Ekonometrika asoslari o'quv qo'llanma

1-Misol sifatida quyidagi jadvalda berilgan bug'oy hosildorligi va yerga berilgan o'g'it miqdori haqida ma'lumotlar asosida baholanishni ko'rib chiqamiz:
4.1-jadval

kig'doy hosildorligi va beriladigan o'g'it miqdori

10


10


11


11


12

Berilgan mineral o'g'it miqdori, ts/ga, x

10


12


13


13


13


13


12


12


11


10


10

Hosildorlik, ts/ga, у

Jadval maTumotlaridan ko'rinib turibdiki berilgan o'g'itning miqdori 5 ts/ga bo'lganda hosildorlik eng yuqori bo'lar ekan. Shuning uchun beshta kuzatuv natijalarining tahlili yetarli. Regressiya tenglamasini tuzish uchun normal

tenglamalar sistemasini yyechib parametrlarni aniqlaymiz. Buning uchun quyidagi ishchi jadvalni tuzamiz:
4.2-jadval

Bug'oy hosildorligi bilan o'g'it miqdori orasidagi bog'lanishni hisoblash ishchi jadvali Berilgan mineral	Hosildor-
o'g'it miqdori,	lik, ts/ga, у	x^2	x^3	x^4	yx	У-Х^2	к
ts/ga, x
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6	1	1	1	6	6	6,2
2	9	4	8	16	18	36	8,5
3	10	9	27	81	30	90	10,4
4	12	16	64	256	48	192	11,9
5	13	25	125	625	65	325	13,0
	50	55	225	979	167	649	50

4.2-jadval ma'lumotlar bo'yicha tuzilgan normal tenglamalar sistemasi quyidagicha:
' 5-a + 15-6 + 55-c = 50, < 15-a + 55•£ + 225•с = 167, 55•a + 225•b + 979•с = 649.

Ushbu sistemani yechib ikkinchi tartibli parabolaning parametrlarini qiymatlarini topamiz va quyidagi regressiya tenglamasini hosil qilamiz:

y_x = 3,4 +2,986-x-0,214-x².
.X ning qiymatlarini ketma-ket tenglamaga qo'yib, inning nazariy qiymatlarini
topamiz (4.2-jalvalning 8-ustuni). Jadvaldan 2-tartibli parabola o'rganilayotgan bog'lanishni yaxshi tasvirlashi ko'rinib turibdi. Hisoblangan qiymatlarni nazariy qiymatlardan og'ishi kvadratlari yig'indisi 0,46gateng(^(>■->',.)² = 0,46).
Chiziqsiz funktsiyalar sinfida parametrlarning qiymati hech qanday qiyinchiliksiz EKKU bilan aniqlanadigan funktsiya sifatida, ekonometrikada
ma'lum bo'lgan, teng tomonli giperbola y_x =a + - + sm ko'rish mumkin. Bunga
x
klassik misol sifatida ishsizlik me'yori(jc) va ish haqi(y)ning o'sish foizi orasidagi munosabatini tavsiflovchi Fillips egri chizig'i keltiriladi:
b
y = a-\ ьs .
x
Ingliz iqtisodchisi A.V.Fillips 100 yildan ko'proq davrdagi ma'lumotlarni tahlil qilib XX asrning 50-yillari oxirida ish haqini о'sib borishi darajasi, ishsizlik darajasiga nisbatan teskari bogTanganligani aniqlagan.
y _{= a} + - + s ko'rinishidagi teng tomonli giperbolada — ni z bilan almashtirib
x x
y = a + b-z + s chiziqli regressiya tenglamasini olamiz. Uning parametrlarini EKKU bilan aniqlash mumkin.
Ushbu funktsiya uchun normal tenglamalar sistemasi quydagidan iborat:
Ey = n-a + b
b> 0 bo'lganda teskari bog'lanish bo'lib, x—>oo bo'lganda У & parametr bilan baholanadigan o'zinig eng kichik qiymatiga erishadi.
y_x = 0,00679 + 0,1842-
x
funktsiyasi bilan ifodalanuvchi Fillips egri chizig'ida a parametrning qiymati 0,00679ga teng, bu ishsizlik darajasining o'sishi bilan ish haqining qo'shimcha o'sish sur'ati nolga intilishini ko'rsatadi.
b<0 bo'lib x cheksizga intilganda (x-> со) yuqori asimptotaga ega bo'lgan sekin o'suvchi, ya'ni y_x=a + - tenglamada a parametr baho beradigan у ning
X
maksimum qiymatini beruvchi funktsiyaga ega bo'lamiz.
Misol sifatida umumiy xarajatlar (yoki daromadlar) bilan uzoq muddatli tovarlarga xarajatlar ulushi orasidagi bog'lanishni ko'rish mumkin. Bunday bog'lanishning matematik yozuvi Engel egri chizig'i deb nom olgan. 1857 yilda nemis statistik olimi E. Engel oila xarajatlarini o'rganish asosida daromadni ortishi bilan daromadning oziq-ovqatlarga sarf qilinadigan ulushi kamayib borish qonuniyatini aniqlagan. Mos ravishda daromadning ortib borishi bilan daromadning nooziq-ovqat mahsulotlariga sarf qilinadigan ulushi ortib boradi. Lekin bu o'sish chegarasiz bo'lmaydi, ya'ni birdan katta yoki 100%dan ko'

