Isaac Asimov nueva guía de la ciencia ciencias físicas

Apéndice

LAS MATEMÁTICAS EN LA CIENCIA

GRAVITACIÓN

Como se ha explicado en el capítulo 1, Galileo inició la ciencia en su sentido

moderno introduciendo el concepto de razonamiento apoyado en la observación y

en la experimentación de los principios básicos. Obrando así, introdujo también la

técnica esencial de la medición de los fenómenos naturales con precisión y

abandonó la práctica de su mera descripción en términos generales. En resumen,

cambió la descripción cualitativa del universo de los pensadores griegos por una

descripción cuantitativa.

Aunque la ciencia depende mucho de las relaciones y operaciones matemáticas, y

no existiría en el sentido de Galileo sin ellas, sin embargo, no hemos escrito este

libro de una forma matemática y lo hemos hecho así deliberadamente. Las

matemáticas, después de todo, son una herramienta altamente especializada.

Para discutir los progresos de la ciencia en términos matemáticos, necesitaríamos

una cantidad de espacio prohibitivo, así como un conocimiento sofisticado de

matemáticas por parte del lector. Pero en este apéndice nos gustaría presentar

uno o dos ejemplos de la manera en que se han aplicado las matemáticas

sencillas a la ciencia con provecho. ¿Cómo empezar mejor que con el mismo

Galileo?

La primera ley del movimiento

Galileo (al igual que Leonardo da Vinci casi un siglo antes) sospechó que los

objetos al caer aumentaban constantemente su velocidad a medida que lo hacen.

Se puso a medir exactamente en qué cuantía y de qué manera aumentaba la

velocidad.

Dicha medición no podía considerarse fácil para Galileo, con los instrumentos de

que disponía en 1600. Medir una velocidad requiere la medición del tiempo.

Hablamos de velocidades de 1.000 km por hora, de 4 km por segundo. Pero no

había ningún reloj en tiempos de Galileo que diera la hora en intervalos

aproximadamente iguales.

Galileo acudió a un rudimentario reloj de agua. Dispuso agua que goteaba

lentamente de un pequeño tubo, suponiendo, con optimismo, que el líquido

goteaba con una frecuencia constante. Esta agua la recogía en una taza, y por el

peso del agua caída durante el intervalo de tiempo en que un acontecimiento tenía

lugar, Galileo medía el tiempo transcurrido. (En ocasiones, también utilizó el latido

de su pulso con este propósito.)

Sin embargo, una dificultad estribaba en que, al caer un objeto, lo hacía tan

rápidamente que Galileo no podía recoger suficiente agua, en el intervalo de

caída, como para poder pesarla con precisión. Lo que hizo entonces fue ''diluir'' la

fuerza de la gravedad haciendo rodar una bola metálica por un surco en un plano

inclinado. Cuanto más horizontal era el plano, más lentamente se movía la bola.

Así, Galileo fue capaz de estudiar la caída de los cuerpos en cualquier grado de

''movimiento lento'' que deseara.

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Galileo halló que una bola, al rodar sobre un plano perfectamente horizontal, se

movía con velocidad constante. (Esto supone una ausencia de rozamiento, una

condición que podría presumirse dentro de los límites de las rudimentarias

mediciones de Galileo.) Ahora bien, un cuerpo que se mueve en una trayectoria

horizontal lo hace formando ángulos rectos con la fuerza de la gravedad. En tales

condiciones, la velocidad de este cuerpo no es afectada por la gravedad de

ninguna manera. Una bola que descansa sobre un plano horizontal permanece

inmóvil, como cualquiera puede observar. Una bola impulsada a moverse sobre un

plano horizontal lo hace con una velocidad constante, como observó Galileo.

Matemáticamente, entonces, se puede establecer que la velocidad v de un cuerpo,

en ausencia de cualquier fuerza exterior, es una constante k, o

Si k es igual a cualquier número distinto de cero, la bola se mueve con velocidad

constante. Si k es igual a cero, la bola está en reposo; así, el reposo es un ''caso

particular'' de velocidad constante.

Casi un siglo después, cuando Newton sistematizó los descubrimientos de Galileo

referentes a la caída de los cuerpos, este hallazgo se transformó en la Primera

Ley del Movimiento (también llamada ''el principio de inercia''). Esta ley puede

expresarse así: todo cuerpo persiste en un estado de reposo o de movimiento

uniforme rectilíneo, a menos que una fuerza exterior le obligue a cambiar dicho

estado.

