Metrologia

TEORIJSKA MEHANIKA

Semestri: IV 2+2

V 2+2

1. Osnovne koncepcije Njutnove mehanike.

Opisivanje materijalnosti fizičkih tela (masa i njene fundamentalne osobine, pojam čestice i kontinuuma mase). Opisivanje položaja i pomeranja čestice (sistemi reference, vektori položaja), brzine, ubrzanja. Dinamički elementi (impuls, moment impulsa, kinetička energija, dinamička sila i sila inercije) za česticu i sistem čestica. Centar masa čestica. Reprezentacioni prostori za česticu i sistem čestica. Osobine prostora i vremena. Koriolisova teorema, slaganje brzina i ubrzanja. Inercijalni sistemi reference i Galilejeve transformacije. Opisivanje interakcija, sile interakcije i njihova fundamentalna svojstva, beskonačnost brzine prostiranja interakcije, zakon sile, klasifikacija sila interakcije, pojam njutnovskih interakcija.

2. Opšta pitanja Njutnove dinamike sistema čestica.

Slobodna i prinudna kretanja. Veze i njihova klasifikacija. Holonomni sistemi, moguća i virtuelna pomeranja. Reakcije veza i njihova klasifikacija. Idealne reakcije, idealne reakcije kod holonomnih sistema čestica. Osnovni dinamički zakon u inercijalnim sistemima reference i njegove posledice (Galilejeva relativnost, kretanje po inerciji, diferencijalne jednačine kretanja, Lagranževe jednačine prve vrste u Dekartovim i generalisanim koordinatama, klasična kauzalnost, integrali kretanja, broj nezavisnih integrala kretanja). Opšte teoreme mehanike i veliki zakoni konzervacije u inercijalnim sistemima reference. Osnovni dinamički zakon u neinercijalnim sistemima reference.

3. Posebna pitanja Njutnove dinamike sistema čestica.

Kretanje tela sa promenljivom masom (jednačina Meščerskog, problem Ciolkovskog). Matematičko klatno: tipovi kretanja i nalaženje konačne jednačine kretanja. Linearni harmonijski oscilator: slobodne oscilacije sa prigušenjem i bez njega, prinudno oscilovanje, rezonanca i njene karakteristike, Q-faktor oscilatora. Problem dva tela i elastični sudari. Kretanje u blizini Zemljine površine uz uračunavanje efekata dnevne rotacije Zemlje. Dinamika apsolutno krutog tela: Ojlerovi uglovi, kretanje oko fiksne tačke i fiksne ose, Lagranževa čigra (pseudoregularna i regularna precesija), fizičko klatno.

4. Njutnova mehanika neprekidne sredine.

Uslovi primenljivosti modela kontinuuma na realne fizičke sisteme sa velikim brojem mikročestica. Elastično telo i Lameova jednačina teorije elastičnosti. Idealni fluid, Ojlerova, Gromeka-Lembova i Helmholcova jednačina. Stacionarno proticanje i Bernulijev integral. Potencijalna i vrtložna proticanja Helmholc-Tomsonovih fluida: Tomsonova teorema o konzervaciji cirkulacije brzine, karakteristike potencijalnog proticanja, Helmholcove teoreme za vrtložno proticanje. Viskozni fluidi: Njutnovski fluidi i Navije-Stoksova jednačina. Poazejevo i Kuetovo proticanje. Statika fluida: hidrostatički pritisak i Laplasova barometarska formula, Arhimedov zakon. Talasi u elastičnim sredinama i barotropnim fluidima van polja zapreminskih sila.

5. Osnovi specijalne teorije relativnosti (STR).

Princip relativnosti (sistem reference, konačnost brzine prostiranja interakcije, sinhronizacija časovnika, relativnost prostora i vremena). Interval: događaj, definicija intervala, invarijantnost intervala, intervali vremenskog i prostornog tipa, svetlosni konus. Sopstveno vreme. Lorencove transformacije i njihove posledice (kontrakcija dužina, dilatacija vremena, slaganje brzina, objašnjenje aberacije i Frenelovih" koeficijenata povlačenja"). Prostor Minkovskog: pseudoeuklidski karakter prostora, kvadrivektori i kvadritenzori. Princip kovarijantnog formulisanja fizičkih zakona.

6. Relativistička mehanika.

Ajnštajnov princip korespondencije. Kvadrivektori brzine, ubrzanja i impulsa čestice i osnovne relacije vezane za ove veličine. Sila Minkovskog i diferencijalne jednačine kretanja čestice u mehanici STR. Kinetička energija i energija mirovanja čestice. Klasična kauzalnost relativističke mehanike. Longitudinalna i transverzalna masa, tenzor mase. Opšte zakonitosti kod sudara i raspada relativističkih čestica.

