Krydder og krutt fra

KRYDDER OG KRUTT FRA 
MATEMATIKKENS HISTORIE.

Av Steinar Thorvaldsen,

Høgskolen i Tromsø.
N-9293 Tromsø
e-post: [e-mail]

I denne leksjonen ser vi på en samling historiske elementer fra matematikkfaget. Stoffet er ment som tips til innledningsstoff og evt. sidesprang i matematikkundervisningen. Stoffet er delt inn i følgende emner:
1 Tall og tallregning, 2 Algebra og likninger, 3 Geometri, 4 Statistikk, 5 Funksjoner og 6 Integral- og differensialregning.
 
 
 

1. TALL OG TALLREGNING.

Pytagoras

Pytagoras levde omkring 500 år f. Kr. Han er en av grunnleggerne av selve matematikken. Han bodde og foreleste i Sør-Italia og samlet en fast gruppe elever rundt seg. I følge oldtidens filosofihistorikere var det 218 mannlige og 17 kvinnelige elever.

Pytagoras mente at naturens hemmeligheter kan utforskes ved hjelp av tall. Det er en harmoni i den kaotiske naturen, hevdet han. Denne harmonien kunne best uttrykkes i tallenes språk. "Alt er tall", skal hans store slagord ha vært. Hans musikkteori ble et godt eksempel på dette, da han oppdaget sammenhengen med tonehøyde og lengden på den svingende streng. Pytagoras ønsket også å lage "musikkteorier" for andre deler av naturen.

Pytagoras er mest kjent for sin berømte læresetning om trekanter. I praksis var denne setningen kjent lenge før. Pytagoras hadde trolig heller ikke noe generelt bevis for setningen. Helt til våre dager er den pytagoreiske læresetningen blitt stående som en av de viktigste enkeltsetninger i matematikken.

 
 

Tallene og kvadratrøttene

Naturlige tall og brøker finner vi i de eldste kulturer. Mange typer tall har senere blitt utviklet. Matematikeren Leopold Kronecker, som levde på 1800-tallet, sa det slik: "Vår kjære Gud har gitt oss heltallene, resten er menneskets verk". Opp gjennom historien har menneskene flere ganger måttet utvide tallmengden sin. Men dette har aldri skjedd uten problemer. Allerede for 2500 år siden var det en mann med navn Hippasos som beviste at det fantes tall, for eksempel kvadratroten av 2, som ikke kunne skrives som brøker. Disse tallene ble derfor kalt irrasjonale tall. Hvis vi prøver å uttrykke et slikt tall som et desimaltall, ender vi opp med et tall som fortsetter i det uendelige uten noe regelmessig eller systematisk mønster.

Hippasos var en av Pythagoras' elever, og de ble enige om å dysse ned hele oppdagelsen. Den ville ødelegge hele deres filosofiske system. Men noen av elevene kom allikevel til å sladre, og historien forteller at de "omkom" ved et mystisk skipsforlis.
 
 
 
 
 

Sjakkbrettet og riskornet

En persisk konge inngikk følgende avtale med motspilleren sin i sjakk: Dersom motspilleren vant, skulle han få 1 riskorn for første rute på sjakkbrettet, 2 riskorn for neste rute, 4 for tredje og så videre. Vi dobler altså antallet hver gang vi går fra en rute til den neste. Det er 64 ruter på sjakkbrettet.

Kongen så imidlertid ikke konsekvensene av denne avtalen. Ved hjelp av sumformelen for det vi kaller geometriske rekker, kan vi vise at samlet antall riskorn blir: 1,845 10¹⁹. Dette er nok til å dekke halve jordoverflaten med et lag med riskorn.
 
 

Babylonerne og renter

Ved utgravinger i det gamle Mesopotamia er det funnet mengder av leirtavler fra tiden omkring 2000 f.Kr. De viser at babylonerne hadde betydelige matematiske kunnskaper.

