Ekonometrika asoslari o'quv qo'llanma

f-1
Ы


f-1 UJ


t-\


+...+(-1)


+ (-i)


■Pq (9-4.7)

1--+ - _v в \в

)

Qavs ichidagi ifodalar geometrik progressiyayig'indisini beradi. Agar \ч\< 1,
a

,bo'lsa, u holda =


П л
1 -q
A-C

bo'ladi. O'rgimchak to'risimon model uchun

В

В ¹
Bundan ixtiyoriy t vaqtda P_t uchun quyidagiga ega bo'lamiz

:l-(-l)


^E}
\Bj


A-C В


\Bj


+ (-1)


(9.4.8)


Pt


Po


E В


1 +

E
Ma'lumki — < 1,
В


—>• 0 va p

A-C *
= p bo'lganda, ya'ni taklif
^г E +

B

chizig'i talab chizig'iga nisbatan ko'proq og'ishgan bo'lsa, muvozanat turg'un
E
bo'ladi. Agar —> 1 bo'lsa, ya'ni talab chizig'i o'ta og'ishgan bo'lsa, u holda

lВJ

В
0 va jarayon muvozanat nuqtasidan uzoqlashadi (muvozanat turg'un
E
bo'lmaydi). —=1 bo'lganda, ya'ni B=E holatda P_t qiymati muvozanat qiymati
В
atrofida ketma-ket takrorlanadi.
Demak, tizimning muvozanat holatda bo'lishida asosan bahoning uncha katta bo'lmagan o'zgarishga ta'sir etuvchi o'tgan davrdagi omillar muhim rol o'ynaydi

.

Quyidagi masalalarning yechimlarini toping.

1. 
   masala.
   

Faraz qilaylik vaqt bo'yicha kechikish taklif funktsiyasida emas talab funktsiyasida qatnashsin:
D_t=A-Bp_t;S_t =C + Ep_t__vD_t =5,
Muvozanat nuqtaga intilish sharti qanday bo'ladi? Ushbu jarayonni grafik ko'rinishda tasvirlang.

2. 
   masala.
   

Talab va taklif funktsiyalari D(t) = A-Ap(t\ S(t) = %-Ap(t-\) ko'rinishda bo'lsin. p(t) narx uchun formulani va boshlang'ich narx r₀ = 4 bo'lganda ixtiyoriy t uchun talab va taklif miqdorini toping.

(9.4.6)ga asosan va (9.4.8)ga asosan

Yechish. Muvozanat nuqtada talab va taklifning tengligi shartidan foydalanib 4 — 4 pit) = 8 — 4 pit — 1) tenglikni yozish mumkin. Bundan pit) = — 1 — pit — 1) rekkurent tenglama kelib chiqadi. Muvozanat nuqtada
* A-C 4-8
P = = = -0,5

B+E 4+4

t


fEЛ
Ы


l-(-l)


A-C В


+ (-1)


Pt


■^po =


E


1 + - U)


В t


1 - (-1)


t


(-) UJ


4-8


+ (-1)


1 + -

t
(-] UJ
4 = -0,5 + 4,5(-l

)

rekkurent formula xosil bo'ladi. Bundan ko'rinadiki vaqt o'tishi bilan narxning tebranishi muvozanat qiymatdan 4,5 birlikka teng bo'lgan chastota bilan yuz beradi. Talab uchun formula quydagi ko'rinishda bo'ladi:
D(t) = 4 -4p(t) = 4- 4(—0,5 + 4,5(-l)') = 6 -Щ-1)'

.Taklif uchun esa formula quydagi ko'rinishga ega bo'ladi:
S(t) = 8 - A pit -1) = 8 - 4(-0,5 + 4Д-1)") = 6 +18(-1)".
9.4.4. Baho muvozanatining EVANS modeli
Modelda bitta tovar bozori qaralib, vaqt omili uzluksiz deb hisoblanadi. D(t), S(t), p(t) - mos ravishda t vaqtda tovarga talab, taklif va shu tovarning narxi bo'lsin. Talab ham taklif ham bahoning chiziqli funktsiyasi hisoblansin, ya'ni D(p) = A- Bp, A,B> 0- talab bahoning ko'tarilishi bilan kamayadi, S(p) = C + Ep, C,E>0 - taklif esa bahoning ko'tarilishi bilan ko'payadi. Tabiyki A >C, ya'ni bahoning nol qiymatida talab taklifdan yuqori
bo'ladi.
Asosiy mushohoda shundan iboratki, baho talab bilan taklifning o'zaro nisbatlariga bog'liq ravishda o'zgaradi deb qaraladi:

bunda у > 0, ya'ni bahoning ko'tarilishi talabning taklifga nisbatan yuqori bo'lishiga va shu jarayonning davom etish davriga proportsional. Shunday qilib quyidagi differentsial tenglamani olamiz:

dpi dt = y{D-S). Bu tenglamaga talab va taklifni narxga chiziqli bog'Hqligini qo'yib p(0) = p₀ boshlang'ich shart bilan

