Krydder og krutt fra
Yüklə 101,13 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 6. INTEGRAL- OG DIFFERENSIALREGNING. Akilles og skilpadda
- Gottfried Wilhelm Leibniz
- Tilbake til hovedsinen om Matematikkens kulturhietorie Referanser
Parabelen Når vi kaster stein, følger steinen en buet kurve til den treffer bakken igjen Det krever lang øvelse å bli treffsikker i steinkast. 
I krigstider har matematikerne ofte måttet interessere seg for militære våpen og deres evne til å treffe. I studiet av banen til en kanonkule har grafen til andregradsfunksjonen - parabelen - vært til nytte. Vi bruker også parabelen når vi studerer skrått kast i fysikken. Sinuskurver D Den greske astronomen Hipparkhos som levde omkring 150 f.Kr, var den første som regnet ut en tabell over noe som liknet en såkalt sinusfunksjon. Denne kunnskapen kom til Europa gjennom inderne og araberne. Ordet sinus betyr bukt eller lomme. I landmåling og karttegning har trekantberegninger vært et helt nødvendig hjelpemiddel. De trigonometriske funksjonene er i dag noen av de viktigste i matematikken og dens anvendelser. Logaritmer Den skotske baron, godseier og vitenskapsmann John Napier (1550-1617) utviklet de første logaritmer på slutten av 1500-tallet. Han brukte dem til å forenkle løsningen av et astronomisk problem han arbeidet med. Han publiserte sine logaritmetabeller i 1614. Professor Henry Briggs (1561-1631) foreslo for Napier en litt annen måte å lage logaritmer på, de såkalte briggske logaritmene (tierlogaritmene). Logaritmene ble bl.a. brukt til å forenkle regningen med store tall. Den neste store og lett anvendelige oppfinnelse til forenkling av tallregningen, er vår tids datamaskiner og lommeregnere. Funksjonsbegrepet: Leonard Euler Funksjonsbegrepet har en lang historie. Fra de tidligste tider har menneskene observert at for eksempel fenomener på stjernehimmelen opptrer med en viss regelmessighet. Vi kan si at disse fenomenene er en funksjon av tiden. S Et sitat viser Eulers generelle definisjon av en funksjon. I innledningen til boka "Institutiones calculi differentialis" (1755) sier han: "Når x betyr en variabel størrelse så heter alle størrelser, som på en eller annen måte avhenger eller bestemmes av x, funksjoner av x." Ser vi bort fra at Euler forutsatte at definisjonsmengden var R (de reelle tall), er dette omtrent samme funksjonsdefinisjon som vi lærer i videregående skole. I praksis benyttet imidlertid Euler bare funksjoner som var gitt ved formler.
F Dermed fikk man problemer med de delte funksjonene som måtte skrives ved hjelp av to eller flere formler. Euler mente dette var en spesiell type funksjoner. I siste halvdel av 1700-tallet var det mange harde diskusjoner om en skulle tillate å bruke delte funksjoner. Vårt moderne funksjonsbegrep tilbakeføres gjerne til den tyske matematiker P.L. Dirichlet (1805-1859). Han sa at: "f er en funksjon av x når det for hver x i et intervall svarer et tall f(x)". Dermed unngikk han restriksjonen til en formel for f(x). Økonomi og matematikk Ø Adam Smith, også kalt "Sosialøkonomiens far", publiserte sin store bok "Wealth of Nations" i 1776. Denne inneholdt lite matematikk. Eiendomsmegleren David Ricardo brukte matematikk da han i 1817 beviste det overraskende prinsipp at fri handel var fordelaktig for forbrukere i alle land (NB: under visse betingelser). Først i 1969 ble nobelprisen i økonomi opprettet. Minst halvparten av økonomiprisene som er utdelt siden den tid har gått til arbeider som må betegnes som anvendt matematikk. Nordmennene Ragnar Frich og Trygve Haavelmo fikk nobelprisen i økonomi i henholdsvis 1969 og 1989. Ragnar Frisch D I årene etter krigen var Frisch en av hovedarkitektene bak bruken av planøkonomien som styrte gjenoppbyggingen av Norge. I 1969 fekk han den første nobelprisen i økonomi, sammen med nederlenderen Jan