Cuando una bola rueda hacia abajo por un plano inclinado, no obstante, está bajo

la continua atracción de la gravedad. Su velocidad entonces, como halló Galileo,

no era constante, sino que se incrementaba con el tiempo. Las mediciones de

Galileo mostraron que la velocidad aumentaba en proporción al período de tiempo

t.

En otras palabras, cuando sufre la acción de una fuerza exterior constante, su

velocidad, partiendo del reposo, puede ser expresada como:

¿Cuál era el valor de k? :

Este, como fácilmente se hallaba por experimentación, dependía de la pendiente

del plano inclinado. Cuanto más cerca de la vertical se hallaba el plano, más

rápidamente la bola que rodaba aumentaba su velocidad y mayor era el valor de k.

El máximo aumento de velocidad aparecía cuando el plano era vertical, en otras

palabras, cuando la bola caía bajo la fuerza integral de la gravedad. El símbolo g

(por ''gravedad'') se usa cuando la fuerza íntegra de la gravedad está actuando, de

forma que la velocidad de una bola en caída libre, partiendo del reposo, era:

Consideramos el plano inclinado con más detalle, en el diagrama:

La longitud del plano inclinado es AB, mientras que su altura hasta el extremo

superior es AC. La razón de AC a AB es el seno del ángulo x, usualmente

abreviado como sen x.

El valor de esta razón -esto es, de sen x- puede ser obtenido de forma aproximada

constituyendo triángulos con ángulos particulares y midiendo realmente la altura y

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longitud implicadas en cada caso. O puede calcularse mediante técnicas

matemáticas con toda precisión, y los resultados pueden incorporarse en una

tabla. Usando dicha tabla, podemos hallar, por ejemplo, que sen 10° es

aproximadamente igual a 0,17356, que sen 45° es aproximadamente igual a

0,70711, y así sucesivamente.

Hay dos importantes casos particulares. Supongamos que el plano ''inclinado'' es

precisamente horizontal. El ángulo x es entonces cero, y como la altura del plano

inclinado es cero, la razón de la altura de su longitud será también cero. En otras

palabras, sen O'' = 0. Cuando el plano ''inclinado'' es precisamente vertical, el

ángulo que forma con la base es un ángulo recto, o de 90°. Su altura es entonces

exactamente igual a su longitud, de forma que la razón de uno al otro es

exactamente 1. Por tanto, sen 90° = 1.

Volvamos ahora a la ecuación que muestra que la velocidad de una bola rodando

hacia abajo por un plano inclinado es proporcional al tiempo:

Se puede probar empíricamente que el valor de k varía con el seno del ángulo, de

forma que:

(donde k' es utilizado para indicar una constante que es diferente de k).

(En honor a la verdad, el papel del seno en relación con el plano inclinado fue

estudiado, con anterioridad a Galileo, por Simón Stevinus, quien también llevó a

cabo el famoso experimento de dejar caer diferentes masas desde una cierta

altura, un experimento tradicional, pero erróneamente atribuido a Galileo. Sin

embargo, si Galileo no fue realmente el primero en experimentar y medir, sí lo fue

en inculcar al mundo científico, de forma indeleble, la necesidad de experimentar y

medir, y ésa es ya una gloria suficiente.)

En el caso de un plano inclinado completamente vertical, el sen x se convierte en

sen 90°, que es 1, también en la caída libre.

Se deduce que k' es el valor de k en la caída libre bajo la total atracción de la

gravedad, que ya hemos convenido en representar por g. Podemos sustituir g por

k' y tenemos para cada plano inclinado:

La ecuación para la velocidad de un cuerpo rodando sobre un plano inclinado es,

en consecuencia:

Sobre un plano horizontal con sen x = sen 0° = 0, la ecuación para la velocidad se

transforma en:

Esto es otra manera de expresar que una bola sobre un plano horizontal,

partiendo de un estado de reposo, permanecerá inmóvil a pesar del paso del

tiempo. Un objeto en reposo tiende a permanecer en él, y así sucesivamente. Esto

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es parte de la Primera Ley del Movimiento, y se deduce de la ecuación de la

velocidad en el plano inclinado.

Supongamos que la bola no parte del reposo, sino que tiene un movimiento inicial

antes de empezar a rodar. Supongamos, en otras palabras, que tenemos una bola

moviéndose a lo largo de un plano horizontal a 1,5 m por segundo, y que, de

pronto, se halla en el extremo superior de un plano inclinado y empieza a rodar

hacia abajo por él.

