2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensi­allari

2-teorema. funksiya to’plamda barcha - tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lib, bu xususiy hosilalar nuqtada uzluksiz bo’lsa, funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi bo’ladi.
Bu teorema funksiya differensiallanuvchi bo’lishining etarli shartini ifodalovchi teoremaning isbotlanganligi kabi isbotlanadi.
funksiya nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin.
2-ta’rif. funksiyaning nuqtadagi differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va u kabi belgilanadi:
.
Differensiallash qoidalaridan foydalanib topamiz:



funksiyaning nuqtadagi uchinchi, turtinchi va xokazo tartibli differensiallari ham xuddi yuqoridagidek ta’riflanadi.
Umuman, funksiyaning nuqtadagi - tartibli differensiali ning differensial berilgan funksiyaning shu nuqtadagi tartibli differensiali deb ataladi va kabi belgilanadi. Demak,

Biz yuqorida funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali uning xususiy hosilalari orqali ifodalanishini ko’rdik.
funksiyaning keyingi tartibli differensiallarining funksiya xususiy xosilalari orqali ifodasi borgan sari murakkablasha boradi. Shu sababli yuqori tartibli differensiallarni, simvolik ravishda, soddaroq formada ifodalash muhim.
funksiya differensiali

ni simvolik ravishda ( ni formal ravishda qavs tashqarisiga chiqarib) quyidagicha

yozamiz. Unda funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini
(4)
deb qarash mumkin. Bunda qavs ichidagi yig’indi kvadratga ko’tarilib, so’ng ga «ko’paytiriladi». Keyin daraja ko’rsatkich­la­ri xususiy hosilalar tartibi deb hisoblanadi.
Shu tarzda kiritilgan simvolik ifodalash funksiyaning - tartibli differensialini

kabi yozish imkonini beradi.