p

bo'lmaydi. Ayrim tovarlar uchun bu chegara y_x=a-~ tenglamning a parametri

x
bilan tavsiflanadi. Ushbu tenglamada:
v -nooziq-ovqat tovarlariga xarajatlar ulushi; x -daromad.

Teng tomonli giperbolada a va b parametrlar quyidagicha hisoblanadi:

b =


a =


. 2 '


1

X X X

n
Engel egri chizig'ining modelini yozish uchun V = a+ b-\nx + s ko'rinishdagi yarim logarifmik funktsiyalar ham qo'llaniladi (1943 y. Uorking va 1964 y. Lizer).
Inx ni z bilan almashtirsak yana у = a + b- z + s ko'rinishidagi chiziqli tenglamani olamiz. Ushbu funktsiya avvalgi funktsiya kabi parametrlar bo'yicha chiziqli, asosiy x o'zgaruvchi bo'yicha esa chiziqli emas. a va b parametrlarni EKKU yordamida aniqlash mumkin. Bunda normal tenglamalar sistemasi quyidagicha bo'ladi:
\Y_:y-lnx = a-Ylnx + b-Yyinx)².
Yarim logarifmik funktsiyani oilaning daromadidagi umumiy xarajatlar bilan uzoq muddatli foydalaniladigan tovarlarga xarajatlar ulushi orasidagi bog'lanishni quyidagi jadval ma'lumotlari asosida ifodalashga qo'llab ko'ramiz.
4.3jadval

Uzoq muddatli foydalaniladigan tovarlarga xarajatlar ulushining oilaning Oilaning o'rtacha oylik daromadi, mln. so'm, x	1	2	3	4	5	6	7
Umumiy xarajatlarda uzoq muddatli foydalaniladigan tovarlarga xarajatlar ulushi	10,0	13,4	15,4	16,5	18,6	19,1	20,0

Jadval ma'lumotlariga asosida quyidagi normal tenglamalar sistemasiga ega bo'lamiz

:


7-а + З,702-6 = 113,
3,702 -а + 11,9- 6 = 66,073
Ushbu normal tenglamalar sistemasini yechib >\. = 9,85 + 11,9-In x regressiya tenglamasini olamiz. Qurilgan regressiya tenglamasi oila daromadi va uzoq muddatli foydalaniladigan tovarlarga xarajatlar ulushi orasidagi munosabatning asl holatini to'liq akslantiradi.
4.2. Chiziqsiz regressiya uchun korrelyatsiya Chiziqsiz regressiya tenglamasi chiziqli bog'lanish kabi korrelyatsiya ko'rsatkichlari, aynan quyidagi korrelyatsiya indeksi(i?) bilan to'ldiriladi.
If
vl J
bu yerda: а² -У natijaviy belgining umumiy dispertsiyasi; ²_qol - y_x = fix)
regressiya tenglamasidan kelib chiqib aniqlaniladigan qoldiq dispersiya. Korrelyatsiya indeksini quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin:
л* ii_i> i
Ushbu ko'rsatkichning qiymati [o,l] oralig'ida yotadi, ya'ni 0< R< \, ko'rsatkich qanchalik 1 ga yaqin bo'lsa o'rganilayotgan belgilar orasidagi bog'lanish shunchalik kuchli bo'ladi va tuzilgan regressiya tenglamasi shunchalik haqiqatga yaqin bo'ladi.
4.2-jadval ma'lumotlari asosida tuzilgan y_x =3,4 + 2,986-x-o, 214-х², regressiya tenglamasi uchun korrelyatsiya indeksi quyidagiga teng:
H = Jl-W= 0,9506- V 18
Bu natija o'rganilayotgan belgilar orasidagi bog'lanish yetarlicha kuchliligini ko'rsatadi.
2-misol. Kichik korxonalarning yillik tovar aylanmasi va muomala xarajatlarining nisbiy darajasi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar keltirilgan:

