2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensi­allari

Mavzu. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning yuqori
tartibli hosila va differensiallari


Reja
1. Funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilalari.
2. Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.
3. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensi­allari.
1⁰. Funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilalari. funksiya ochiq to’plamda berilgan bo’lib, uning har bir nuqtasida xususiy hosilalarga ega bo’lsin. Ravshanki, bu xususiy hosilalar o’z navbatida o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lib, ularning funksiyalari bo’lib qolishi mumkin. Berilgan funksiya xususiy hosilalari larning ham xususiy hosilalarini qarash mumkin.
1-ta’rif. funksiya xususiy hosilalari larning o’zgaruvchi bo’yicha xususiy hosilalari berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari deb ataladi va

yoki

kabi belgilanadi. Demak,

Bu ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni umumiy holda

ko’rinishda yozish mumkin, bunda bo’lganda

deb yozish o’rniga

deb yoziladi.
Agar yuqoridagi ikkinchi tartibli xususiy hosilalar turli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan bo’lsa, unda bu

2-tartibli xususiy hosilalar aralash hosilalar deb ataladi.
Xuddi shunga o’xshash, funksiyaning uchinchi, to’rtinchi va xokazo tartibdagi xususiy hosilalari ta’riflanadi. Umuman, funksiya -tartibli xususiy hosilalarning xususiy hosilasi berilgan funksiyaning -tartibli xususiy hosilasi deb ataladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning 2-tartibli xususiy hosilasi topilsin.
Ravshanki,



.
2-misol. Ushbu

funksiyaning aralash hosilalari topilsin.
Aytaylik bo’lsin. U holda



bo’ladi.
Berilgan funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilalarini ta’rifga ko’ra topamiz:




Bu keltirilgan misollar ko’rinadiki, funksiyaning va aralash hosilalari bir-biriga teng bo’lishi ham, teng bo’lmasligi ham mumkin ekan.