Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

2 Anıqemesliklerdi ashıw. Lopital qaǵıydaları
Tiyisli funksiyalarnıń tuwındılari ámeldegi bolǵanda , , 0, -, 1^, 0⁰, ⁰ Kórinisteǵı anıqmasliklerdi ashıw máselesi eńillashadi. Ádetde tuwındılardan paydalanıp, anıqmasliklerdi ashıw Lopital qaǵıydaları dep ataladı. Biz tómende Lopital qaǵıydalarinıń bayanı menen islesemiz.
1. kórinisdegi anıqemeslik. Belgili , x0 da f(x)0 hám g(x)0 bolsa, qatnas Kórinisteǵı anıqemeslikti ańlatadı. Kóbinese xa da Koefficientnıń limitini tabıwǵa qaraǵanda Koefficientnıń limitini tabıw ańsat boladı. Bul koefficientler limitlarinıń teń bolıw shárti tómendeǵı teoremada ańlatpalańan.
1-teorema. Eger
1) f(x) hám g(x) funksiyalar (a-;a)(a;a+), bul jerde >0, Jıynaqta úzliksiz, differensiallanıwshı hám sol jıynaqtan olińan qálegen x ushın g(x)0, g‘(x)0;
2) ;
3) Tuwındılar qatnasınıń limiti (chekli yamasa sheksiz)
=A
Ámeldegi bolsa, ol halda funksiyalar qatnasınıń limiti bar hám
= (2.1)
teńlik orinli boladı.
Isbat. Hár eki funksiyani x=a noqatda f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasaq, nátiyjede ekinshi shártke kóre f(x)=0=f(a), g(x)=0=g(a) Teńliklar orınlı bolıp, f (x) hám g (x) funksiyalar x=a noqatda úzliksiz boladı.
Aldı menen x>a jaǵdaydı qaraymiz. Berilgen f(x) hám g(x) funksiyalar [a;x], bul jerde x kesindide Koshi teoremasinıń shártlerin qanaatlantıradı. Sanıń ushın a menen x arasında sanday c noqat tawıladı, bul teńlik orinli boladi. f(a)=g(a)=0 ekenligi itibarǵa alsaq, sońǵı teńlikden
(2.2)
Bolıwı kelip shiǵadi. Ayqın , a bolǵanlıǵı sebebli, xa bolǵanda ca boladı. Teoremanıń 3-shárti hám (2.2) teńlikden = =A kelip shıǵadı.
Usıǵan uqsas , x jaǵdaydı hám qaraladi. Teorema Isbat boldı.
Mısal. Bul limitni esaplań.
Sheshiliwi. Bu jaǵdayda bolıp, ular ushın 1- teoremanıń bárshe shártlari orınlanadı.
Haqıyqattan hám,
1) , ;
2) ;
3) boladı.
Demek, 1-teoremaǵa góre .
1-esletpe. Sanı atap ótiw kerek, berilgen funksiyalar qatnasınıń limiti 3) shárt atqarılmasa da ámeldegi bolıwı múmkin, yaǵnıy 3) shárt yyetarli bolıp, zárúrli emes.
Mısalı, funksiyalar (0;1] da 1), 2) shártlerdi qanaatlantiradi hám , lekin
bar emes, sebebi n da

n da bolsa
.
2-teorema. Eger [c;+) oqta aniqlańan f(x) hám g(x) funksiyalar berilgen bolıp,
1) (c;+) da shekli f’(x) hám g‘(x) tuwındılar bar hám g‘(x)0,
2) ;
3) tuwındılar qatnasınıń limiti ( shekli yáki sheksiz) bar bolsa, ol jaǵdayda funksiyalar qatnasinıń limiti bar hám
= (2.3)
teńlik orinli boladı.