Krydder og krutt fra
Yüklə 101,13 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 3. GEOMETRI. G eometri
- Euklids "Elementer"
- Tanker.
- 5. FUNKSJONER. Rene Descartes
Sophus Lie S Lie tok sin doktorgrad i Oslo i 1871, og året etter ble han utnevnt til ekstraordinær professor i matematikk. Men det var få her i landet som forsto det han drev med, og i 1886 ble han derfor professor i Leipzig der fagmiljøet var mye større. Her ble han etter hvert verdensberømt for sine originale og nyskapende teorier som i dag går under navnet Lie-algebra. Det er ikke enkelt å forklare hva Lies matematikk går ut på. Utgangspunktet var geometri og transformasjon av geometriske objekter som linjer, kuleflater etc. Lie ville sammen med sin kollega Felix Klein, bygge opp geometrien og analysen omkring gruppebegrepet, slik som Galois tidligere hadde bygget opp teorien for algebraiske likninger. Disse Lie-gruppene beskrives også som kontinuerlige grupper og viser seg velegnet til å studere symmetrier. De kom senere til å bli et sentralt hjelpemiddel i teoretisk fysikk. Lie opplevde også mørke sider ved livet, og var i perioder svært deprimert. Hans "grenseløse fortvilelse" førte bl.a. til 7 måneders opphold på en tysk nerveklinikk. Men datidens medisiner hjalp lite, og Lie gikk bokstavelig talt depresjonen av seg. Den storvokste mannen var kjent som en ivrig friluftselsker og turgåer, og dette hjalp gjennom sykdomsperiodene. Hans kone Anna var også en sterk støttespiller. De siste årene i Tyskland ble formørket av samarbeidsproblemer og mistro mot en del kolleger, selv om disse mørke sidene ikke er dominerende i bildet av en lyssterk personlighet, og hans skapende tanker. Arild Stubhaug har nylig skrevet en stor biografi om Lie med tittel: "Det var mine tankers djervhet" (Aschehoug 2000). Lie kom tilbake til Oslo det siste året av sitt liv, og sine siste forelesninger ga han fra sykesengen. I et verk som "Encyclopedia of Mathematics" er Lie i dag den matematiker i verden som har nest flest referanser etter Riemann. Hans samlede verker utgjør 7 bind. Emmy Noether E Det var vanskelig for en kvinne å få stilling ved noe universitet. Kolleger forsøkte å hjelpe henne. Først i 1919 fikk hun et uoffisielt professorat i matematikk - uten lønn! Seinere ble det ordnet med en relativt beskjeden lønn. I 1933 måtte Noether flykte på grunn av Hitler sammen med mange av Tysklands beste matematikere. I USA ble hun professor i matematikk. Hun var kjent for å ta seg godt av studentene sine. Noethers fagområde var algebra. Hennes styrke som matematiker var evnen til å tenke abstrakt, i begreper og systemer. Viktige algebraiske begreper bærer i dag hennes navn. 3. GEOMETRI. G  eometri
Fra de tidligste tider har menneskene lagt merke til geometrien i naturen. Det gjelder stjernehimmelen, bikuben, nettet til edderkoppen osv. Antall radier i et edderkoppnett er for eksempel spesielt for hver art og er fra 10 til 180. Geometrien har en praktisk opprinnelse. Herodotus (ca 500 f.Kr) skriver: "Egypterne betalte årlig en skatt til kong Sesostris beregnet ut fra hvor mye land de eide. De som mistet land på grunn av at Nilen gikk over sine bredder, måtte rapportere det til kongen. Han sendte så en av sine oppsynsmenn som målte hvor mye av landet som var igjen. På grunnlag av dette ble det beregnet ny skatt." Vi regner med at ordet geometri stammer fra denne tiden. Ordet betyr nemlig "måling av jordstykker". Egypterne og babylonerne kjente korrekte metoder for å finner arealet av trekanter, rektangler og trapeser for 4000 år siden. Grekerne gjorde geometrien til en formell vitenskap med presise definisjoner og regler ca år 300 f.Kr. De krevde at geometriske konstruksjoner skal utføres ved hjelp av passer og linjal. Thales fra Milet T Under et opphold i Egypt ble Thales berømt for at han kunne beregne høyden til pyramidene. Metoden han brukte gikk ut på at han satte en loddrett pinne i sanden ved pyramiden. Når skyggen til pinnen var like lang som høyden av pinnen, sprang Thales bort og målte skyggen til pyramiden. Lengden av denne skyggen er da lik høyden til pyramiden. Historien forteller ikke hvordan Thales klarte å måle skyggen til pyramiden.