El experimento prueba que su velocidad después de eso es mayor de 1,5 m por

segundo, en cada instante, que la que debería tener si hubiera empezado a rodar

hacia abajo por el plano partiendo del reposo. En otras palabras, la ecuación para

el movimiento de una bola rodando hacia abajo por un plano inclinado puede

expresarse, en una forma más completa, como sigue:

donde V es la velocidad inicial anterior. Si un objeto parte del reposo, entonces V

es igual a 0 y la ecuación se convierte en la que teníamos antes:

Si consideramos a continuación un objeto con una velocidad inicial sobre un plano

horizontal, de forma que ese ángulo x es 0°, la ecuación queda:

o, puesto que sen 0° es 0:

Así la velocidad de tal objeto permanece igual a su velocidad inicial, pese al

tiempo transcurrido. Esto es la consecuencia de la Primera Ley del Movimiento,

deducida de la observación del movimiento sobre un plano inclinado.

La proporción en que cambia la velocidad se llama ''aceleración''. Si, por ejemplo,

la velocidad (en metros por segundo) de una bola rodando hacia abajo por un

plano inclinado es, al final de los sucesivos segundos, 4, 8, 12, 16... entonces la

aceleración es de un metro por segundo cada segundo. En la caída libre, si

usamos la ecuación:

cada segundo de caída origina un aumento de velocidad de g metros por segundo.

Por tanto, g representa la aceleración debida a la gravedad.

El valor de g puede determinarse a partir de los experimentos del plano inclinado.

Despejando la ecuación del plano inclinado hallamos:

Puesto que v, t y x pueden medirse, g puede calcularse y resulta ser igual a 9

metros por segundo, cada segundo, en la superficie terrestre. Por tanto, en la

caída libre bajo la acción de la gravedad normal en la superficie terrestre, la

velocidad de caída está relacionada con el tiempo de este modo:

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Ésta es la solución del problema original de Galileo, esto es, determinar la

velocidad de caída de un cuerpo y la proporción en que esa velocidad varía.

El siguiente problema es: ¿qué distancia recorre un cuerpo que cae en un tiempo

dado? A partir de la ecuación que relaciona la velocidad con el tiempo, es posible

relacionar la distancia con el tiempo por un proceso de cálculo llamado

''integración''. No es necesario entrar en eso, sin embargo, porque la ecuación

puede ser obtenida por la experiencia, y, en esencia, Galileo hizo esto.

Halló que una bola rodando hacia abajo por un plano inclinado recorre una

distancia proporcional al cuadrado del tiempo. En otras palabras, doblando el

tiempo, la distancia aumenta al cuadruplo, y así sucesivamente.

Para un cuerpo que cae libremente, la ecuación que relaciona la distancia d y el

tiempo es:

o, puesto que g es igual a 9:

A continuación, supongamos que, en vez de partir del reposo, se lanza

horizontalmente sobre un objeto desde una cierta altura en el aire. Su movimiento

sería, por tanto, la composición de dos movimientos: uno horizontal y otro vertical.

El movimiento horizontal, que no incluye ninguna otra fuerza aparte del impulso

inicial (si despreciamos el viento, la resistencia del aire, etc.), es de velocidad

constante, de acuerdo con la Primera Ley del Movimiento, y la distancia que

recorre horizontalmente el objeto es proporcional al tiempo transcurrido. Sin

embargo, el movimiento vertical cubre una distancia, tal como ya explicamos, que

es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Antes de Galileo, se creía

vagamente que un proyectil del tipo de una bala de cañón se desplazaba en línea

recta hasta que el impulso que lo empujaba se agotaba de algún modo, después

de lo cual caía en línea recta hacia abajo. Galileo, sin embargo, realizó el gran

adelanto de combinar los dos movimientos.

La combinación de estos dos movimientos (proporcional al tiempo,

horizontalmente, y proporcional al cuadrado del tiempo, verticalmente) origina una

curva llamada parábola. Si un cuerpo se lanza, no horizontalmente, sino hacia

arriba o hacia abajo, la curva del movimiento es también una parábola.

Tales curvas de movimiento, o trayectorias, se aplican, por supuesto, a proyectiles

como una bala de cañón. El análisis matemático de las trayectorias contenido en

los trabajos de Galileo permitió calcular dónde caerá una bala de cañón, cuando

se la dispara conociendo la fuerza de propulsión y el ángulo de elevación del

cañón. A pesar de que el hombre ha lanzado objetos por diversión, para obtener

alimentos, para atacar y para defenderse, desde hace incontables milenios, se

debe únicamente a Galileo el que por vez primera, gracias a la experimentación y

medición, exista una ciencia de la ''balística''. Por tanto, dio la casualidad que el

verdadero primer hallazgo de la ciencia moderna demostraba tener una aplicación

militar directa e inmediata.

