Algebra va sonlar nazariyasi fanidan

Kurs ishning maqsadi: Chiziqli algebra va funksional analiz fanlarining muhim bo`limlaridan biri bo`lgan chiziqli operatorlarni xossalarini va ba`zi bir tatbiqlarini o`rganishdan iborat.

Kurs ishning vazifasi:

1. Chiziqli operatorlar va o’zaro teskari chiziqli operatorlar haqida o’rganish.
2. Chiziqli operatorning turli bazisdagi matrisalari orasidagi bog’lanishni o’rganish.
3. Unitar va Evklid fazolarida chiziqli operatorlar va o`z-o`ziga qo`shma operatorlarlarni xossalari va tatbiqlarini o`rganish.

Kurs ishning ilmiyligi va ilmiy ahamiyati: Kurs ishi mavzusiga oid barcha muhim bo`lgan adabiyotlarni to`plash va ular asosida chiziqli fazo, evklid fazosi, chiziqli operator ta`rifi va xossalari hamda tatbiqlari bilan tanishib, ular qo`llaniladigan sohani yanada chuqurroq o`rganishdan iborat. Ushbu kurs ish ikkita bob va oltita paragrafdan iborat. Birinchi bob birinchi paragrafda chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari. Ikkinchi paragrafda esa chiziqli operatorlar va ularning turli bazisga nisbatan bog’lanishi haqidagi tushunchalar yoritilgan.Uchinchi paragrfda o’zaro teskari chiziqli operatorlar ta’riflari keltirilgan. Ikkinchi bob birinchi paragrafda Unitar fazolarda chiziqli operatorlar, o’z-o’ziga qo’shma operatorlar va uning asosiy xossalari yoritilgan. Ikkinchi paragrafda normal va musbat operatorlar haqida ma’lumot berilgan. Uchinchi paragrafda esa Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar ta`rifi va xossalari yoritilgan.
Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
1-ta`rif. V va W lar mos ravishda n va m o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin. V ni W ga o`tqazuvchi A operator deb, A:V W akslantirishga aytiladiki, u V ning har bir x elementini W fazoning biror y elementiga o`tqazadi.( Chiziqli fazoning o’zini o’ziga chiziqli akslantirishi chiziqli operator deb ataladi.)
2-ta`rif. V ni W ga o`tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda V ning ixtiyoriy ikkita va hamda λ kompleks son uchun quyidagi shartlar bajarilsa:
1 (operatorni additivligi)
2. (operatorning bir jinsligi)
Agar W fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda V ni W ga o`tqazuvchi A chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi. Agar W fazo V fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda V ni W ga o`tqazuvchi chiziqli operator V fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi. A va B V ni W ga o`tqazuvchi ikkita chiziqli operator bo`lsin. Bu operatorlarning yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytamiz:

(1)
A operatorning λ skalyarga ko`paytmasi deb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytiladi:

(2)
O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga o`tqazuvchi operatorga aytiladi:

A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan operatorga aytiladi:
Tasdiq. Barcha V ni W ga o`tqazuvchi operatorlarning L(V,W ) to`plami yuqorida aniqlangan operatorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari hamda tanlangan nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.
L(V,W ) to`plamni o`rganamiz. Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga aytiladi: (bu erda x -V fazoning ixtiyoriy elementi)
L(V,W ) fazoda operatorlarning ko`paytmasi tushunchasini kiritamiz.
L(V,W ) fazodagi A va B operatorlarning AB ko`paytmasi deb, quyidagi operatorga aytiladi: (3)
Umumiy holda
L(V,W ) fazodagi chiziqli operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1.
2. (4)
3.
4.
4 xossadan L(V,W ) fazodagi chekli sondagi operatorlar uchun ko`paytmani aniqlash mumkinligi kelib chiqadi va xususan A operetorning n darajasi quyidagi formula orqali aniqlanadi:
Ravshanki, munosabat o’rinli:
Misollar.

1. F maydonning tayin bir elementi berilgan bo’lsin. Bu maydon ustidagi V chiziqli fazoning akslantirishi chiziqli operatoridir.

   
   

2. va fazolarda biror to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Yo’naltirilgan kesmani bu to’g’ri chiziqqa ortogonal proeksiyalanishi chiziqli operatordir.

   
   

3) matrisa berilgan bo’lsin. chiziqli fazo elementlarini n ta elementli bir ustun ko’rinishda ifodalab, uning o’zini o’ziga ushbu (A matrisani chapdan x ustunga ko’paytirish) akslantirishi chiziqli operatordir.

4) va chiziqli fazolarda hosila olish amali –chiziqli operator.
5) fazoda har bir uzluksiz funksiya uchun, ( ), tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish chiziqli operator.