Et eksempel er beregning av rentesrente. Utlån og ager forekom da som nå. Prestematematikerne(!) lærte sine elever blant annet hvordan de skulle regne ut fordoblingstiden til en gitt sum når renten var 20%. For hvert år må vi da multiplisere pengesummen med (1 + 20/100) = 1,2. Oppgaven fører til at vi må beregne 1,2^t for forskjellige verdier av t. Dette betyr at babylonerne måtte regne ut verdiene av det som vi i dag kaller en eksponentialfunksjon.

Leirtavla på bildet viser en tabell over kvadrater og kvadratrøtter.

 
 

Goldbachs uløste formodning

Cristian Goldbach (1690-1764) er en russisk matematiker som også en tid var sekretær for akademiet i St. Petersburg. Han var også lærer for tsar Peter 2. Goldbach interesserte seg for flere områder av matematikken, bl.a. tallteorien.

Hans navn er knyttet til den såkalte Goldbachs formodning som sier at ethvert partall kan skrives som en sum av to primtall. F.eks. er 8=3+5, 10=3+7 osv.

Denne enkle setningen er ennå ikke bevist! Trass i iherdig innsats fra de skarpeste matematikere gjenstår Goldbachs formodning som et av de mest berømte uløste matematiske problemene. Noen mener at setningen er uavhengig av vår tradisjonelle matematikk, slik at den hverken kan bevises eller motbevises. Den må i så fall godtas som en grunnleggende sannhet eller aksiom på linje med at 1+1=2.

 
 

Georg Cantor

Georg Cantor (1845-1918) ble født i St. Petersburg av jødiske foreldre. Han kalles ofte mengdelærens grunnlegger. Cantors evner kom tidlig fram, og 18 år gammel begynte han sine studier hos framstående matematikere i Berlin.

I løpet av de neste ti årene kom han på sporet av mengdeideen i forbindelse med studiet av varmeledning. Først seinere ble mengdelæren innført som et viktig grunnlag for oppbyggingen av nesten all matematikk. Dette skjedde imidlertid ikke uten kamp. Noen kalte hans mengdelære for "en alvorlig matematisk sykdom" som en dag måtte bli kurert, mens andre mente han hadde skapt et "nytt paradis" for matematikerne.

Selv fikk Cantor aldri oppleve at mengdebegrepet ble godtatt som det naturlige grunnlag og fundament i matematikken. Ved Niels Henrik Abel-jubileet i 1902 ble Cantor utnevnt til æresdoktor ved Universitetet i Oslo.

 
 
 

Leonard Euler

Sveitseren Leonard Euler (1707-1783) var en av de første til å anvende matematikk på befolkningsutvikling. I sin lærebok "Introductio in analysin infinitorum" gav han dette eksemplet:

Etter syndfloden ble den menneskelige slekt videreført av seks personer. La oss anta at befolkningen etter 200 år var vokst til 1 million. Hvor stor brøkdel hadde så menneskeheten årlig vokst med? (Euler satte så opp den riktige eksponentiallikningen og fant en årlig tilvekst på ca 1/16 eller 6,2%.) Menneskeheten ville altså på 200 år kunne ha vokst til det angitte antall hvis den årlige vekstprosenten var 6,2, og dette var ikke et spesielt høyt tall på den tiden. Men hadde de fortsatt på samme måte i 400 år, ville antallet ha vokst til over 166 milliarder, en mengde som jordoverflaten hadde vært for liten til å ernære.

Euler var selv en god familiefar og hadde 13 barn, selv om kun 5 av disse levde opp. Han kunne konsentrere seg om matematikk under alle forhold, og avbildes ofte omgitt av barn mens han arbeider med matematiske problemer. De siste årene av sitt liv var han blind, og en av sønnene måtte hjelpe han med skrivingen. Euler hadde en utrolig hukommelse. Han kunne hele bøker utenat, samt de 100 første primtallene pluss deres andre, tredje, fjerde, femte og sjette potenser!