Tindbergen. Frisch er en av hovedmennene bak økonometrien der en bruker matematiske modeller til å framstille økonomien. Lineær programmering Lineær programmering er en av de mange matematiske metodene i økonomien. Metoden ble utviklet av amerikaneren George Dantzig og den russiske matematiker Leonid Kantorovich. Andre ga også viktige bidrag. I 1975 fikk Kantorovich nobelprisen i økonomi for teorien om lineær programmering og dens anvendelser for best mulig bruk av ressurser. Et av de mest kjente problemene i lineær programmering består i å lage en næringsmessig holdbar meny med minimale kostnader. Problemet ble først reist i et landbrukstidsskrift i 1945. Lineær programmering har i dag vid anvendelse i næringsliv, industri og bankvesen. Det er en måte å tjene penger på. 6. INTEGRAL- OG DIFFERENSIALREGNING. Akilles og skilpadda Grenseverdier er noe vi jobber mye med i matematikken. Behovet for en klargjøring av hva grenseverdier er ble antydet allerede av den greske filosofen Zenon som levde om lag 450 f.Kr. Han laget et paradoks som kalles Akilles og skilpadda: 
Akilles løper 10 ganger så fort som skilpadda. Skilpadda starter med et forsprang på 10 meter. Når Akilles har kommet dit skilpadda startet, har skilpadda fortsatt et forsprang på 1 meter. Når Akilles har tatt igjen dette forspranget, har skilpadda kommet seg ytterligere 10 cm av gårde, og så videre. Etter dette resonnementet vil Akilles aldri kunne ta igjen skilpadda! Paradokset ble først oppklart med grenseverdibegrepet og teorien for det som kalles uendelige geometriske rekker. Full klarhet krever at vi aksepterer uendelige mengder og betrakter disse ved hjelp av Cantors mengdelære. Grenseverdier ble innført på 1600-tallet, og mengdelæren mot slutten av 1800-tallet.
Derivasjon brukes ofte for å finne tangenter til kurver. For enkelte kurvetyper ble problemet med å finne tangenten løst allerede for et par tusen år siden uten kjennskap til derivasjon. 
Arkimedes (287-212 f.Kr.) var Antikkens største matematiker og naturviter. En av hans kurver kalles Arkimedes' spiral. Den framkommer hvis vi lar et linjestykke rotere mot urviserne rundt origo, O, samtidig som vi lar et punkt P bevege seg med konstant fart ut langs linjestykket. Punktet P vil da beskrive spiralen. Arkimedes bestemte sannsynligvis tangenten ved å finne retningen for punktets bevegelse i P. Han oppfant også det som blir kalt en Arkimedes-skrue, som er en konstruksjon som brukes for å heve vann. Denne brukes fortsatt i deler av verden. A Ellers er Arkimedes mest kjent for oppdagelsen av sin lov om oppdrift i væsker. Ifølge historien sprang han da rundt på torget og ropte "Eureka, Eureka" (jeg har funnet det!).
I I det ytre levde Newton et liv uten de store omveltninger. Han var tilbaketrukket, forlot aldri England, men hadde en usedvanlig god helse. I 1665 ble Cambridge rammet av en stor pest, og universitetet måtte holde stengt et par år. Newton holdt seg stort sett hjemme, og i tur og orden gjorde han alle sine tre store oppdagelser: Lysets brytning i ulike farger, den generelle gravitasjonsteori og derivasjon og integrasjon. Først i 1687 lot han seg overtale av astronomen Edmund Halley til å utgi en del av dette i boka "Naturvitenskapens matematiske prinsipper". Boka inneholder resultatet av den største vitenskapelige innsats som noensinne er gjort av én enkelt person. Hans arbeider markerte begynnelsen til den moderne fysikk og astronomi. Newton må derfor først og fremst regnes som fysiker, men han gjorde også banebrytende arbeider innen matematikken. På en måte kan vi si at han konstruerte de matematiske redskaper han hadde behov for i sine fysiske arbeider. Newton var også den første som konstruerte en kikkert der lyset ble samlet av et speil i stede for en linse Han brukte også mye av sin tid til studier i teologi og historie.