(9.4.9)

dp/dt = -y((B + E)p-A + C)
chiziqli bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamani hosil qilamiz.
Ushbu tenglama p* = (А-С)/(В + E) > 0 (statsionar) turg'un nuqtaga ega.





t^oo
p₀< r bo'lganda narx ko'tarilib r* ga intiladi, p₀> r* bo'lganda mahsulot bahosi pasayib r* ga intiladi. r* muvozanat baho bo'lganda talab va taklif teng bo'ladi:
157

D(p) = S(p) -+A-Bp = C + Ep^p =(A-C)/(B + E). Bir jinsli bo'lmagan chiziqli differentsial tenglamalami yechishning umumiy qoidasiga asosan (9.4.9) tenglamaning yechimini quyidagicha yozish mumkin:

-y(B+E)t


1-е

p(t) = p₀e~^^B+E^ +(A-C)/(B + E)

Bundan yana ko'rish mumkinki vaqt o'tishi bilan tovar bahosi r ga intiladi, ya'ni
t^-oo bo'lganda lim p(t) = p bo'ladi.
9.4.5. Iqtisodiy o'sishning bir sektorli SOLOU modeli
Iqtisodiyot doimo bir butunlikda qaralib, unda ham ishlab chiqarish, ham noishlab chiqarish sohalarida iste'mol qilinadigan yagona universal mahsulot ishlab chiqariladi.
SOLOU modelida iqtisodiyotning holati 5 ta o'zgamvchi orqali ifodalanadi, ya'ni: Y- yakuniy mahslot, L - mehnat resurslari hajmi, К - ishlab chiqarish fondlari, I - investitsiya, С - noishlab chiqarishdagi iste'mol hajmi. Barcha o'zgamvchilar o'zaro bog'liq bo'lib vaqt bo'yicha o'zgarib boradi, ya'ni ular t - vaqtning funktsiyalaridir.
Vaqt uzluksiz deb faraz qilinib, К va L - ko'rsatkichlar mos ravishda ishlab chiqarish fondi va mehnat resurslarining yillik o'rtacha qiymatlari deb qaraladi. Y,C,I kattaliklarning qiymatlarini ularning yil davomida jamlangan hajmlari deb olish mumkin. Resurslari esa (ishlab chiqarish va mehnat resurslari) to'liq ishlatiladi deb faraz qilinadi.
Yillik yakuniy mahsulot har bir vaqt birligida o'rtacha yillik fondlar va mehnatning funktsiyasidan iborat, ya'ni Y=F(K,L). Shunday qilib F(K,L) - butun iqtisodiyotning ishlab chiqarish funktsiyasini ifodalaydi.
Yakuniy mahslot noishlab chiqarishdagi iste'molga va investitsiyaga sarflansin, ya'ni Y=C+I. Yakuniy mahsulotning investitsiyaga sarflanadigan ulushi (p)ni jamg'arish me'yori deb ataladi, u holda I = pY, S =(1- p)Y. Jamg'arish me'yorini o'zgarmas deb qabul qilamiz: p =const, 0 < p < 1

.

Investitsiya ishga yaroqsiz holga kelgan fondlarni tiklash va ularni ko'paytirish maqsadida ishlatilsin deb olaylik. Agar fondlarni yaroqsiz holatga kelishi o'zgarmas koeffitsient ju (о
К = K(t + At) - K{t) = pYAt - juKAt
bo'ladi, shuning uchun
dKI dt = pY- /Ж.
Agar mehnat resurslarining o'sishi mavjud mehnat resrslariga proportsional deb hisoblasak, ya'ni AL = vL-At bo'lsa, u holda dL/dt = vL differentsial tenglama hosil bo'ladi va uni yechish natijasida L = L_(]e ⁴ ifodani olamiz, bu yerda
L₀ = L(0) t=o bo'lganda kuzatuv boshidagi mehnat resurslari.
Shunday qilib SOLOU modeli quyidagi tenglamalar sistemasi orqali yoziladi:
Y = F(K, L); I (9.4.10)
L = V^w
dK / dt = pY — pK, K( 0) = K₀. F(K,L) funktsiyasi ishlab chiqarish funktsiyasiga qo'yilgan talablarni qanoatlantiradi va chiziqli-bir jinsli deb hisoblanadi, ya'ni
F(AK,AL) = AF(K,L). Funktsiyani bir jinsligidan foydalanib va o'rtacha mehnat unumdorligini y = Y/Lwsi o'rtacha fondlar bilan qurollanganligini k = К/L bilan belgilasak y = Y/L = F(K,L)/L = F(K/L, 1) = F(k, 1) ni hosil qilamiz. Oxirgi funktsiyani f(k) deb hisoblasak у = f{k ) ni olamiz. Endi к dan t bo'yicha hosilani topamiz:
dk/dt = d(K/L)/dt = (K'L-KL')/L²=K'/L-K(L'/L²) = = (pY-juK)/L-Kv/L = py-(ju + v)k.
Demak