 
 
 
 

Carl Friedrich Gauss

Carl Fridrich Gauss (1777-1855) regnes sammen med Arkimedes og Newton som en av tidenes tre største matematikere. Gauss gav viktige bidrag innenfor en rekke områder av matematikken.

Carl Friedrich kom fra enkle kår og var enebarn. Allerede som liten var han et vidunderbarn, og seinere spøkte han med at han lærte å regne før han kunne snakke. En lørdag satt Carl Friedrichs far og gjorde i stand lønningsregnskapet for en del arbeidsfolk. Sønnen fulgte farens utregninger med våkent blikk. Med ett utbrøt sønnen: "Far, her er feil! Det skal bli..." Det viste seg at barnet hadde rett. Carl Friedrich hadde da ennå ikke fylt tre år.

Om Gauss fortelles denne historien da han var omtrent 9 år:

Læreren gav i en time klassen som oppgave å regne sammen hundre ledd i en aritmetiske tallrekker (f.eks.av formen 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 196 + 198 + 200).

Carl Friedrich tenkte seg bare om et øyeblikk. mumlet "der er det!" og skrev ned svaret. (I eksemplet ovenfor blir summen 10100.) Resten av timen satt han med hendene i kors, mens de andre guttene arbeidet hardt.

Da læreren skulle se over svarene, var det bare én som hadde rett - og han hadde tatt det i hodet! Ved sin intuisjon måtte Carl Friedrich ha tenkt ut sumformelen for en aritmetisk rekke på egen hånd. Fra da av var lærerne klar over hans matematiske talent og ga han spesiell støtte i den videre matematiske utvikling.

 
 

Atle Selberg

Atle Selberg (f. 1917) ble født i Langesund i en familie der flere av guttene ble professorer i matematikk. Atle var yngst av disse, og allerede som 15-åring løste han en oppgave ved å vise en liten formel i Norsk Matematisk Tidsskrift. Han valgte å studere realfag og tok doktorgraden ved Universitetet i Oslo og ble forskningsstipendiat i 1942. I 1947 giftet han seg og flyttet til USA for å arbeide ved det store Institute for Advanced Study i Princeton. Der ble han utnevnt til professor i 1951.

Selberg kom med en rekke nye resultater i tallteorien. Hans mest berømte arbeid er utformingen av det som nå går under navnet Selbergs sporformel. Den kan ikke forklares på en enkel måte da den involverer tallteori, gruppeteori, analyse og geometri på en meget utstudert måte. I fysikken ble den senere brukt til å knytte forbindelser mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk.

I 1950 ble Atle Selberg belønnet med Fields medaljen, den fremste utmerkelse som finnes i faget. Internasjonalt regnes han som en 1900-tallets fremste tallteoretikere. Hans samlede avhandlinger i to bind ble utgitt i 1989-91.

 
 
 
 

Hvor er kvinnene?

Bøker om matematikkens historie inneholder få kvinnenavn, men i boka "Women in Mathematics" av Lynn M. Osen finner vi en del stoff om de mest kjente kvinnene i matematikken.

 

Hypatia

Hypatia (370-415) var datter av filosofen Theon, og hun underviste i matematikk og filosofi ved universitetet i Aleksandria. Hun var en populær og idérik matematiker og ble beskrevet som en karismatisk lærer. Studenter kom derfor fra Europa, Asia og Afrika for å følge hennes forelesninger om blant annet diofantiske likninger og nyplatonistisk filosofi.

Hypatia ble leder av den filosofiske skolen i byen. På denne tiden var det en bitter politisk strid mellom kirke og stat i Aleksandria. Hypatia var nær venn av guvernør Orestes, og erkebiskop Kyrillos betraktet skolen som en trussel mot kirken. En historien forteller at Hypatia ble drept av fanatiske munker som støttet Kyrillos, mens en annen historie forteller at hun ble slått ihjel av mobben i Aleksandria på vei til skolen sin.
 