V Tabellene angir lengden av skyggen som en loddrett pinne (eller en person) ville kaste på forskjellige tider av dagen. Skyggen var lang om morgenen, nådde minimum midt på dagen, og gikk mot uendelig lengde om kvelden. Tabellene kunne brukes som solur. De første skyggetabellene vi kjenner var svært enkle og tok ikke hensyn til at sola ville stå på forskjellig høyde avhengig av årstiden. Flere typer slike tabeller ble laget helt fram til middelalderen. Disse skyggetabellene kan ses på som en forløper for tangenstabellen som ligger lagret i lommeregneren din. Euklids "Elementer" V En av datidens konger studerte også hos Euklid. Kongen strevde med stoffet som de andre, og spurte til slutt Euklid om det ikke var en lettere måte å lære seg dette på? Da svarte Euklid: "Det går ingen kongeveg til matematikken". - Fremdeles er det slik at det finnes ingen snarveg inn i matematikkens verden.
N Tenk deg at en vilkårlig vinkel er tegnet på papiret. Del denne vinkelen i tre like store deler ved hjelp av passer og linjal. Det er enkelt å halvere en vinkel ved hjelp av passer og linjal. En skulle derfor tro at det er lett å tredele en vinkel også. Prøv selv! Mange universitetene mottar hvert år en del forslag til løsninger av dette problemet. Noen av forslagene gir så gode resultater at det er nesten umulig å påvise feilen ved hjelp av målinger. Før du arbeider lenge på dette problemet, skal du vite at i 1837 viste franskmannen P.L. Wantzel at det er umulig å dele en såpass "pen" vinkel som 60 ved hjelp av passer og linjal. Han overførte problemet til å konstruere lengder som er løsninger av en tredjegradslikning. Han viste at det var umulig å konstruere løsninger av denne likningen.
E En by var plaget av pest. Oraklet i Delfi sa til innbyggerne i byen at de ville bli kvitt pesten hvis de klarte å fordoble størrelsen av det terningformede alteret til guden Apollo. Problemet var altså å konstruere siden i en terning som skal ha dobbelt så stort volum som en annen terning. Oppgaven ble forelagt den store filosofen Platon Han måtte oversende problemet til en av sine matematikere. Platon mente at dette var et av de viktigste problemene i matematikken. Det tok imidlertid over 2000 år før oppgaven ble løst. Igjen var det P.L. Wantzel som fant løsningen. I 1837 beviste han at det er umulig å konstruere terningens fordobling ved hjelp av passer og linjal.
D Selve problemet går ut på at vi skal konstruere et kvadrat med samme areal som en oppgitt sirkel. Det henger sammen med spørsmålet om vi kan konstruere tallet . Dersom sirkelen har radius 1, må nemlig det søkte kvadratet ha sidekanter lik roten av . Utforskingen av problemet rører derfor ved hva slags natur tallet kan tillegges. Det Lindemann klarte å vise, var at tallet er et ikke-algebraisk tall, det vil si at det ikke er løsning i noen polynomlikning. Tallet kan derfor ikke konstrueres. Tallet Pi A = * r2. - Dette er formelen for arealet av sirkelen. De eldste spor etter en bestemmelse av finner vi i en egyptisk papyrus (Rhind-papyrusen) fra omkring 1700 f.Kr. Denne gir = 3,16 som er en bra tilnærmelse. Arkimedes (287 - 212 f.Kr.) beviste ved å innskrive og omskrive en 96-kant i sirkelen at måtte ligge mellom 3,14084 og 3,14285. Adrianus Romanus fant 15 riktige desimaler 1593. William Jones fra England var den første som innførte symbolet i 1706. Det ble innført som en forkortelse for det engelske ordet periphery som betyr periferi. Symbolet ble allment akseptert da matematikeren Leonard Euler tok det i bruk noe senere. I 1949 fant Eniac - den første datamaskin - 2 037 desimaler, og en IBM-maskin beregnet i 1964 10 000 desimaler: =3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399..
Nå er oppmerksomheten mer rettet mot om det finnes mønstre i desimalene til . Over 200 milliarder siffer er kjent. I skolene blir ofte innført ved at en måler omkrets og diameter til sirkelformede figurer. Kanskje tar en til slutt også gjennomsnittet av flere måleverdier. Denne metoden har trolig røtter tilbake til de eldste beregningsmetodene, slik at vi kan hevde at ringen er sluttet.