Leibniz var spesielt opptatt med å finne gode skrivemåter for matematiske begreper og operasjoner. I forbindelse med derivasjon innførte han blant annet differensialsymbolene dx og dy. Han skrev den deriverte som dy/dx. Newton derimot brukte derimot en skrivemåte som liknet på f'(x), slik vi oftest er vant til å gjøre. Symboler i matematikken I dag er det utenkelig med matematikk uten symboler. Symbolene uttrykker matematiske ideer og sammenhenger kort og presist. Mange av de symbolene vi kjenner ble imidlertid først tatt i bruk på 1600-tallet. I dag er disse symbolene til en viss grad internasjonale. Matematikere fra ulike kulturer kan dermed komme sammen og snakke samme matematikkspråk. I Leibniz brukte først uttrykket "omn y" (summen av alle linjer y) som symbol for integrasjonen. Dette hadde sammenheng med at han trodde at integralet kom fram ved å summere "alle linjer" under grafen. Siden gikk Leibniz over til å bruke integralsymbolet vi er vant med. På den tiden var dette symbolet i bruk som stor bokstav S, og det stod for den første bokstaven i ordet "summa". Leibniz kalte den nye regningen summasjon. Ordet integrasjon ble innført noe seinere. Bernhard Riemann Bernhard Riemann (1826-1866) så dagens lys i den lille landsbyen Brenselenz i Tyskland. Faren var luthersk prest, og Bernhard vokste opp i et fattig, men lykkelig hjem. Foreldrene så en viktig oppgave i å oppdra og undervise barna sine. Tidlig ble derfor Bernhards lyst til å lære vakt. I seksårsalderen ga han seg i kast med matematikken. Hans medfødte evner kom snart til sin rett: Han ikke bare løste alle regneoppgavene som ble gitt ham, men laget også mye problemer som har utfordret sine eldre søsken med. N I sin matematikk ble Riemann banebrytende. Det er sagt om han at alle de emneområder han arbeidet med klarte han på en eller annen måte å revolusjonere. 25 år gammel leverte han sitt berømte doktorarbeide om kompleks funksjonsteori. Et par år senere skrev han også et berømt arbeide om det som snart ble kalt "Riemannske geometrier". Denne avhandlingen satte hele geometrien i et nytt lys og banet vei for den geometriske fysikken vi fikk i på 1900-tallet. Det Riemann viste her, var at på samme måte som det er - avhengig av krumningen - forskjellige typer linjer og forskjellige typer flater, så finnes det også forskjellige typer tre (og fire- ) dimensjonale rom. Dette er de Riemannske geometriene, men detaljene her krever kunnskap i matematikk. Med disse ideene var faktisk Riemann en vitenskapelige "profet" i sin tid. På mange måter ser det ut som at Riemanns egentlige interesse og motivasjon må har vært matematisk fysikk, og hadde han levd lenger, så hadde han kanskje blitt sin tids Newton eller Einstein. Femti år senere tok nemlig Albert Einstein opp Riemanns visjon om en geometrisk fysikk for verdensrommet. Einstein benyttet da Riemanns arbeider i relativitetsteoriens beskrivelse av det fysiske univers som omgir oss. Her tolket Einstein universet som et firedimensjonalt rom-tids referansesystem. Denne beskrivelsen har hatt enorm betydning for vår tids fysikk. Men uten Riemanns arbeider hadde denne revolusjonen i den naturvitenskapelige tenkemåte vært umulig eller kommet først senere. Trettien år gammel ble Riemann utnevnt til assisterende professor. Men hans skapelsestid skulle snart ta slutt. Noen år senere ble han alvorlig syk, helsa hadde nok vært svak hele tiden. Han ble bare 39 år gammel. Riemanns samlede verker består bare av ett bind, men til gjengjeld er det meste der genistreker. Som fysiker og matematiker var Riemann av samme kaliber som Newton og Einstein. Det var også han som definerte den type integralregning vi i dag lærer i den videregående skole. Egentlig bærer da også dette navnet "Riemann-integralet". Kristian Birkeland Kristian Birkeland (1867-1917) ble født i Oslo, og ble etter hvert en berømt fysiker som nådde helt opp i nobelpris-klassen. Men som forsker startet Birkeland som matematiker, før han beveget seg over i teoretisk fysikk. Før han var 18 år hadde Birkeland skrevet et betydelig vitenskapelig arbeid kalt "Principer til en antall geometrisk metode" der han hadde oppdaget noen nye geometriske setninger. Birkeland studerte så kjemi, matematikk og fysikk i fem år ved Universitetet i Oslo, og tok matematisk naturvitenskapelig lærereksamen, som det da het, 23 år gammel. Mens han var student, publiserte han også tre matematiske artikler. Deretter arbeidet han som lærer ved Aars og Voss skole. Men han kom tilbake til Universitetet der hans hovedinnsats etter hvert skulle ligge innenfor eksperimentell fysikk. Han ble professor 31 år gammel. I Naturvitenskapsmannen Birkeland publiserte ca. 70 vitenskapelige avhandlinger, de fleste på fransk. Han hadde også 59 patenter. Tolv var knyttet til Birkeland- Eyde- ovnen og starten av Norsk Hydro. Andre kjente oppfinnelser er: Den elektromagnetiske kanon, fettherding, tørking av fisk, behandling av organiske rester og mekaniske høreapparat. De siste årene av sitt liv bodde Birkeland i Egypt av helsegrunner, og for å studere det såkalte zodiaklyset. Som menneske var han temmelig utbrent og følte seg motarbeidet av andre. Han døde på et hotellrom i Tokyo. Hans siste og ”endelige” manuskript gikk tapt i et skipsforlis under 1. verdenskrig. En utenlandsk forfatter har nylig skrevet en stor biografi om Birkeland som også er oversatt til norsk: Lucy Jago: ”Nordlysets gåte - Pioneren som ofret alt i vitenskapens tjeneste” (Gyldendal 2002). Tilbake til hovedsinen om Matematikkens kulturhietorie Referanser: Karl Erik Sandvold m.fl.: Matematikk for den videregående skolen. Gyldendal Norsk Forlag. Første utgave 1982, andre utgave 1988. Deler av stoffet over er tidligere utgitt som kapittelinnledninger til dette læreverket: 1MA,2MN,2MS. E.T. Bell: Men of Mathematics. New York 1937. Lynn M. Osen: Women in Mathematics. MIT Press 1974. Se også: www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm Jan Thompson: Kunnskapsforlagets matematikkleksikon. Oslo 1997. Yüklə 101,13 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
et var opprinnelig de gamle astronomers behov for å beregne posisjonene til stjerner og planeter som gjorde det nødvendig med trekantberegninger. 