 

Sophie Germain

For å få en solid bakgrunn i faget matematikk er de fleste av oss avhengig av undervisning ved universiteer og høgskoler. I 1794 åpnet Ecole Polytechnique i Paris. Dette ble raskt en av verdens mest anerkjente faginstitusjoner i matematikk. Men skolen var stengt for kvinner.

Sophie Germain (1776-1831) hadde lest om Arkimedes allerede som 13-åring. Senere smugleste hun om Newton og Euler mens andre sov, da foreldrene ville ta fra henne disse bøkene. Senere ga foreldrene opp motstanden, og gikk aktivt inn for å støtte sin datter i studiene. På Ecole Polytechnique måtte hun løpe rundt og samle inn forelesningsnotater fra de andre studentene. Skolen tillot studenter å levere inn skriftlige besvarelser for bedømming av professorene. Sophie Germain leverte inn besvarelser under pseudonymet M. le Blanc, en mannlig student ved skolen. Disse arbeidene fikk mye ros. Hun ga bl.a. viktige bidrag i sine studier av Fermats store sats.

På ordre fra Napoleon utlyste Det franske vitenskapsakademi en pris for den beste avhandling om svingende flater. Dette var et vanskelig problem, men det interesserte Sophie Germain. Hun var den eneste som leverte inn besvarelse, og i 1816 vant hun prisen. Men hun møtte ikke opp ved prisutdelingen, trolig fordi hun følte at juryen hadde vegret seg og ikke gitt henne den respekt hun hadde krav på og fortjente. Prisen førte imidlertid til at hun fikk innpass i de beste matematiske kretser. Hun korresponderte og diskuterte med sin tids største matematikere, bl.a. Gauss, og hun ble feiret med et eget møte i Institut de France.

 
 

Caroline Herschel

William Herschel (1739-1822) var en av sin tids største astronomer. Blant annet oppdaget han planeten Uranus. Astronomi krever nitidige observasjoner og store kompliserte beregninger. Den personen som utførte mange av disse beregningene, blir ofte ikke nevnt.

Caroline Herschel (1750-1848) valgte å vie sitt liv til å hjelpe broren med innsamling av materiale og nøye beregninger. Typisk nok brukte hun tiden etter sin brors død med å tilrettelegge åtte bind av hans arbeid slik at det kunne bli brukt av William Herschels sønn. Selv oppdaget hun også åtte kometer i tiden 1786-1797

Etter hvert fikk Caroline Herschel også anerkjennelse for sin egen innsats. Hun ble tildelt gullmedaljen til the Royal Astronomical Society, og i 1835 ble hun valgt inn som æresmedlem i dette selskap.

 
 

Sonja Kovalevskij

Sonja Corvin-Krukovskij Kovalevskij (1851-1901) var født i Moskva. Hennes tidlige interesse for matematikk ble vekket på en spesiell måte: På grunn av papirmangel, var rommet hennes tapetsert med pålimte sider fra en bok i matematikk. Sonja brukte mye tid på å tyde disse formler og tekster. Senere fikk hun privatlærer, og ønsket etterhvert å studere hos den berømte matematikeren Weierstrass i Berlin. Hun ble avvist på universitetet fordi hun var kvinne, men Weierstrass lot henne imidlertid få lese forelesningsmanuskriptene sine. På den måten fikk hun anledning til å utvikle sitt matematiske talent. Hun tok doktorgraden som "privatstudent" i 1874.

Sonja Kovalevskij fikk stilling ved universitetet i Stockholm, og i 1889 ble hun den første kvinnelige matematikkprofessor i Europa. Hun gav originale bidrag til mange områder i matematikken. I 1888 vant hun den kjente franske prisen Prix Bordin for en av sine matematikkavhandlinger om rotasjon av et fast legeme omkring et punkt. Det var lukket bedømmelse, og det vakte bestyrtelse da konvolutten ble åpnet. Det var en kvinne som hadde vunnet!
 