I 1852 skrev den engelske studenten Francis Guthrie til sin bror og spurte om det var mulig å gi et matematisk bevis for følgende problem: Jeg skal fargelegge et kart slik at to land med felles grenselinje (det er altså ikke nok med bare et grensepunkt) skal ha forskjellig farge på kartet. Vil det da alltid være nok å bruke fire farger? Dette spørsmålet har blitt kjent som firefargeproblemet. Det tok matematikere over hundre år før problemet ble løst, og da under forutsetning av at et land ikke er delt i flere atskilte områder slik som det tidligere Vest-Tyskland. 
Poststemplet forteller at firefargeproblemet ble løst i 1976. Beviset ble gjennomført av Kenneth Appel og Wolfgang Haken og krevde 1000 regnetimer på datamaskin. Vektorregning V Den egentlige vektorregningen ble utviklet på 1800-tallet. Mye av inspirasjonen kom fra iren W.R. Hamilton (1805-1865) som er avbildet her. I 1843 oppfant han en slags firedimensjonale tall som han kalte kvaternioner. En del av dette var oppfunnet tidligere av nordmannen Caspar Wessel (1745-1818). Kvaternionene hadde ingen fornuftig fysisk mening. Fysikeren Maxwell foreslo derfor at man skulle spalte kvaternionene i en talldel og en vektordel. I 1881 gav amerikaneren J.W. Gibbs (1839-1903) den endelige framstillingen av vektorregningen slik vi kjenner den i dag. Det var altså fysikken som var utgangspunktet for vektorregningen. Dette er derfor et godt eksempel på hvordan fagene fysikk og matematikk har påvirket hverandre.
4. STATISTIKK. O Slik samling av statistiske data har ihvertfall pågått siden Keiser Augustus' tid. Han lot landets befolkning bli innskrevet i manntall for 2000 år siden. Faget sannsynlighetsregning oppstod på 1600-tallet. En god del seinere ble den matematiske sannsynlighetsregning anvendt som hjelpemiddel for å analysere statistiske data, og det er dette som nå går under navnet matematisk statistikk. I vår tid brukes (og misbrukes) statistikk på praktisk talt alle områder: økonomi, industri, politikk, sosiologi, medisin, biologi, fysikk osv. Selv for lesning av vanlige dagsaviser er kunnskaper i statistikk en fordel. Befolkningsstudier John Graunt (1620-74) regnes som grunnlegger av statistiske befolkningsstudier. Han analyserte det statistiske materialet som var lagret om Londons innbyggere. Spesielt interessant for ham var Londons dødsstatistikk som gikk tilbake til 1532. I 1662 skrev han boka "Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality". Graunt bemerket f.eks. at antall guttefødsler var omtrent lik antall jentefødsler. Dette er velkjent for oss, men ser ut til å ha vært en nyhet i 1662. Graunt gjorde også et forsøk på å utarbeide dødlighetstabeller av samme type som brukes av moderne livsforsikringsselskaper. Blaise Pascal B To år seinere konstruerte han en av de første regnemaskiner som kunne utføre addisjon og subtraksjon mekanisk. Seinere laget han ca. 50 slike. I vår tid har Pascal blitt hedret for dette ved at et av de mest kjente programmeringsspråk er oppkalt etter han. Pascal grunnla også den grein av matematikken som kalles sannsynlighetsregning. Pascal tenkte meget klart, og hadde en egen evne til å trenge gjennom problemene og uttrykke presist det andre beskrev i vage ord. En kveld da Pascal var 31 år opplevde han en åndelig omveltning i sitt liv. I to timer var han gjennomglødet av en overnaturlig ild. All tvil forsvant etter denne direkte kontakten med Gud. Resten av livet brukte han til å kjempe for sin tro og jobbet bare sporadisk med matematikken. En del av det han talte og skrev ble samlet til det som nå er kjent som hans Tanker. En av Pascals store interesser ble også å hjelpe fattige, og han lånte penger mot rente for å kunne gi gaver.
Statistikken har også sine lover. En av disse er den klokkeformde normalfordelingen eller gausskurven. Normalfordelingen ble oppdaget av De Moivre i 1733, og på nytt i 1809 av Carl Friedrich Gauss, mens han studerte feillære. Gauss hadde problemer i forbindelse med stjerneobservasjoner. Når han målte en bestemt vinkel på stjernehimmelen flere ganger etter hverandre med ett av de instrumentene han disponerte, fikk han ikke samme svar hver gang. Hyppigheten av måleresultatene fordelte seg som en klokkeformet kurve, den såkalte normalfordelingen, rundt den "sanne" verdien.