También tenía una importante aplicación en la teoría. El análisis matemático de la

combinación de más de un movimiento resolvía varias objeciones a la teoría de

Copérnico. Demostraba que un objeto lanzado hacia arriba no quedaría retrasado

en el espacio con respecto a la Tierra en movimiento, puesto que el objeto tendría

dos movimientos: uno originado por el impulso del lanzamiento y otro ligado al

movimiento de la Tierra. También hacía razonable suponer que la Tierra poseía

dos movimientos simultáneos: uno de rotación alrededor de su eje y otro de

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traslación alrededor del Sol, una situación que algunos de los no copernicanos

insistían que era inconcebible.

La segunda y la tercera leyes

Isaac Newton extendió los conceptos de Galileo sobre el movimiento a los cielos y

demostró que el mismo sistema de leyes del movimiento podía aplicarse tanto a

los astros como a la Tierra.

Empezó considerando la posibilidad de que la Luna pudiera caer hacia la Tierra,

debido a la gravedad de ésta, pero afirmó que nunca podría colisionar con ella a

causa de la componente horizontal de su movimiento. Un proyectil disparado

horizontalmente, como decíamos, sigue una trayectoria parabólica descendente

para interseccionar con la superficie de la Tierra. Pero la superficie de la Tierra

también está curvada hacia abajo, puesto que la Tierra es una esfera. Si se le

diera a un proyectil un movimiento horizontal lo suficientemente rápido, podría

describir una curva hacia abajo no más acusada que la superficie de la Tierra y,

por tanto, podría circunvalar eternamente la Tierra.

Ahora bien, el movimiento elíptico de la Luna alrededor de la Tierra puede

descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. El componente vertical

es tal, que, en el intervalo de un segundo, la Luna cae un poco más de 0,127 cm

hacia la Tierra.

En este tiempo, se desplaza también unos 1.000 metros en dirección horizontal,

justamente la distancia necesaria para compensar la caída y proseguir alrededor

de la curvatura de la Tierra.

La cuestión era si estos 0,127 cm de descenso de la Luna era causado por la

misma atracción gravitatoria que hacía que una manzana, cayendo desde un

árbol, descendiera unos 5 m en el primer segundo de su caída.

Newton vio la fuerza de la gravedad terrestre como separándose en todas

direcciones, al igual que una gran esfera en expansión.

El área de la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio r:

En consecuencia, razonaba que la fuerza gravitatoria expandiéndose por la

superficie esférica, debe disminuir en proporción al cuadrado de su radio. La

intensidad de lajuz y el sonido disminuyen con el cuadrado de la distancia hacia el

foco: ¿por qué no podía suceder lo mismo con la fuerza de la gravedad?

La distancia desde el centro de la Tierra hasta una manzana situada en su

superficie es aproximadamente de 6.437 km. La distancia desde el centro de la

Tierra a la Luna es aproximadamente de 386.000 km. Puesto que la distancia a la

Luna es sesenta veces mayor que hasta la manzana, la fuerza de la gravedad

terrestre en la Luna debía ser 602, o 3.600 veces menor que en la manzana.

Si dividimos 5 cm por 3.600, nos dará aproximadamente 0,127. Le pareció

evidente a Newton que la Luna ciertamente

se movía dentro del campo de acción de la gravedad terrestre.

Newton fue llevado, además, a considerar la ''masa'' en relación con la gravedad.

Corrientemente, medimos la masa como el peso. Pero el peso es solamente el

resultado de la atracción de la fuerza gravitatoria de la Tierra. Si no existiera

ninguna gravedad, un objeto no tendría peso; sin embargo, contendría la misma

cantidad de materia. La masa, por tanto, es independiente del peso, y deberíamos

ser capaces de medirla sin tener en cuenta éste.

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Supongamos que se tira un objeto situado sobre una superficie perfectamente

pulimentada en una dirección horizontal a la superficie terrestre, de forma que no

exista ninguna resistencia de la gravedad. Habrá que efectuar una fuerza para

poner el objeto en movimiento y para acelerar este movimiento, a causa de la

inercia del cuerpo. Si se mide cuidadosamente la fuerza aplicada, es decir, tirando

con un dinamómetro unido al objeto, hallaremos que la fuerza f requerida para

producir una aceleración dada a es directamente proporcional a la masa m. Si se

dobla la masa, hallaremos que hay que doblar la fuerza. Para una masa dada, la

fuerza requerida es directamente proporcional a la aceleración deseada.