7. Dinamika idealnih holonomnih i anholonomnih sistema Njutnove mehanike (Lagranžev i Hamiltonov formalizam).

D' Alamber-Lagranževa jednačina za idealne sisteme čestica. Nezavisne generalisane koordinate (NGK) kod holonomnih sistema, konfiguracija sistema i kinematičko stanje u NGK, Lagranževe promenljive, reprezentacioni prostori u NGK, kinetička energija sistema i elementarni rad u NGK. Formiranje Lagranževih jednačina II vrste za idealne holonomne sisteme čestica. Lagranževa funkcija. Svojstva Lagranževih jednačina (tip jednačina, oblik opšteg rešenja, jednoznačnost partikularnog rešenja za bilo kakve početne uslove, integrali kretanja u NGK, "kovarijantnost"). Generalisani impulsi i nedegenerisanost klasičnih sistema Njutnove mehanike. Generalisana energija. Veliki zakoni konzervacije i njihova veza sa osobinama prostora i vremena u inercijalnim sistemima reference. Lagranžev formalizam u dinamici idealnih

anholonomnih sistema: "polunezavisne" generalisane koordinate i njihov smisao. Lagranževe jednačine sa množiteljima anholonomnih veza.

Hamiltonove promenljive i fazni prostor. Hamiltonove jednačine (opšti slučaj nekonzervativnih sistema) i njihovo dobijanjeiz Lagranževih jednačina. Hamiltonova funkcija i njen smisao, dobijanje Hamiltonovih jednačina njenim diferenciranjem. Osobine Hamiltonovih jednačina (jednoznačnost rešenja, integrali kretanja, ponašanje pri inverziji vremena). Poređenje Lagranževog i Hamiltonovog formalizma.

8. Centralno kretanje.

Opšte karakteristike i Lagranževe jednačine za centralno kretanje pri proizvoljnom zakonu centralne sile. Postupci integracije Lagranževih jednačina kod izotropne i

stacionarne centralne sile. Bineova formula.

Centralno kretanje u polju konzervativne centralne sile. Diferencijalne jednačine kretanja i trajektorije. Kvalitativna analiza osobina kretanja na osnovu efektivnog

potencijala. Finitna i transfinitna kretanja. Keplerova kretanja i njihove osobenosti. Objašnjenje Keplerovih zakona.

Rasejanje čestica. Uslovi rasejanja i zahvata. Određivanje ugla rasejanja u Njutnovoj mehanici. Diferencijalni i globalni efikasni preseci za elastična rasejanja. Raderfordova formula. Rasejanje na pokretnom centru sile.

9. Male oscilacije.

Stacionarna stanja kretanja i stacionarne konfiguracije. Nalaženje stacionarnih konfiguracija na osnovu Lagranževih jednačina. Opšti kriterijum stabilnosti stacionarnih konfiguracija. Metod malih perturbacija.

Male oscilacije konzervativnog skleronomnog sistema oko položaja stabilne ravnoteže. Normalne frekvence i normalne koordinate. Ležen-Dirišleova teorema. Svođenje sistema na oscilatore.
10. Lagranžev formalizam u dinamici apsolutno krutog tela.

Lagranževe jednačine za apsolutno kruto telo i njihova ekvivalentnost sa Ojlerovim jednačinama za kruto telo. Kruto telo kao anholonomni sistem i odgovarajuće Lagranževe jednačine.

11. Hamiltonovi sistemi. Kanonski formalizam.

Pojam Hamiltonovog sistema, Hamiltonov princip. Lagranževa funkcija i lagranžijan. Hamiltonova funkcija i hamiltonijan. Lagranžijan i hamiltonijan relativističke čestice.

Karakter ekstremuma Hamiltonovog dejstva kod standardnih Lagranževih sistema (L=T-U). Kinematički fokusi.

Poasonove zagrade: definicije i osnovne matematičke osobine. Fundamentalne Poasonove zagrade. Formulisanje kanonskih jednačina pomoću Poasonovih zagrada. Uslovi za integrale kretanja. Poasonova teorema. Zatvoren sistem integrala kretanja i sistem integrala u involuciji.

Kanonske transformacije: definicija, kriterijum kanoničnosti zadanog preslikavanja faznog prostora, generatrise kanonskih transformacija. Glavna Hamiltonova funkcija. Dinamička evolucija sistema kao sukcesija uzastopnih kanonskih transformacija. Liuvilova teorema.

Hamilton-Jakobijeva jednačina (HJJ): formulisanje i njeno korišćenje kod rešavanja problema određivanja dinamičke evolucije sistema. Jakobijeva teorema. Funkcije dejstva i glavna Hamiltonova funkcija kao partikularni integrali HJJ. Metod razdvajanja promenljivih u rešavanju HJJ. Redukovana HJJ kod konzervativnih sistema.