:

dk/ dt = /of (k) -(ju + v)k, k(0) = k₀= KJ L₀. (9.4.11

(9.4.10) modelni makroko'rsatkichlari to'lig'icha (9.4.11) tenglama va L = L₀e
(9.4.11)
0 •
mehnat resurslari dinamikasi yordamida aniqlanadi.
(9.4.11) - tenglama boshlang'ich shartga ega bo'lgan, o'zgaruvchilari ajraladigan tenglama, shuning uchun u yagona yechimga ega.
9.4.6. Bozor munosabatlarini modellashtirishning ikki sektorli modeli
Faraz qilaylik, iqtisodiyotda ikki tarmoq o'z mahsulotlarini ichki va tashqi bozor uchun ishlab chiqarish jarayonida o'zaro tovar ayriboshlash orqali munosabatda bo'lsin. Ya'ni har bir tarmoq o'z mahsulotini ishlab chiqarish uchun ikkinchi tarmoqning mahsulotidan foydalanadi. Masalan, mashinasozlik va energetika sanoatlari va boshqalar. Iqtisodiyotda yuz beradigan bunday holatlarda har bir tarmoq qancha hajmda mahsulot ishlab chiqarsa ham ichki, ham tashqi bozor talabini qondira oladi, degan masala dolzarb masala sifatida qaraladi.

(9.4.12)

Iqtisodiyotda bunday masalalarni hal etish uchun quyidagi tenglamalar sistemasidan iborat modellar qo'llaniladi:
^Xl=^ai2^X2^+bl

bu yerda x₁₇x₂ - mahsulotlarni ishlab chiqarish rejasi, а₁₂,а₂₁,Ь_г,Ь₂ -manfiy bo'lmagan parametrlar. а₁₂- 1 ming so'mlik ikkinchi mahsulotni ishlab chiqarish uchun birinchi mahsulotning sarfi, a_2l- 1 ming so'mlik birinchi mahsulotni ishlab chiqarish uchun ikkinchi mahsulotning sarfi, b_x, b₂ -birinchi va ikkinchi mahsulotlarning tashqi bozorga chiqariladigan qismi.

v-t

(9.4.12) tenglamalar sistemasi ikki tarmoqli ishlab chiqarish modeli deb ataladi va u quyidagi yechimga ega

:

(9.4.13)
Ushbu yechim modelning parametrlari я • a^ ф 1, a^ < 1, a^ < 1 shartlarni

qanoatlantirgan hollarda yagona bo'ladi.
Masala. O'zaro hamkorlikda faoliyat ko'rsatuvchi ikki tarmoqda mahsulot ishlab chiqarish va ularning mahsulotlarini ichki iste'mol va tashqi bozorga taqsimlanishi masalasini ко'rib chiqaylik. Birinchi tarmoqda 1 ming so'mlik mahsulot ishlab chiqrish uchun ikkinchi tarmoqning 0,3 ming so'mlik mahsuloti sarflansin, ikkinchi tarmoqda 1 ming so'mlik mahsulot ishlab chiqarish uchun esa birinchi tarmoqning 0,5 ming so'mlik mahsuloti sarflansin. Shu bilan birga birinchi tarmoq 3 mlrd. so'mlik mahsulot, ikkinchi tarmoq esa 5 mlrd. so'mlik mahsulotni tashqi bozor uchun ishlab chiqarish rejalashtirilgan bo'lsin. Bunday rejani bajarish uchun har bir tarmoq qanchadan mahsulot ishlab chiqarishi kerak?



Masalaning yechimi.
Masalaning shartiga ko'ra Ь_Х=Ъ mlrd. so'm, b₂=5 mlrd. so'm va a_l2 = 0,5; a_2l = 0,3; a_l2 ■ a_2l = 0,5 • 0,3 ф 1. Berilgan ma'lumotlarni (9.4.12) sistemaga qo'yib, quyidagi ko'rinishdagi ikki tarmoqli ishlab chiqarish modeliga ega bo'lamiz:

\x_x= 0,5x₂ +3000000 [x₂ = 0,3*, + 5000000 Ushbu model parametrlari yechimning yagonalik shartlarini qanoatlantiradi. Yagona yechim quyidagidan iborat bo'ladi:

3000000 + 0,5-5000000 1-0,5-0,3

6,471 mlrd. so'm,
6,941 mlrd. so'm.

5000000 + 0,3-3000000 1-0,5-0,

3

Demak birinchi tarmoq korxonasi 6,471 mlrd. so'mlik mahsulot ishlab chiqarib, 3 mlrd. so'mlik mahsulotni tashqi bozorga chiqaradi, 3,471 mlrd. so'mlik mahsulotni ichki iste'molga sarflaydi. Ikkinchi tarmoq korxonasi 6,941 mlrd.

so'mlik mahsulot ishlab chiqarib, 5 mlrd. so'mlik mahsulotni tashqi bozorga chiqaradi, 1,941 mlrd. so'mlik mahsulotni ichki iste'mol uchun sarflaydi.