Normalfordelingskurven gjør seg ikke gjeldende før tallet på observasjoner blir svært stort. Den kan derfor regnes som et grensetilfelle når n (antall observasjoner) går mot uendelig. I statistikken finner vi ofte normalfordelte data - i alt fra stjerneobservasjoner til soldatenes kroppslengde. George Gallup George Gallup (1901-84) er en kjent amerikansk meningsmåler og samfunnsforsker. Gallup underviste i journalistikk ved et amerikansk universitet. Etter forespørsler fra et annonsefirma i New York om å foreta meningsmålinger for firmaets kunder, grunnla Gallup i 1935 "American Institute of Public Opinion". I 1936 var det presidentvalg i USA mellom Roosevelt og Landon. Bladet Literary Digest hadde forutsagt at Landon ville vinne. Deres undersøkelse bygde på utsendelse av hele 2,4 millioner brev. Men Gallups målinger viste at Roosevelt ville vinne.
Gallup fikk rett. Meningsmålingen til Literary Digest bygde nemlig på et lite representativt utvalg av befolkningen. Bladet hadde sendt ut sine brev etter telefonkataloger og bileierlister. Men i 1936 var det ikke så vanlig med bil eller telefon. Dette førte til et stemmetall på Roosevelt som var 19% lavere enn det i virkeligheten ble. En slik grov feil hadde ikke Gallup gjort. Nå er ordet gallup et synonym for meningsmåling. Eilert Sundt N Sundt reiste rundt land og strand og studerte folkelivet. Han fant svært mye elendighet. De neste ti år var han stadig på vandring over hele landet og samlet førstehåndskunnskap om folket. Dessuten benyttet han seg av det han kunne få tak i av offisiell statistikk, og han skaffet seg informasjon gjennom prester og lærere. I bøkene sine skrev han om befolkningslære (giftemål, fødsel, dødelighet), moralske forhold, hus- og sanitærtilstander og om levekår for fiskere, arbeidere og de omreisende taterne (fantene). Sundt skrev på et folkelig poetisk språk, men alt var basert på grundig statistikk. I 1864 grunnla Sundt Christiania arbeiderforening. Men han var motstander av Marcus Thrane og hans sosialisme. Sundt var også aktiv i Folkeopplysningsselskapet. Han regnes som banebryter for sosiologisk og statistisk kartlegging av folks levekår.
Anders N. Kiær (1838-1919) ble født i Drammen. Han ble utdannet jurist, men hans viktigste arbeider er befolkningsstatistikker over inntekt og formue, og skipsfartsstatistikker. Han forsket også i folkeforflytningen i årene 1866 - 85. D Ellers er Kiærs navn knyttet til opprettelsen av Statistisk sentralbyrå som ble opprettet i 1876. Han var også direktør for byrået i en årrekke. Statistisk sentralbyrå samler inn og bearbeider den offentlige statistikk her i landet. De utgir bl.a. Statistisk årbok og Statistisk ukehefte. Feil bruk av statistikk Ikke alle statistiske metoder er til å stole på. I en av Kjell Aukrusts bøker leser vi om de gamle vikingene: -  "Store og kraftige vikinger? Sludder og våsprat fra ende til annen. Vikingene var noen oppskrytte små puslinger!
Ludvig sa mistenksom på Solan: Hvor hadde sagbruksarbeideren disse opplysningene fra? Solan Gundersen hadde det fra sjølveste forskningssjefen i Statistisk Sentralbyrå. Ekspertene regna seg tel sånt. Dagens norske soldat vokste nemlig 0,8 millimeter om året. I dag var gjennomsnittshøyden 179 centimeter. Det var bare å regne seg attende i tia med null komma åtte, tel slaget på Stiklestad - Da skulle'n Ludvig få sjå svart på kvitt å mye det vart att ta'n Olav den Hellige, Gaukatore, Afrafaste og'n Hårek fra Tjøtta! - Nei, her nytta det itte å telle på fingra! Men Solan Gundersen kunne fortelle det han: - Dessa oppskrytte råskinna som barka sammen i slaget på Stiklestad var itte høyere enn 29 centimeter! Ja Ludvig kunne bare måpe. På Stiklestad ville han verken ha sett snurten av bondehæren eller kara hass Olav den Hellige. Døm var rett og slett borte neri graset ..." 5. FUNKSJONER. Rene Descartes Rene Descartes (1596-1650) var fransk og regnes som den første store filosof i moderne tid. Hans interesse for matematikk var bare en del av hans liv. Som filosof la han vekt på at matematikkens deduktive tenkemåte skulle gjennomsyre all vitenskap. Hovedpoenget i hans filosofi var at en kunne anvende en matematisk metode på alle kunnskapsområder - noe som delvis har vist seg å stemme.
