Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

2. Kórinistegi anıqemeslik. Eger xa da f(x), g(x) bolsa, qatnas korinisdegı anıq emeslik ańlatadı. Endi bunday anıqemeslikti ashıwda hám f(x) hám g(x) funksiyalarınıń tuwındılarinan paydalanıw múmkinligini kórsetetuǵın teoremani keltiremiz.
3-teorema. Eger
1) f(x) hám g(x) funksiyalar (a;) oqta differensiallanıwshı, hámda g‘(x)0,
2)
3) bar bolsa,
Ol jaǵdayda bar hám = boladı.
Isbat. Teorema shártige kore bar. Aytayliq = bolsın. U jaǵdayda >0 sandı alsaq hám sanday N>0 san tawılip , xN bolǵanda
(2.3)
teńsizliklar orınlanadı . Ulıwmalıqtı sheklemegen jaǵdayda N>a deb alıwımız mumkin. U jaǵdayda xN teńsizlikdan x(a;) kelip shıǵadı.
Aytaylik x>N bolsın. U jaǵdayda [N;x] kesindida f(x) hám g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidaǵıga iye bo‘lamiz:
, bu erda N.
Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) teńsizliklar o‘rinli:
,
bundan esa

teńsizliklarga iye bo‘lamiz.

Mısal.
Bul limitti esaplań.
Sheshiliwi. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar ushın 3-teorema shártlerin tekseremiz : 1) bul funksiyalar (0,+) da differensiallanıwshı; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) =0, yaǵnıy bar. Demek, izlep atırǵan limit hám bar hám =0 teńlik orınlı.


Mısal. Bul limitti esaplań.
Sheshiliwi. Ayqın , x0 da ańlatpa 1^ kórinistegi anıqemeslikti boladı. Onı logarifmlep, anıqemeslikti ochishga keltiramiz:

Demek, .

3. Teylor formulasi

Teylor formulasi matematik analizdıń eń kerek formulalaridan biri bolıp, kóplep tiorialıq anıqlamalarǵa iye. Ol ámeliy bolsapnıń negizin quraydı.

1. Teylor kóp aǵzalıları. Peano kórinisteǵı qaldıq hadli Teylor formulası. Ekenin aytıw kerek, funksiyanıń mánislerin bolsaplash mánisinde kóp aǵzalılar eń ápiwayı funksiyalar bolsaplanadi. Usınıń sebepinen funksiyanıń x₀ noqatdaǵı mánisini bolsaplash ushın onı sol noqat átirapında kóp aǵzalılar menen almastırıw mashqalası payda baladı.
Noqatda differensiallanıwshı funksiya tariypiga kóre Eger y=f (x) funksiya x₀ noqatda differensiallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda unıń sol noqatdaǵı arttırıwın
f(x₀)=f’(x₀)x+o(x), yaǵnıy
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)
Kóriniste jazıw múmkin.
Basqasha aytqanda x₀ noqatda differensiallanıwshı y=f (x) funksiya ushın birinshi dárejeli
P₁(x)=f(x₀)+b₁(x-x₀) (3.1)
Toplam bar bolıp, xx₀ da f(x)=P₁(x)+o(x-x₀) boladı. Sonıń menen, bul toplamP₁(x₀)=f(x₀), P₁’(x₀)=b=f’(x₀) shártlerdi ham qanaatlantıradı.
Endi ulıwmalaw Mısalıi qaraylıq. Eger x=x₀ noqatnıń qandayda bir átirapında anıqlańan y=f(x) funksiya usı noqatda f’(x), f’’(x), ..., f⁽ⁿ⁾(x) tuwındılarga iye bolsa, ol jaǵdayda
f(x)=P_n(x)+o(x-x₀) (3.2)
shártti qanaatlantiratuǵın dárejesi n dan úlken bolmagan P_n(x) kóplik barma ?
Bunday kóplikti