Ayirish va bo‘lishning ta’rifi. Nolga bo‘lishning mumkin emasligi

Nolinchi hikoya
Nol barcha standart hisoblash tizimlarida mos yozuvlar nuqtasidir. Evropaliklar bu raqamni nisbatan yaqinda ishlatishni boshladilar, ammo qadimgi Hindistonning donolari evropalik matematiklar tomonidan bo'sh raqamdan ming yil oldin muntazam ravishda noldan foydalanishgan. Maydondagi raqamlar tizimida hindlardan oldin ham nol zarur miqdor bo'lgan. Ushbu Amerika xalqi o'n ikki barmoqli hisoblash tizimidan foydalangan va ularda nol har oyning birinchi kunidan boshlangan. Qizig'i shundaki, Mayyada "nol" degan belgi "cheksizlik" degan belgiga to'liq mos keldi. Shunday qilib, qadimgi mayyaliklar ushbu miqdorlarning kimligi va noma'lumligi haqida xulosa qilishdi.
Nolga bo'lish mumkin emasligini ko'pchilik maktabdan biladi. Ammo ba'zi sabablarga ko'ra bunday taqiqning sababini tushuntirish mumkin emas. Aslida, nega nolga bo'lish formulasi mavjud emas, ammo bu raqam bilan boshqa harakatlar juda o'rinli va mumkinmi? Bu savolga javob matematiklar tomonidan berilgan.
Gap shundaki, o'quvchilar boshlang'ich maktabda o'rganadigan odatiy arifmetik operatsiyalar, aslida biz o'ylaganimizdek tenglashmaydi. Raqamlar bilan barcha sodda operatsiyalarni ikkiga qisqartirish mumkin: qo'shish va ayirish. Ushbu harakatlar son tushunchasining mohiyatidir, boshqa operatsiyalar esa ushbu ikkitadan foydalanishga asoslangan.
Qo'shish va ayirish
Standart ayirish misolini oling: 10-2 \u003d 8. Maktabda bu juda oddiy deb hisoblanadi: agar ikkita narsa o'ntadan olinsa, sakkiztasi qoladi. Ammo matematiklar bu operatsiyaga butunlay boshqacha qarashadi. Axir, ularni olib tashlash kabi operatsiya ular uchun mavjud emas. Ushbu misol boshqa yo'l bilan yozilishi mumkin: x + 2 \u003d 10. Matematiklar uchun noma'lum farq - bu sakkizni tashkil qilish uchun ikkiga qo'shilishi kerak bo'lgan raqam. Va bu erda ajratish talab qilinmaydi, siz mos keladigan raqamli qiymatni topishingiz kerak.
Bu erda nega nolga bo'lish mumkin emasligi biroz ravshan bo'ladi. Nolga ko'paytirish va bo'linish o'z qoidalariga bo'ysunadi. Ushbu miqdorni bo'lishning barcha misollarini 6: 0 \u003d x shaklida shakllantirish mumkin. Ammo bu 6 * x \u003d 0 ifodasining teskari yozilgan yozuvi. Ma'lumki, 0 ga ko'paytirilgan har qanday raqam mahsulotda atigi 0 ni beradi.Bu xususiyat nol miqdor tushunchasiga kiritilgan.
Aniqlanishicha, 0 ga ko'paytirilganda har qanday aniq qiymat beradigan bunday son mavjud emas, ya'ni bu muammoning echimi yo'q. Bunday javobdan qo'rqmaslik kerak, bu ushbu turdagi vazifalar uchun tabiiy javobdir. Shunchaki 6-0 yozuvining ma'nosi yo'q va u hech narsani tushuntira olmaydi. Qisqasi, bu ifodani o'lmas "nolga bo'lish mumkin emas" bilan izohlash mumkin.
0: 0 operatsiyasi mavjudmi? Darhaqiqat, agar 0 ga ko'paytirish jarayoni qonuniy bo'lsa, nolni nolga bo'lish mumkinmi? Axir, 0x5 \u003d 0 shaklidagi tenglama mutlaqo qonuniydir. 5 raqami o'rniga 0 raqamini qo'yishingiz mumkin, buning mahsuloti o'zgarmaydi.
Nolga bo'lish maktab matematikasi uchun bosh og'rig'i. Texnik universitetlarda o'rganiladigan matematik tahlil echimsiz vazifalar tushunchasini kengaytiradi. Masalan, allaqachon ma'lum bo'lgan 0: 0 ifodasiga maktab matematik kurslarida echim topilmaydigan yangilari qo'shildi:
 cheksizlik cheksizlikka bo'linadi: ∞: ∞;
 cheksiz minus cheksizlik: ∞ - ∞;
 cheksiz quvvat darajasiga ko'tarilgan birlik: 1 ∞;
 cheksizlik 0 ga ko'paytiriladi: ∞ * 0;
 ba'zi boshqalar.
Bunday iboralarni elementar usullar bilan hal qilib bo'lmaydi. Ammo yuqori matematika shunga o'xshash bir qator misollar uchun qo'shimcha imkoniyatlar tufayli yakuniy echimlarni beradi. Bu, ayniqsa, chegaralar nazariyasidan muammolarni ko'rib chiqishda yaqqol namoyon bo'ladi.
sboti. ava b natural sonlarning bo’linmasi mavjud bo’lsin, ya’ni a = bc shartni qanoatlantiruvchi c natural soni topilsin.

Istalgan c natural son uchun 1 ≤c da’vo o’rinli. Ko’paytmaning monotonligiga ko’ra b • 1 ≤b -c, bc = a∧b 1 = b ekani hisobga olinsa, b≤a ekani kelib chiqadi.

Lekin b≤a shartning bajarilishi a : b bo’linma mavjud bo’lishi uchun yetarli emas.

Masalan, 3 ≤ 19, lekin 19 soni 3 ga bo’linmaydi. Bunday hollarda qoldiqli bo’lish haqida gapiriladi. Agar b≤ a va a soni b ga bo’linmasi, shunday q, r natural sonlar topiladiki, r<="" span=""><="" span="" >bo’lib, a = bq + r va tenglik bajariladi. (a; b) juftlik uchun yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi (q; r) sonlarning topilishi a ni b ga qoldiqli bo’lish deyiladi. Bu yerda q — to’liqsiz bo’linmava r — qoldiq deyiladi, a: b = q (r qoldiq) shaklida yoziladi.

0 ni va 0 ga bo’lish masalasiga alohida to’xtab o’tamiz. a = 0 va b≠0 holida 0:6 = 0 tenglik bajariladi, chunki 0 = b·0. Demak, 0 ning 0 dan farqli istalgan songa bo’linmasi 0 ga teng. Lekin 0 ga bo’lish amali aniqlanmagan. Faraz qilaylik, noldan farqli a sonning 0 ga bo’linmasi mavjud vauc songa teng bo’lsin, ya’ni a≠0∧a : c. Bundan a = 0 · c = 0 qarama-qarshilik kelib chiqadi. 0 : 0 = c bo’lsin, bu holda 0 = 0 c tenglik istalgan c son uchun o’rinli bo’ladi, bu esa amal natijasi yagona bo’lish shartiga zid.