 
 

2. ALGEBRA OG LIKNINGER.

Ordet algebra

I matematikken regner vi mye med bokstaver i stedet for tall. Denne regningen kaller vi algebra. God kjennskap til algebra er nødvendig i alle deler av matematikken.

Ordet algebra har vi fått fra det arabiske ordet al-jabr, som betyr å gjenopprette eller sette sammen brukne bein. Like nøyaktig som en lege setter sammen et brukket bein, bør vi behandle våre algebraiske bokstavuttrykk.
 
 

Babylonernes løsning av likninger

Babylonerne løste problemer som i prinsippet var det samme som å løse annengradslikninger. Bildet under viser en leirtavle fra 1700 f.Kr (AO 8852). Den er tolket av Neugelbauer og van der Waerden. Regningen foregår i et 60-tallsystem. I de fire siste linjene settes det prøve på svaret. Tolkingen ser ut som vist ved siden av figuren (NB: tegnet , er brukt for å adskille siffere i 60-tallsystemet, mens tegnet ; brukes som desimaltegn).

Poetiske likninger

I motsetning til våre dagers litt tørre matematiske likninger, var de gamle indernes oppgaver formulert poetisk:

"Av en bisverm slo en femtedel seg ned på en cadambablomst og en tredjedel på en silindriblomst. Tre ganger differensen mellom disse to flokkene slo seg ned på en cutajablomst. Resten av svermen - én bie - svirret omkring i luften, fristet av både jasminens og padunusens søte vellukt. Si meg, smukke kvinner, hvor stor svermen var."
 
 

Diofantos

Diofantos var en gresk matematiker som levde ca. 300 år e.Kr. Han utgav mange lærebøker. Blant annet skrev han en bok om å løse likninger. Den dag i dag omtaler matematikere det å finne heltallige løsninger av likninger, som å løse diofantiske likninger.

Vi vet nesten ikke mer om Diofantos enn de opplysningene som blir gitt i en gresk oppgavesamling fra ca. år 500 e.Kr. Litt forkortet lyder oppgaven slik: I denne graven hviler Diofantos. Han tilbrakte en seksdel av sitt liv som barn. en tolvdel som ungdom og en syvdel som ungkar. Fem år etter at han giftet seg, fikk han en sønn. Sønnen døde fire år før sin far, og han var da bare halvparten så gammel som faren ble. Hvor gammel ble Diofantos?

Etter at du har lært deg litt teori om løsning av likninger, kan du sette at Diofantos ble x år, og løse denne oppgaven som en likning. Svaret skal bli 84 år.

 
 

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) var fransk hobbymatematiker. Han formulerte det som kalles hans "store sats". Denne setningen var lenge et av de mest berømte uløste matematiske problemene. Setningen sier at det er umulig å finne tre naturlige tall x, y og z som passer i likningen:

xⁿ + yⁿ = zⁿ

når n er et naturlig tall som er større enn eller lik 3.

Fermat nevner i margen i en bok at han hadde et "vidunderligbevis" for sin setning, men at det ikke er plass til å vise det i margen.

Trass i iherdige anstrengelser av de skarpeste matematikere i over 300 år, var det først i 1994 at matematikerne klarte å bevise at Fermats store sats var korrekt. Lenge mente mange at den var uavhengig av vår tradisjonelle matematikk. Det ville i så fall bety at vi verken skulle kunne bevise den eller motbevise den.

Men engelskmannen Andrew Wiles (1953- ), som arbeidet som professor ved Princeton i USA, kom til slutt etter mange års iherdig arbeide fram til et bevis. Beviset tar over hundre sider og bygger dessuten på mye spesialisert og avansert matematikk. Andrew Wiles forteller at han første gang ble klar over Fermats problem da han var 10 år gammel: "Det så så enkelt ut, og ennå hadde ingen matematikere i hele verden kunnet løse det. Her var det altså et problem som jeg i en alder av ti år kunne forstå. Fra da av skjønte jeg at aldri kunne la dette problemet ligge. Jeg måtte finne løsningen." Da han var ferdig med løsningen var han blitt 41 år.

