Algebra va sonlar nazariyasi fanidan

Normal va musbat operatorlar
Chiziqli operator uchun bo’lsa, u normal deb ataladi. Bu holda va operatorlar L da umumiy xos e vektorga ega. Mos xos sonlar o’zaro kompleks qo’shma sonlar. Haqiqatan , , bo’lsa, u holda bundan .
Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli operator uchun xos bektorlardan iborat ortonormal basis mavjud bo’lishi uchun uning normal bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Chiziqli operator uchun - uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis va - ularga mos xos sonlar bo’lsin. Bu bazisda ushbu matrisaga, esa ushbu matrisaga ega. Dioganal A va matrisalar o’rin almashish xossasiga ega bo’lgani sababli ya’ni normal.
Teskari tasidiqni n=dimL bo’yicha induksiya ishlatib isbotlaymiz. Agar n=1 bo’lsa, tasdiqning to’g’riligi ravshan. Endi n>1 , - chiziqli va operatorlarning L dagi umumiy xos vektori, va bo’lsin. U holda bo’lib, fazo va ga nisbatan invariant bu ni chiziqli forma deb qaraymiz. Haqiqatan , agar bo’lsa, u holda va . Induksiya faraziga muvofiq da operatorning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazisdir.
Musbat operatorlar
Agar chekli o’lchamli unitar L fazodagi chiziqli operator uchun tenglikni qanoatlantiruvchi maxsusmas chiziqli g operator mavjud bo’lsa, musbat deb ataladi. Ravshanki, ham maxsusmas va har qanday uchun .
Teorema . Chekli o’lchamli unitar L fazoda berilgan chiziqli operatorning musbat bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarning musbat bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Chiziqli operator musbat bo’lsin: . U holda , ya’ni o’z-o’ziga qo’shma, va demak, normal. Agar bo’lsa, u holda . Bundan .
Aksincha normal va barcha xos sonlari musbat bo’lsin. U holda biror ortonormal bazisda uning matrisasi quyidagi ko’rinishga ega:

.
Shunday qilib bu yerda g- matrisasi B bo’lgan chiziqli operator.

Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar
Evklid fazosida chiziqli operatorlar nazaryasi unitar fazodagi kabi quriladi. Bu nazaryalar orasidagi asosiy farq shuki, Evklid fazosida ba’zi bir chiziqli operatorlar xos vekorga ega bo’lmasligi mumkin.
Evklid V fazosida chiziqli va operatorlar berilgan bo’lsin. Har qanday uchun tenglikni qanoatlantiruvchi operator ga qo’shma deb ataladi. Huddi unitar fazolardagi kabi, agar qo’shma operator mavjud bo’lsa, uning yagonaligi isbotlanadi. Chiziqli operatorga qo’shma bo’lgan operatorni orqali belgilaymiz. Qo’shma operatorning evklid fazolardagi quyida keltiriladigan xossalari xuddi unitary fazolardagi kabi isbotlanadi:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   

5. Agar ning teskarisi mavjud bo’lsa, ning ham teskarisi mavjud va .

   
   

Teorema. Chekli o’lchamli Evklid V fazosida har qanday chiziqli operator uchun qo’shma operator mavjud. Agar operatorning biror ortonormal bazisdagi matrisasi A bo’lsa, u holda operatorning shu bazisdagi matrisasi .

Isboti. Chiziqli operatorning ortonormal bazisdagi matrisasi bo’lsin. Bu bazisda matrisasi bo’lgan operatorni orqali belgilaymiz. U holda .
Bichiziqli va formalarni olib, ularning berilgan bazisdagi matrisalarni hisoblaymiz:

, .
Demak,bu formalar berilgan bazisda bir xil matrisaga ega. Bunday har qanday uchun ,ya’ni tenglikni olamiz.

