2-amaliy mashg`ulot. Normalangan fazo va ularning xossalari. Banax fazosi Chiziqli funksionallar

2-amaliy mashg`ulot. Normalangan fazo va ularning xossalari. Banax fazosi


Chiziqli funksionallar
Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo‘lsa, bunday operator funksional deyiladi . Agar chiziqli fazoda aniqlangan funksional uchun quyidagi shartlar bajarilsa
1) ; additivlik
2) bir jinslilik
ga chiziqli funksional deyiladi.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, funksional nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar funksional ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa, uzluksiz funksional deyiladi.
23.1-ta’rifga teng kuchli bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltirishimiz.
2-ta’rif. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo‘lsa, u holda funksional nuqtada uzluksiz deyiladi.
- kompleks sonlar to‘plami ( - haqiqiy sonlar to‘plami) Banax fazosi bo‘lganligi uchun 11-§ da chiziqli operatorlar uchun o‘rnatilgan teorema va tasdiqlar chiziqli funksionallar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional biror nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu chiziqli funksional butun fazoda uzluksiz.
2-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional uzluksiz bo‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Xuddi chiziqli operatorlardagidek tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlarning aniq quyi chegarasi funksionalning normasi deyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib,
.
Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi uchun
(23.1)
tenglik o‘rinli.
3-teorema. (Xan-Banax). kompleks chiziqli normalangan fazo, - ning qism fazosi va - da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. U holda ni normasini saqlagan holda da aniqlangan chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya’ni

shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional mavjud.
Isbot. Aytaylik, bo‘lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib chiqadiki, barcha larda tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qavariq funksional bo‘ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Shunday ekan, 7.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi:
1) , ,
2) .
Bu yerdan ning chegaralanganligi va tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan,
.
Demak, . ∆
1-natija. chiziqli normalangan fazo va undagi ixtiyoriy belgilangan element bo‘lsin. U holda butun da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki,
, (23.2)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. funksionalni bir o‘lchamli qism fazoda quyida-gicha aniqlaymiz:
.
Ko‘rinib turibdiki,
.
Bu yerdan funksionalni butun gacha chiziqli davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan funksional (23.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo‘ladi. ∆
Endi chiziqli funksionalning davomiga doir misol qaraymiz.
Misol-1. uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosini qaraymiz. qism fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:
.
funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring.
Yechish. funksionalning normasini hisoblaymiz. Agar bo‘lsa, u holda

bo‘ladi. Shuning uchun
.
Demak,
.
Endi tengsizlikni ko‘rsatamiz. Buning uchun fazoda uzluksiz funksiyalarning

ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik uchun quyidagilar o‘rinli:
.
. (23.3)
(23.3) tengsizlikda lar bo‘yicha aniq yuqori chegara olsak,

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu ikkala tengsizlikdan tenglikni olamiz. 7.6-misoldagi kabi chiziqli fazoda funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:
. (23.4)
Ma’lumki, istalgan uchun funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladi. funksional uchun Xan-Banax teoremasining tasdig‘i o‘rinlimi? Boshqacha aytganda tenglik qanday lar uchun o‘rinli? fazodagi chiziqli uzluksiz funksionalning umumiy ko’rinishi haqidagi F. Riss - 23.4-teorema, hamda (23.9) tenglikdan foydalansak, (23.4) ko‘rinishdagi davomlar ichida yagona funksional funksionalning normasini saqlagan holda fazogacha davomi bo‘ladi. 7.6-misolda funksionalni (7.1) shartni saqlagan holda cheksiz ko‘p (kontinuum) usul bilan fazogacha davom ettirish mumkin edi.