Oblici nastave: Predavanja, računske vežbe, kolokvijumi, seminarski radovi.
Način polaganja ispita: Pismeno i usmeno. Pismeni deo je eliminatoran.

Literatura:

1. B. Milić: "Kurs klasične teorijske fizike I deo: NJUTNOVA MEHANIKA", II izdanje, Studentski trg, Beograd 1997.

2. V. Žigman: "Specijalna teorija relativnosti - MEHANIKA", Studentski trg, Beograd 1996.


ISTORIJA I FILOSOFIJA FIZIKE

Semestar: V 2+0

Uvod. Istorija i istorija nauke. Stvaranje i evolucija svemira. Praistorija čoveka. Prva pojedinačna znanja. Drevni počeci nauke. Praistorija fizike. Antički period, klasična nauka. Nauka u srednjem veku (6. do 14. vek). Renesansa, Univerzitet (15. 16. vek). Ustanovljenje fizike kao nauke (1600 – 1660). Stoleće genija. Naučna društva. Klasična fizika (1680 – 1890). Industrijska revolucija. Teškoće klasične fizike (1890 – 1906). Prelaz na novu fiziku. Moderna fizika (1906 – 1981). Fizika kondenzovane materije, nuklearna fizika, energetika, fizika plazme. Fizika i biologija, ekologija. Moderna optika. Nelinearna fizika. Elementrane čestice. Astrofizika i kosmologija. Fizika i epistemiologija. Fizika i društvo, budućnost fizike.
Izvori fizike. Pitanja o realnosti. Aristotelova filosofija i fizika. Metafizičke postavke moderne fizike. Njutnova fizika. Prostor, vreme i kauzalnost. Osnovna načela klasične fizike. Filosofska sagledavanja teorije relativnosti. Interpretacije kvantne mehanike i njihove filosofske poruke.


Oblici nastave: Predavanja, diskusija.
Način polaganja ispita: Usmeno.

Literatura:

1. Milorad Mlađenović: Razvoj fizike. Građevinska knjiga, Beograd, 1986.

2. Verner Hajzenberg: Fizika i metafizika. Nolit, Beograd, 1972.

3. Nils Bor: Atomska fizika i ljudsko znanje, Nolit, Beograd, 1985.

4. Zvonko Marić: Ogled o fizičkoj realnosti. Nolit, Beograd, 1989.

MATEMATIČKA FIZIKA II
Semestar: V 2+2

1. 
   Opšti tenzorski račun.
   

1.1. Afine mnogostrukosti - Hiperlinije, hiperpovrsi i k-dimenzioni varijeteti. Skalari, kontravarijantni i kovarijantni vektori. Kontravarijantni i kovarijantni i mesoviti tenzori drugog reda. Tenzori proizvoljnog reda. Relativni tenzori. Kronecker-ov tenzor i tenzori Levi-Civita. Algebarske operacije sa tenzorima (sabiranje, mnozenje skalarom, kontrakcija, spolja snji i unutrasnji proizvod). Zakon kolicnika.

1.2. Riemann-ovi prostori. - Metricki tenzor i asocirani metricki tenzor. Podizanje i spustanje indeksa. Skalarni proizvod, duzine uglovi, element zapremine. Christoffel-ovi simboli I i II vrste i njihova transformaciona svojstva. Geodezijske linije. Kovarijantno diferenciranje, Riemann-Christoffel-ov tenzor krivine prostora. Kovarijantno definisanje prostornih izvoda. Apsolutni (Bianchi-jevi) izvodi.
2. Fourier-ova transformacija.

2.1. Dirac-ova delta funkcija - Definisanje delta-funkcije preko nizova funkcija, osnovne osobine delta funkcije, funkcija jediničnog skoka i funkcija sgn x, integrali ovih funkcija.

Izvod delta funkcije. Diferenciranje i integriranje funkcija koje imaju prekide prve vrste.

2.2. Fourier-ova transformacija - Spektar zadane funkcije (diskretan, kontinuiran), spektralna gustina. Spektralna gustina realnih funkcija i njene osobine. Relacija

i nalazenje spektralne gustine ma kakve funkcije (Fourier-ovo razlaganje). Osnovne osobine Fourier-ove transformacije: linearnost F - operatora, F -transform izvoda funkcije, promena F transforma pri translaciji originala, spektralna gustina konvolucije. Ponasanje spektralne gustine pri . Bethe-ov integral. Bessel-ova i Parseval-ova jednačina za F transforme. Spektralno razlaganje periodičnih funkcija. Spektralno razlaganje Gauss-ove funkcije i veza sa relacijama neodredjenosti.
3. Specijalne funkcije.

3.1. Gama i beta funkcije - Definicija gama i beta funkcije. Eulerov integral prve vrste. Rekurentna relacija. Razni načini prikazivanja gama funkcije. Veza izmedju gama funkcije i

trigonometrijskih funkcija. Riemann-ova funkcija.