Yillik tovar aylanmasi, mlrd. so'm	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
Muomala xarajatlarining nisbiy darajasi, %	25,0	23,0	22,0	22,5	22,2	22,0	21,4

Jadval ma'lumotlariga asosan tovar aylanmasi va muomala xarajatlari orsida teskari bog'lanish mavjud bo'lganligi sababli bog'lanish giperbola tenglamasi orqali aniqlanadi va unga mos normal tenglamalar sistemasining a va b koeffitsientlarining qiymatlarini topish hamda hosil bo'lgan regressiya tenglamasida hisoblashlarni amalga oshirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

Regressiya tenglamasida hisoblashlarni amalga oshirish t/r	Yillik tovar aylanmasi, mln.so'm, (x)	Muomala xara- jatining nisbiy darajasi, %, (y)	1 X	У X	1	Ух ^= 17,4 + 38,2 — .X
1	5.0	25.0	0.200	5.000	0.0400	yx =25,10
2	6.0	23.0	0.167	3.841	0.0278	Л =23,81
3	7.0	22.0	0.143	3.146	0.0204	Ух = 23,60
4	8.0	22.5	0.125	2.813	0.0156	ух = 22,20
5	9.0	22.2	0.111	2.464	0.0123	Xv =21,60
6	10.0	22.0	0.100	2.200	0.0100	Ух =21,30
7	11.0	21,4	0,091	1,955	0,0080	Xv =21,00
I	-	158,1	0,937	21,419	0,1321	158,1

Jadval ma'lumotlari asosida normal tenglamalar sistemasini tuzamiz:

J la + 0,93 7Z? = 158,1
[0,937a + 0,132b = 21,41
Tenglamalarni yechib a 17,4 va b 38,2 natijalarni olamiz. U holda, regressiya
tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
y_x= 17,4 + 38,2-.
X
Hosil bo'lgan regressiya tenglamasi uchun korrelyatsiya indeksi quyidagiga
teng:
Bu natija o'rganilayotgan belgilar orasidagi bog'lanish kuchi yuqori ekanligini ko'rsatadi

.

Giperbola tenglamasidagi a- parametr tovar aylanmasining 1 mln. so'mga o'zgarishi muomala xarajatlarini qancha o'zgarishga olib kelishini ko'rsatadi. Buning uchun regressiya tenglamasidan birinchi tartibli hosila olinadi:

r 1 л
Л =
v ^x J

EKONOMETRIKA ASOSLARI 3
O'quv qo'llanma 3
⁼И^хг у,- 28
у = a + Ъ_х -x_x +b₂ -x₂ + ... + b -x +s, 95
u(Xj) = y/>0, i=l,2,.... n 176
(-] UJ 200

3-misol. Do'konlarning yillik tovar aylanmasi va tovar zahiralari to'g'risida quyidagi ma'lumotlar berilgan:

Do'konlar	Tovar aylanmasi, mln. so'm	Tovar zahirasi, mln.so'm
1	36	2,5
2	50	3,9
3	58	4,1
4	69	4,4
5	74	5,0
6	85	5,8
7	94	6,9
8	99	7,1
9	103	9,2
10	108	8,8
Jami	776	57,7

Jadval ma'lumotlariga asosan do'konlarning tovar aylanmasi va tovar zahiralari o'rtasidagi bog'lanishni ikkinchi darajali parabola tenglamasida tasvirlang. Yechish:

Л
a + b —

Ikkinchi darajali parabola tenglamasi

:


Ух ^{= а}0 + ^а\' ^Х + ^а2 ' X² Bu tenglamaning parametrlari (а_(},а_{,а₂) quyidagi normal tenglamalar sistemasini yechish bilan aniqlanadi: