2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensi­allari

1-teorema. funksiya ochiq to’plamda hamda aralash hosilalarga ega bo’lsin. Agar aralash hosilalar nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda shu nuqtada

bo’ladi.
 nuqta koordinatalariga mos ravishda shunday , orttirmalar beraylikki,

bo’lsin. Bu to’g’ri to’rtburchak uchlarini ifodalovchi , , , nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini topib ulardan ushbu

ifodani hosil qilamiz. Bu ifodani quyidagi ikki

ko’rinishda yozish mumkin.
Endi berilgan funksiya yordamida o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan
,
o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan

funksiyalarni tuzaylik. Ravshanki, funksiyalar
,

hosilalarga ega bo’lib, Lagranj teoremasiga asosan
(1)
bo’ladi, bunda .
Yuqorida keltirilgan ifodani funksiyalar orqali ushbu

ko’rinishda yozib, so’ng yana Lagranj teoremasini qo’llab quyidagilarni topamiz:
(2)
Natijada (1) va (2) munosabatlardan

bo’lib, ulardan esa
(3)
bo’lishi kelib chiqadi.
Shartga ko’ra va aralash hosilalar nuqtada uzluksiz. Shuning uchun (3) da limitga o’tsak,

bo’ladi.
2⁰. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli differensiali tushunchasi keltirishdan avval, funksiyaning marta differensiallanuvchiligi tushunchasi bilan tanishamiz.
funksiya ochiq to’plamda berilgan bo’lib, bo’lsin. Ma’lumki, funksiyaning nuqtadagi ort­tirmasi ushbu

ko’rinishda ifodalansa, funksiya nuqtada differensiallanuvchi deb atalar edi, bunda - o’zgarmas sonlar, . Bu holda ko’rgan edikki,

Aytaylik, funksiya to’plamda xususiy hosilalarga ega bo’lsin. Agar bu xususiy hosilalar nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, shu nuqtada ikki marta differensiallanuvchi funksiya deb ataladi.
Umuman, funksiya to’plamda barcha - tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lib, bu xususiy hosilalar nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi deyiladi.