A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

TO‘PLAMLAR USTIDA AMALLAR

1. 
   To‘plam tushunchasi. «To‘plam» tushunchasi matematikaning ta‘rifsiz qabul qilingan asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ba‘zi belgilariga asosan birgalikda qaraladigan obyektlar yoki narsalar (predmetlar) majmuasidir. To‘plamni tashkil qiluvchi har bir obyekt yoki narsa uning «elementi» deyiladi. To‘plam tushunchasi misollar yordamida tushuntiriladi. Masalan, Samarqand shahridagi umum ta’lim maktablari, Quyosh sistemasidagi planetalar, barcha natural sonlar, barcha to‘g‘ri kasrlar va hokazolar to‘plamni tashkil etadi.
   

To‘plamlar lotin yoki grek alfavitining bosh harflari bilan, uning elementlari esa kichik harflari bilan belgilanadi. Masalan, А, В, C. D X Y, Z lar bilan to'plamni, a, b, c, d, x, y, z lar bilan esa to‘plamning elementlari belgilanadi.
Agar A to‘plamning elementi a bo‘lsa, a e A kabi yoziladi va «a element A to‘plamga tegishli» deb o‘qiladi. Aks holda, ya'ni a element A to‘plamga tegishli boflmasa, unda at A kabi yoziladi va «a element A to‘plamga tegishli emas» deb o‘qiladi. Masalan, A = {1, 3,5, 7,9} bo‘lsa, u holda 3 e A, 2 g A.
Chekli sondagi elementlardan tashkil topgan to‘plam chekli to‘plam, cheksiz sondagi elementlardan tashkil topgan to‘plam esa cheksiz to‘plam deb ataladi. Masalan, Samarqand shahridagi umumiy o‘rta ta’lim maktablari to'plami chekli to‘plamni, to‘g‘ri kasrlar to'plami esa cheksiz to‘plamni tashkil etadi.
Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo ‘sh to ‘plam deyiladi va 0 kabi belgilanadi. Bo‘sh to‘plamlarga quyidagilar misol bo‘la oladi: a) x² + 1 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami; b) o‘zaro parallel ikkita turli to‘g‘ri chiziqning umumiy nuqtalari to'plami; d) x² + 1 <0 tengsizlikning yechimlari to'plami va h.k.
Ko‘pincha, to‘plamlar, ularning elementlari chekli yoki cheksiz boflishidan qat‘iy nazar, simvolik ravishda doirachalar bilan
tasvirlanadi. Bu tasvirlash to‘plamlar ustida bajariladigan amallami tasawur qilishda va ular orasidagi munosabatlami o‘rganishda ancha qulayliklar tug‘diradi.

1. 
   ta‘rif. Agar A to‘plamning har bir dementi В to‘plamning ham dementi bo‘lsa, A to‘plam to‘plamning qismi yoki qismiy to'plami (to‘plamosti) deb ataladi va A g В kabi belgilanadi (1.1- chizma). Bu quyidagicha o‘qiladi: «В to‘plam A to‘plamni o‘z ichiga oladi».
   

Eslat ma. Bo‘sh to‘plam har qanday A to‘plamning qism to‘plami hisoblanadi: 0 g A. Har qanday A to‘plam o‘z-o‘zining qism to‘plami hisoblanadi: A c A.
Misoliar: 1) A = {1, 3, 5, 7}, B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} bo‘lsa, ta‘rifga ko‘ra A c 5bo‘ladi;

1-chizma.

1.2.- chizma.

2. 
   a, b, c uch elementdan iborat bo‘lgan to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamning hamma qism to‘plamlari quyidagicha bo‘ladi: 0 bo‘sh to‘plam; bir elementli {a}, {b}, {c} to'plamlar; ikki elementli {a, b}, {b, c}, {a, c} to‘plamlar va berilgan {a, b, c} to‘plamning o‘zi.
   
3. 
   ta‘rif. Agar A to‘plam В to‘plamning qismi, В to‘plam A to‘plamning qismi bo'lsa, ya‘ni А с В, В g A bo‘lsa, u holda A va В to‘plamlar bir-biriga teng deyiladi va A = В kabi yoziladi. Masalan: A = {1, -1}, В to‘plam esa ushbu (x- l)²(x + I)³ = 0 tenglamaning barcha haqiqiy ildizlaridan tashkil topgan bo‘lsa, ravshanki, A to‘plam 5to‘plamga tengbo‘ladi.
   
4. 
   To‘plamlar ustida amallar.
   
5. 
   ta‘rif. В ixtiyoriy to'plam bo‘lib, A to‘plam uning biror qismi bo‘lsin. В to‘plamning A ga kirmagan barcha elementlaridan tashkil topgan to‘plam A ning В ga qadar to ‘Idiruvchisi deyiladi va u C_B(A) kabi belgilanadi (1.2-chizma). Masalan, A = {2, 4}, 5={1, 2, 3, 4, 5, 6} bo‘lsa, u holda C_S(A) = {1, 3, 5, 6}.
   
6. 
   ta‘rif. A va В ixtiyoriy to'plamlar bo'lsin. Agar C to'plam A va В to'plamlarning barcha elementlaridan iborat bo‘lib, boshqa elementlari bo‘lmasa, u holda C to‘plam A va В to‘plamlarning yig'indisi (birlashmasi) deyiladi va А о B= C kabi belgilanadi (1.3- chizma).
   

1.З.- chizma.

Eslat ma. Shuni qayd qilib o‘tish kerakki, agar biror element ham A to'plamga, ham 5to‘plamga qarashli bo'lsa, bu element C to‘plamda bir marta hisoblanadi.
Yuqoridagi 4- ta'rifdan to‘plamlarning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1°. AuA=A. 2°. А и В = В и A. 3°. Au 0 = A.
4°. Agar А с В bo‘lsa, A u В = В bo‘ladi.
Misoliar: 1) A = {0, 2, 4. 6, 8, 10}, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bo‘lsa, С = А о В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} bo‘ladi.
2) A = {1, 3, 5, 7, 9, 2л-1, ...}, B={2, 4, 6, 2л,
...} bo‘lsa, С = А о В = (1, 2, 3, 4, 5, 6, n, ...} bo‘ladi.

5. 
   ta‘rif. A va 5to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam A va В to‘plamlarning umumiy qismi yoki ko'paytmasi (kesishmasi) deyiladi va С = A n В kabi belgilanadi (1.4- chizma).
   

To‘plamlarning quyidagi xossalari 5- ta‘rifdan bevosita kelib chiqadi:
5°. A nJ = A. 6°. AnB = В nA. T.A^0 = 0.
8°. Agar А с В bo‘lsa, u holda A n В = A bo'ladi.
Misoliar: 1) A = {±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ...}, В ={±3, ±6, ±9, ±12, ...} bo‘lsa, С = A n В {±6, ±12, ...} bo‘ladi;
2) A = {1, 3, 5, 7, 9}, В = {2, 4, 6, 8} bo‘lsa, A n В = 0 bo‘ladi.
Eslatma. Biz to'plamlarning yig'indisi hamda ko'paytmasi ta’riflarini ikkita to'plam uchun keltirdik. Agar J_p A_v ..., A_n to'plamlar berilgan bo'lsa, ularning yig'indisi A_} о J₂ u ... и A_n

1.4- chizma.