Agar Evklid V fazosidagi chiziqli operator uchun ya’ni har qanday _uchun bo’lsa, u o’z-o’ziga qo’shma yoki simmetrik deb ataladi.
Chekli o’lchamli yevklid fazosida operatorning simmetrikligiga teng kuchli. Haqiqatan, agar operatorning _{ortonormal bazisdagi matrisasi} bo’lsa, u holda bichiziqli formaning matrisasi , bichiziqli formaning matrisasi esa A. Bu bichiziqli formalar o’zaro teng bo’lgani sababli , ya’ni - simmetrik.
Aksincha, agar biror ortonormal bazisda bichiziqli va formalar bir xil matrisaga ega.
Teorema. Chekli o’lchamli evklid fazosida chiziqli operatorning xos vektorlardan iborat ortonormal bazisining mavjud bo’lishi uchun uning simmetrik bo’lishi zarur va kifoya.
Isbot. Agar chiziqli operatorning xos vektorlaridan iborat ortonormal basis mavjud bo’lsa, u holda bu bazisda ning matrisasi diagonal, demak, simmetrik. Yuqoridagi izohga ko’ra ham simmetrik.
Teskari tasdiqni evklid V fazoning o’lchami bo’yicha induksiya yordamida isbotlaymiz. Agar n=1 bo’lsa, tasdiqning to’g’rligi ravshan. Endi n>1 va tasdiq o’lchami tengsizlikni qanoatlantiruvchi fazolar uchun to’g’ri deb faraz qilamiz. V- haqiqiy fazo bo’lgan, shunday baravar nolga teng bo’lmagan vektorlar va sonlar mavjudki, . Bundan bundan bu yerda bo’lgani uchun . Demak . Bu x, y vektorlarning noldan farqlisini olib, uni o’z uzunligiga bo’lamiz. Hosil bo’lgan vektorni orqali belgilaymiz.
Chiziqli V fazoda ga orthogonal bo’lgan bo’lgan vektorlardan iborat qism fazoni orqali belgilaymiz, . fazo ga nisbatan invariant. Haqiqatan, agar bo’lsa, u holda . Bundan ya’ni .
Induksiyaning faraziga muvofiq da ning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal basis mavjud. Bu tizimga ni qo’shsak, V da ning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazisni hosil qilamiz.
1-natija. Simmetrik operatorning xarakteristik ko’phadi faqat haqiqiy ildizlarga ega.
Isboti. Simmetrik operatorning A matrisasi uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazisda bazisga ega. Demak, .
2-natija. Chekli o’lchamli evklid fazosida har qanday simmetrik bichiziqli forma uchun ortonormal kanonik bazis mavjud.
Isboti. Chekli o’lchamli evklid V fazosida simmetrik bichiziqli forma berilgan va A unung biror ortonormal bazisdagi matrisasi bo’lsin. U holda A- simmetrik va bu matrisa aniqlagan operator ham simmetrik bo’lib, 2-teoremaga asosan operator uchun uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis mavjud bo’lib, bu bazis uchun kanonik, chunki har bir uchun .
Teorema. Chekli o’lchamli haqiqiy V fazoda simmetrik bichiziqli va formalar berilgan va kvadratik forma musbat bo’lsin. U holda V da tenglik bilan skalyar ko’paytma kiritib, V ni evklid fazosiga aylantiramiz. 2-natija bo’yicha forma uchun olinga ortonormal kanonik bazis forma uchun ham kanonik chunki bu bazis ortonormal.
Agar Evklid V fazosidagi chiziqli operatorning teskarisi mavjud va bo’lsa, u ortoganal deb ataladi.
Bu ta’rifdan ortogonal operatorning skalyar ko’paytmasi o’zgartirmasligi va demak, vektorlarning uzunligi hamda ular orasidagi burchakni saqlashi kelib chiqadi: .
Xususan, ortoganal operator ortonormal tizimni ortonormal tizimga akslantiradi. Chekli o’lchamli fazolarda tekari tasdiq ham o’rinli: agar biror chiziqli operator biror ortonormal bazisni ortonormal bazisga akslantirsa, u ortogonaldir.
Haqiqatan, V evklid fazosida - ortonormal bazis va bo’lsin. U holda V dagi har qanday vektorlar uchun .
Bundan . Bu yerda deb olsak, . Demak x=0, ya’ni har qanday uchun, ya’ni .
Agar kvadrat A matrisa maxsusmas va bo’lsa, u ortoganal deb ataladi.
Masalan, agar birinchi tartibli ortoganal matrisa bo’lsa, u holda , ya’ni . Ikkinchi tartibli ortoganal matrisa uchun tengliklar kelib chiqadi. tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Ushbu detA=1 tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday A matrisa uchun shunday mavjudki, , , , , ya’ni

Ko’rinishga ega. Agar detA=-1 bo’lsa, u ushbu ko’rinishga ega.

Agar ortoganal operatorning ortonormal bazisidagi matrisasi A bo’lsa, u holda tenglikdan tenglik, ya’ni A ning ortoganalligi kelib chiqadi. Aksincha, chiziqli operatorning A matrisasi biror ortonormal bazisda ortoganal, ya’ni bo’lsa, u holda . Demak, ham ortoganal.
Evklid fazosidagi chiziqli operator uchun tenglikni qanoatlantiruvchi teskarisi mavjud bo’lgan g operator mavjud bo’lsa, operator musbat deb ataladi. Chekli o’lchamli fazoda chiziqli operatorning musbatligiga teng kuchli. Xuddi unitar fazodagi kabi chekli o’lchamli Evklid fazosidagi har qanday maxsusmas chiziqli operator musbat va ortoganal operatorning ko’paytmasi shaklida ifodalanishi ko’rsatiladi.