Fermats problem har med rette blitt kalt verdens vanskeligste matematiske problem - en virkelig nøtt som det tok hele 358 år å knekke! Det er nå skrevet en spennende bok om problemet (Simon Singh: Fermats siste sats). Et interessant intervju med A. Wiles finnes også på internett.

 
 

Forskjellige typer likninger

Matematikere har alltid vært opptatt av å finne enkle løsninger av likninger. Allerede babylonerne kunne løse annengradslikninger av typen x² - 2x - 3 = 0 ved hjelp av kvadratsetningene.

Omkring år 1500 klarte professor Scipione dal Ferro i Italia å løse enkle tredjegradslikninger. For ikke å hjelpe sine konkurrenter holdt han metoden hemmelig. Han viste den bare til noen få venner og elever.

Fjerdegradslikningen ble seinere løst av Lodovico Ferrari (1522-65).

Femtegradslikningen var lenge et problem. Dette fikk en uventet løsning da Niels Henrik Abel beviste at likninger av høyere grad enn 4 ikke kan løses generelt ved rottegn. Denne store matematiske oppdagelsen gjorde Abel da han var bare 21 år gammel.
 
 

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802-1829) er Nordens største matematiker. Han ble født ved Stavanger - enten på stedet Nedstrand eller på Finnøy prestegård. Han vokste opp i bygda Gjerstad i Aust-Agder, og i 1815 begynte han på Katedralskolen i Oslo.

Abels interesse for matematikk ble tent av en ung matematikklærer som snart ble klar over at han hadde et av historiens største matematikkgenier i klassen. Norge ble snart for "trangt" for Abel. I 1825 drog han ut i Europa på et magert stipend. Da hadde han allerede gjort mange store matematiske oppdagelser.

Abel kom hjem til Norge i 1827 med en helse som var knekt av tuberkulose. Han døde bare 26 år gammel på Froland verk og er begravet på Froland kirkegård. I dag er viktige matematiske begreper oppkalt etter Niels Henrik Abel. Det er sagt at "han har gitt matematikere nok å arbeide med i 500 år".

 
 
 

Évariste Galois

Omtrent på Niels Henrik Abels tid var det i Frankrike en annen ung matematiker som også led en tragisk skjebne. Hans navn var Évariste Galois (1811-32).

På skolen var Galois kjent som en innesluttet og litt original type som i tillegg var ivrig republikaner. De vanskeligste matematikkbøkene brukte de flinkeste elevene et par år på å komme igjennom. Men Galois kunne sluke dem som "krimbøker" på få dager.

Galois ønsket å komme inn på den berømte skolen École Polytechnique, men strøk til opptaksprøven to ganger. Siste gang skal han til og med ha kastet svampen i hodet på sin sensor. I stedet måtte Galois begynne på École Normale.

Innenfor algebraen kom Galois med ideer som matematikerne ennå utforsker konsekvansene av. Galois videreførte Abels arbeide om likninger, og ga et nytt bevis for uløsbarheten av femtegradslikningen. Han la også grunnlaget for en fullstendig teori for algebraiske likninger med kriterier for hvilke som er løsbare og hvilke ikke.

Galois liv tok en brå slutt 21 år gammel da han ble skutt i en duell etter en "idiotisk krangel", sannsynligvis om ei jente med navn Stéphanie-Félicité. Han ble dødelig såret i magen, og døde på sykehuset dagen etter. Galois hadde allerede før duellen skrevet og fått utgitt flere matematiske artikler, men natten før duellen skrev han ned sitt matematiske testamente der flere grunnleggende matematiske teorier ble skissert. Den såkalte "Galois-teorien" er på mange måter en forløper for den abstrakte algebra som ble utviklet på 1900-tallet.