veitseren Leonard Euler (1707-1783) gav viktige bidrag til utviklingen av det moderne funksjonsbegrepet. Euler er den mest produktive matematiker som har levd. Selv om det nå er over 200 år siden han døde, er man ennå ikke ferdig med å utgi hans samlede verker. Vi regner med at de vil komme til å bestå av om lag 100 tykke bind. Mot slutten 
unksjonsbegrepet er et grunnleggende begrep i matematikken og har en lang historie. Lenge mente matematikerne at alle egentlige funksjoner måtte kunne skrives som en formel. Selv Euler godtok i praksis bare slike funksjoner. 
konomi er blitt kalt den eldste av kunstene og den yngste av vitenskapene. Først da den begynte å ta i bruk en viss mengde matematikk ble den betraktet som en vitenskap. Dette skjedde på 1800-tallet. 
en kjente norske sosialøkonomen Ragnar Frisch (1895-1973) var professor ved Universitetet i Oslo i perioden 1931-1965. Frisch utførte flere viktige arbeider innenfor sosialøkonomi, matematisk statistikk, produksjonsteori, etterspørselsteori, nasjonalregnskap og anvendelse av lineær programmering. Dessuten hadde han lange opphold i India og Egypt for å hjelpe til med den økonomiske planleggingen. 
rkimedes gjorde også en rekke andre tekniske oppfinnelser, bl.a. kastemaskiner, taljer og vektstenger som kunne brukes for å gjøre tunge løft. En av hans spissformuleringer var at "gi meg et fast punkt og jeg skal flytte jorden". 
saac Newton (1642-1727) er et av de største matematiske genier som har levd. Allerede i studietiden ved Trinity College i Cambridge ser han ut til å ha nådd fram til grenseområdet for sin tids naturvitenskapelige og matematiske viten. 
ottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) oppdaget differensial- og integralregningen omtrent samtidig med og uavhengig av Newton. Leibniz må kalles et universalgeni. Han begynte på universitetet i Leipzig bare 15 år gammel og tok doktorgraden 5 år seinere. Leibniz studerte jus, 
videregående skole lærer vi å integrere funksjoner. Det skriver vi slik: f(x)dx. Vi kan tolke integrasjonen geometrisk som å finne arealet mellom grafen til en funksjon og x-aksen. Integralsymbolet ble innført av G.W. Leibniz (1646-1716). Sammen med Newton blir han regnet som grunnleggeren av differensial- og integralregningen.
itten år gammel kom han inn på universitetet i Göttingen. Meningen var at han skulle studere teologi, men han gikk også på matematikk- og fysikkforelesningene, og snart tok denne interessen overhånd. Den berømte matematikeren Carl Fridrich Gauss foreleste også i Göttingen, og Riemann ble oppslukt av faget.
dag er Birkelands navn først og fremst knyttet til Birkeland-Eydes metode for framstilling av salpeter og kunstgjødsel, og dermed etableringen av industribedriften Norsk Hydro, men for Birkeland var dette bare en episode i hans mangfoldige livsverk. Hans aktivitet hadde et omfang og en dybde som var helt ukjent i norsk forskning. Spesielt gjorde han forskning på nordlys. For sin innsats har han fått plass på den norske 200 kr seddel. En skisse av hans nordlyseksperimentet vises også på samme pengeseddel. Ved det såkalte Terrella-eksperimentet ble det første kunstige nordlys framstilt i et laboratorium. Han bygget observatorier for nordlysforskning bl.a. ved Alta.