Descartes fant på å løse geometriske problemer ved å regne med likninger for kurver. I sitt verk "Discours de la méthode" (1637) viser han i et tilleggskapittel hvordan en kan løse praktisk talt alle geometriske oppgaver ved hjelp av algebraen - nemlig ved å ta i bruk det vi i dag kaller koordinatsystemet. Descartes grunnla den nye koordinatgeometrien. Vi snakker derfor ofte om det kartesiske koordinatsystemet etter filosofens latinske navn Cartesius. I "Discours de la méthode" finner vi også det som går under navnet "nullpunktsetningen". I 1649 reiste Descartes til Stockholm for å undervise dronning Kristina i filosofi. Det ble en spesielt kald vinter i Sverige slik at Descartes fikk lungebetennelse og døde i Stockholm allerede i 1650.
Yüklə 101,13 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
ophus Lie (1842-99) ble født på Nordfjordeid og var prestesønn slik som Abel. Det tok sin tid før han bestemte seg for å 
mmy Noether (1882-1935) er den fremste kvinnelige matematikeren som har levd til nå. På skolen viste hun ikke spesielle matematiske evner, og hun så ut til å foretrekke språkfagene. Hun avla også eksamen som språklærer. Men i stedet for å begynne som lærer, valgte hun nå å fortsette med utdannelsen sin. I året 1900 var hun eneste kvinne blant 1000 menn ved det tyske universitetet der hun studerte. Sju år seinere tok hun doktorgraden i matematikk. 
hales fra Milet (ca 600 f.Kr.) i Lilleasia er den første matematikeren vi kjenner navnet til. Han beviste resultater i geometri. Dessuten regner vi ham som den første filosofen i vesten. Vi vet ikke hvordan Thales beviste resultatene sine. Antakeligvis gav han en form for logisk begrunnelse i stedet for bare å stole på eksperimenter og tegninger. 
i kan spore trigonometriske funksjoner, eller i det 
erdens mest berømte matematikkbok heter "Elementer" og er skrevet av Euklid ca. 300 f. Kr. Dette verket består av l3 bøker og inneholder den matematikk grekerne satt inne med. Euklids bøker ble brukt i europeiske skoler i hele 2000 år. Geometriens systematiske oppbygging dannet mønster for resten av matematikken. 
oen problemer har til alle tider trukket til seg mennesker med interesse for matematikk. Et av de klassiske problemene er vinkelens tredeling. Vi kan beskrive problemet slik: 
t annet av de gamle geometriske problemene gjelder fordoblingen av en terning. Det er flere historier om hvordan dette problemet har oppstått. En historie lyder slik: 
et tredje av de klassiske geometriproblemer kalles sirkelens kvadratur. Problemet er meget vanskelig, og det viser seg at det er uløselig ved hjelp av passer og linjal. Det ble først avklart i 1882 av den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939) . 
ektorregningen har sin opprinnelse i fysikken, og det latinske ordet vector betyr blant annet "en som bærer på noe". Allerede for lenge siden tenkte en seg at krefter og hastighet kan betraktes som linjestykker med lengde og retning. En adderte slike linjestykker som sidene i et parallellogram. 
rdet statistikk stammer visstnok fra det tyske ordet "Staatsmerkwerdenkeiten" som betyr "merkelige ting ved staten". Ordet har nok sammenheng med tabeller og figurer over folketall, hærstyrker, landarealer, skatter og andre talldata som staten samlet for å kunne følge med på hva som foregikk i landet.
laise Pascal (1623-62) fikk en god utdannelse i Paris, og bare religion ble holdt utenfor undervisningen. Allerede som 11-åring skrev han en liten avhandling om noen lydeksperimenter han hadde gjort selv. Året etter oppdaget han mange setninger fra geometrien uten å ha fått noen undervisning i emnet. Da han var 16 år fikk han trykt et arbeid hvor han satte fram en ny og "vakker" geometrisk setning om kjeglesnitt. Det var da tydelig at han var et av matematikkens vidunderbarn. 
ordmannen Eilert Sundt (1817-1875) er kjent som teolog og samfunnsforsker. Etter å ha møtt dikteren Henrik Wergeland, ble han inspirert til å arbeide med å finne ut hvorfor så mange underprivilegerte grupper, særlig de såkalte taterne, hadde det så dårlig her i landet. 
et var vanlig på den tiden å 