3.2. Ortogonalni polinomi - Opsti stavovi o ortogonalnim polinomima. Legendre-ovi polinomi: generatrisa, Rodrigues-ova formula, rekurentne formule. Legendre-ova diferencijalna jednačina. Ortogonalnost Legendre-ovih polinoma i izracunavanje njihove norme. Legendre-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima.

Laguerre-ovi polinomi: generatrisa, opšta formula za , rekurentne formule. Generalisani Laguerre-ovi polinomi. Laguerre-ova diferencijalna jednacina. Potpunost skupa Laguerre-ovih polinoma. Ortogonalnost Laguerre-ovih polinoma i izračunavanje njihove norme. Laguerre-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima. Diferencijalna jednačina za Laguerre-ove funkcije. Hermite-ovi polinomi: generatrisa, opsta formula za , rekurentne formule. Hermite-ova diferencijalna jednačina. Potpunost skupa Hermite-ovih polinoma. Ortogonalnost Hermite-ovih polinoma i izračunavanje njihove norme. Hermite-ove funkcije i Fourier-ov razvoj bilo koje funkcije iz po njima. Diferencijalna jednačina za Hermite-ove funkcije.

3.3. Bessel-ove funkcije - Bessel-ova diferencijalna jednačina i Bessel-ova funkcije I i II vrste. Bessel-ova funkcija i njihova generatrisa. Bessel-ova funkcija reda . Lommel-ovi integrali za Bessel-ove funkcije. Ortogonalnost funkcija i njihova norma, mogućnost Fourierovog razvoja po njima. Rešavanje diferencijalne jednacine oscilovanja uzeta.

3.4. Hipergeometrijske funkcije - Hipergeometrijski redovi i hipergeometrijske funkcije. Rekurentne relacije. Integralna reprezentacija hipergeometrijske funkcije. Konfluentna hipergeometrijska funkcija. Veza hipergeometriskih funkcija sa elementarnim funkcijama i ortogonalnim polinomima. Generalizovani hipergeometrijski redovi. Hipergeometrijske funkcije više promenljivih.
4. Linearni operatori.

Pojam linearnog operatora. Primeri linearnih operatora. Algebra linearnih operatora. Prikazivanje linearnih operatora pomoću matrica. Veze izmedju matricnih elemenata uzajamno adjungovanih i uzajamno inverznih operatora. Matrice unitarnih i ermitskih operatora. Matricna formulacija svojstvenog problema lin. operatora. Svojstveni problem l.operatora (svojstvene vrednosti i spektar operatora, svojstveni elementi, multiplicitet degeneracije). Spektri ograničenih, unitarnih i ermitskih operatora, Spektri potpuno neprekidnih ermitskih operatora. Svojstveni elementi ermitskog operatora. Adjungovani operatori: definicija i primeri. Unitarni operatori i njihove osobine. Specificnosti unitarnih transformacija. Ermitski operatori: definicija, primeri, osobine matricnih elemenata. Ermitski operatori u unitarnim prostorima; svojstveni bazis operatora. Ermitski operatori u Hilbert-ovim prostorima, pojam observable. Potpuno neprekidni operatori u Hilbertovim prostorima. Ermitski operatori kontinualnog spektra kao moguće observable.

5. Neki češći tipovi parcijalnih diferencijalnih jednacina matematicke fizike.

Pregled najčescih tipova parcijalnih diferencijalnih jednačina matematičke fizike. Metod razdvajanja promenljivih. Talasna jednačina i njeno resavanje u konkretnim slučajevima treperenja zategnute žice, oscilovanja pravougle i kružne membrane. Difuziona jednacina. Problem hladjenja vrlo dugog kružnog cilindra kroz omotač i pravougaone pločice kroz ivice.

Laplace-ova jednačina: rešavanje u konkretnim slučajevima stacionarnog provodjenja toplote. Rešavanje Laplace-ove jednacine u sfernim koordinatama. Asocirane Legendre-ove funkcije, površinski i zapreminski sferni harmonici. Schrodingerova jednačina u kvantnoj mehanici i drugim oblastima fizike. Schrodingerova jednačina za linearni harmonijski oscilator. Spektar energijskih nivoa oscilatora.

Način polaganja ispita: Pismeno i usmeno.

Literatura:

1. Dj. Mušicki, B. Milić, Matematičke osnove teorijske fizike, Naučna knjiga, Beograd 1975.

2. D.S.Mitrinović, Uvod u specijalne funkcije, Gradjevinska knjiga, Beograd 1972.

3. Z.X. Wang, D.R.Duo, Special functions, World Scientific, London 1989.

4. T. Andjelić, Tenzorski racun, Naučna knjiga, Beograd 1967.