tub son bo‘lishi to‘g‘rimi” muloxazasi uchun n=6 kontrmisol bo‘ladi va h.k.
Tasdiqlovchi misol usulida xx) mulohaza rostligini isbotlash
uchun X sohada hech bo‘lmaganda bitta x qiymatni topish kerakki uning uchun R xossa bajarilishi ko‘rsatiladi. Masalan, “Natural ko‘rsatkichli daraja” mavzusini o‘rganishda “ x⁵+u⁵=33⁶ tenglikni qanoatlantiruvchi x va u natural sonlar mavjudmi?” mashqi uchun tasdiqlovchi misol x=66, u=33 qiymatlar

hisoblanadi. Yoki bunga o‘xshash =xy tenglikni qanoatlantiruvchi x va u
sonlar mavjudmi?” (tasdiqlovchi misol: x=1, u=1), “|a-b|=|a|-|b| tenglik ayniyat bo‘ladimi?” (kontrmisol: a=3, v=-4) va hokazo.
Bu usulni qo‘llashda o‘qituvchi asosiy e’tiborni isbotlash talab
etilayotgan mashqlar talabida “to‘g‘rimi?”, “mavjudmi?”, “mumkinmi?” degan ^{savollarning borligiga hamda berilgan shartda ikkita A yoki}  ^tasdiqlardan birortasining haqiqatligini ko‘rsatish zarurligiga qaratish lozim.

4. 
   Analiz va sintezning turli xususiy ko‘rinishlaridan foydalanish usuli. Bunday usullarga algebra darslarida: a) kasrning butun qismini ajratish; b) butun qismlarga ajratish (analiz); v) butun qismlar bo‘yicha qayta tuzish (sintez); g) ularning kombinatsiyasidan iborat usul (analiz va sintez) lar kiradi.
   

Birinchi usul asosan “Algebraik kasrlar” va “Ratsional tenglamalar” mavzularini o‘rganishda ifodalarni ayniy shakl almashtirish yoki tenglamalar yechimlarini topish uchun qo‘llaniladi. Masalan, u=(x²-5)/(x² +1) kasrning eng kichik qiymatini topishda bu ifodaning butun qismi ajratilib u=1-6/x²
+1ning x=0 dagi u=-5 ga teng qiymati ekanligi keltirib chiqariladi. Bundan keyinchalik funksiyalar eng kichik va eng katta qiymatlarini topishda, funksiya qiymatlar sohasini topishda yoki funksiyaning o‘suvchi yoki kamayuvchiligini isbotlashda ham keng qo‘llaniladi. Masalan, u=x/x+1 funksiyaning x>-1 da o‘suvchi ekanligini isbotlash uchun uni u=1-1/x+1 ko‘rinishga keltirib, isbotlanadi. Ikkinchi usulda ifoda qismlarga ajratib tadqiq etiladi. Masalan, “a³+3a³+8a ifoda ixtiyoriy natural a da 6 ga bo‘linishini isbotlash uchun (a³+3a²+2a)+va=a(a+1)(a+2)+va ko‘rinishga keltirilib, mulohaza isbotlanadi. Uchinchi usulda butunning qismlari qayta tuzilib, yangi ko‘rinishga keltiriladi. Masalan, 9x²-2ux+6 ifodaning hamma vaqt musbat ekanligini ko‘rsatish uchun “to‘liq kvadrat ajratilib” (3x- 4)²+47>0 ekanligi isbotlanadi. Va nihoyat, to‘rtinchi usulda ifoda oldin qismlarga ajratilib, so‘ngra ularni tuzish amalga oshiriladi. Masalan, a>0, v>0, s>0 bo‘lsa,
ekanligini isbotlashda
dan foydalanish mumkin.

5. 
   Barcha xususiy hollarni qarab chiqish usuli. Bu usulda mulohazaga tegishli barcha xususiy hollar qaralib, qarama-qarshilikka yoki to‘g‘ri mulohazaga kelish amalga oshiriladi. Masalan, sonlarning irratsionalligini isbotlashda bo‘linish alomatidan foydalanib quyidagi masalani yechish mumkin.
   

1. 
   masala. A= - bunda k-butun son ko‘rinishidagi sonning
   

irratsionalligini isbotlang.
Isbot. Har qanday butun son 5 ga bo‘linganda, faqat 0,1,2,3,4 qoldiqlar bergani uchun butun sonning kvadrati faqat 0,1 va 4 qoldiqlarni beradi. Shuning uchun a va a² ning tub ko‘paytuvchilari yoyilmasida qandaydir r ko‘paytuvchi toq daraja bilan kiradi. Lekin a=mn-qisqarmas ratsional son bo‘lsin, u holda m²=a²n² va m:p, n:p qarama-qarshilik.
Yana shunga o‘xshash quyidagi masalani yechishda ham biror xususiy hol qaralib, keyin qarama-qarshilik hosil qilishdan foydalaniladi.

2. 
   masala. 0,12345.. (barcha sonlar tartib bilan yozilgan) sonning irratsionalligini isbotlang.
   

Isbot. Faraz qilaylik, bu davriy kasr davri n ta belgidan iborat bo‘lsin. Lekin bu kasrda qatorasiga 2n+1 ta nolga joy topiladi. Bu oraliqda butun bir davr joylashishi lozim, ya’ni butun bir davr joylashadi, ya’ni davr nollardan tashkil topgan, lekin bu unday emas, qarama-qarshilikka keldik.
Algebra darslarida ayniqsa tengsizliklarni isbotlash usullariga o‘rgatish muhimdir. Bunda quyidagi usullarni qo‘llashni o‘rgatish zarur:

1. 
   Ikki son o‘rta arifmetigi va o‘rta geometrigi orasidagi tengsizlikdan
   

foydalanish usuli, ya’ni