Matemáticamente, esto se expresa en la ecuación:

La ecuación se conoce como la Segunda Ley del Movimiento de Newton.

Así, tal como Galileo había descubierto, la atracción de la gravedad terrestre

acelera todos los cuerpos, pesados o ligeros, exactamente en la misma

proporción. (La resistencia del aire puede retrasar la caída de muchos cuerpos

ligeros, pero, en el vacío, una pluma caerá tan rápidamente como una masa de

plomo, lo cual puede comprobarse fácilmente.) Si la Segunda Ley del Movimiento

es válida, hemos de concluir que la atracción de la fuerza de la gravedad sobre un

cuerpo pesado debe ser mayor que sobre un cuerpo ligero, con el fin de producir

la misma aceleración. Para acelerar una masa que es ocho veces mayor que otra,

por ejemplo, necesitamos una fuerza ocho veces superior. De aquí se deduce que

la atracción de la fuerza de la gravedad sobre cualquier cuerpo debe ser

exactamente proporcional a la masa de este cuerpo. (Éste es, en realidad, el

motivo por el que la masa sobre la superficie terrestre puede medirse de una

forma tan completamente precisa como el peso.)

Newton desarrolló también una Tercera Ley del Movimiento: ''Para cada acción,

existe una reacción igual y en sentido contrario.'' Esto se aplica a la fuerza. En

otras palabras, si la Tierra atrae a la Luna con una fuerza determinada, la Luna,

por su parte, tira de la Tierra con una fuerza igual. Si la Luna súbitamente

duplicase su masa, la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre ella quedaría

también doblada, de acuerdo con la Segunda Ley; desde luego, la fuerza de la

gravedad de la Luna sobre la Tierra tendría entonces que multiplicarse por dos, de

acuerdo con la Tercera Ley.

De forma similar, si ambas, la Tierra y la Luna, duplicaran su masa, se produciría

en este caso una doble duplicación, es decir, cada cuerpo doblaría su fuerza de

gravedad dos veces, con lo que tendría lugar un crecimiento de cuatro veces en

total.

Newton podría solamente concluir, a partir de este tipo de razonamiento, que la

fuerza gravitatoria entre dos cuerpos en el universo era directamente proporcional

al producto de las masas de dichos cuerpos. Y, por supuesto, como ya había

decidido antes, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (de centro a

centro) entre los cuerpos. Ésta es la Ley de la Gravitación Universal de Newton.

Si f representa la fuerza gravitatoria m, y m2 las masas de los dos cuerpos

implicados, y d la distancia entre ellos, entonces la ley puede establecerse:

G es la ''constante gravitatoria'', cuya determinación le hizo posible ''pesar la

Tierra'' (véase capítulo 4). Newton conjeturaba que G tenía un valor fijo en todo el

universo. Con el tiempo, se halló que nuevos planetas, no descubietos en tiempo

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de Newton, ajustaban sus movimientos a las exigencias de la ley de Newton;

incluso estrellas dobles increíblemente distantes danzaban al compás del análisis

de Newton del universo.

Todo esto surgió de la nueva visión cuantitativa del universo explorada por Galileo.

Como puede comprobarse, gran parte de las matemáticas implicadas eran

realmente muy sencillas. Las que hemos citado aquí son de álgebra de estudios

de bachillerato.

En realidad, todo lo que se necesitaba para introducir una de las mayores

revoluciones intelectuales de todos los tiempos era:

1.° Un simple conjunto de observaciones que todo estudiante de física puede

hacer con una pequeña orientación.

2.° Una sencilla serie de generalizaciones matemáticas.

3.° El genio trascendental de Galileo y Newton, que tuvieron la perspicacia y

originalidad de realizar estas observaciones y generalizaciones por vez primera.

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RELATIVIDAD

Las leyes del movimiento, tal como fueron elaboradas por Galileo y Newton,

estaban basadas en la suposición de que existía algo como el movimiento -es

decir un movimiento con referencia a algún objeto de reposo. Pero todos los

objetos que conocemos del universo están en movimiento: la Tierra, el Sol, la

Galaxia, los sistemas de galaxias. ¿Dónde en el Universo, entonces, podemos

hallar el reposo absoluto con respecto al cual medir el movimiento absoluto?