Программа для определения внешнего вида интерполяционного полинома

n
m
=
koeffisentlarni shunday aniqlash kerakki, 

---

33 
n
n
1
0
x
c
..
x
c
c
P(x)
+

+
+
=
(1) 
ko‘phad uchun ushbu 
n
,
0,1,
k
),
f(x
)
P(x
k
k

=
=
tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib yozsak 
)
,
0
(
c
m
n
m
=
larga nisbatan 
1)
(n
+
noma’lumli 
1)
(n
+
ta tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. 







=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
)
(
....
.....
..........
..........
..........
..........
..........
)
(
....
)
(
....
2
2
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
0
2
0
2
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
c
x
c
x
с
с
x
f
x
c
x
c
x
с
с
x
f
x
c
x
c
x
с
с
 
(2) 
bu sistemaning determenanti Vandermond determenantidir:
).
.x
,
.x
W(x
n
1
0

Masala mazmunidan 
ravshanki, 
k
x
nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham (2) 
sistema va shu bilan birga qo‘yilgan interpolyatsiya masalasi yagona yechimga ega. Bu sistemani yechib, 
m
c
larni topib (1) ga qo‘ysa, 
)
(
x
P
ko‘phad aniqlanadi. Biz 
P(x)
ning oshkor ko‘rinishini topish uchun boshqacha 
yo‘l tutamiz, fundamental ko‘phadlar deb atluvchi 
(x)
Q
nj
larni, ya’ni 



=

=
=
,
lg
'
,
1
,
lg
'
,
0
)
(
anda
bo
j
i
anda
bo
j
i
x
Q
j
i
i
nj

shartlarni qanoatlantiradigan n-darajali ko‘phadlarni ko‘ramiz. U holda 
(3) 
izlanayotgan interpolyatsion ko‘phad bo‘ladi. Haqiqatdan ham barcha 
n 
..,
0,1,2,
i

=
lar uchun 


=
=
=
=
=
n
j
n
j
j
j
i
j
i
nj
j
i
n
x
f
x
f
x
Q
x
f
x
L
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

va ikkinchi tomondan 
(x)
L
n
-
n
darajali ko‘phaddir. 
Endi
(x)
Q
nj
ning oshkor ko‘rinishini topamiz, 
i
j

bo‘lganda 
0
)
(x
Q
i
nj
=
shuning uchun ham 
(x)
Q
nj
ko‘phad 
i
j

bo‘lganda 
x
-
x
i
ga bo‘linadi. Shunday qilib, 
-
n
darajali ko‘phadning n ta 
bo‘luvchilari bizga ma’lum, bundan esa 
kelib chiqadi. Noma’lum ko‘paytuvchi 
C
ni esa 
1
)
x
-
(x
С
)
(x
Q
j
i
i
j
nj
=
=


shartdan topamiz, natijada: 


−
=
j
i
j
i
nj
)
x
-
x
(
С
(x)
Q
i
x
x
bu ifodani (3 )ga qo‘yib kerakli ko‘phadni aniqlaymiz:


=

−
−
=
n
j
j
i
i
j
i
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
0
)
(
)
(
(4) 
bu ko‘phad Lagranj interpolyatsion ko‘phadi deyiladi. 
Bu formulaning xususiy hollarini ko‘raylik: 
1
n
=
bo‘lganda Lagranj ko‘phadi ikki nuqtadan o‘tuvchi 
to‘gʻri chiziq formulasini beradi: 
)
(
)
(
)
(
1
0
1
0
0
1
0
1
1
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L
=
−
−
+
−
−
=
Agar 
2
n
=
bo‘lsa, u vaqtda kvadratik interpolyatsion ko‘phadga ega bo‘lamiz. Bu ko‘phad uchta 
nuqtadan o‘tuvchi va vertikal o‘qqa ega bo‘lgan parabolani aniqlaydi 
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
Endi Lagranj interpolyatsion formulasining boshqa ko‘rinishini keltiramiz. Buning uchun

=
+
−
=
n
i
i
n
x
x
x
0
1
)
(
)
(


=
=
n
j
nj
j
n
x
Q
x
f
x
L
0
)
(
)
(
)
(


=
j
i
i
nj
)
x
-
(x
С
(x)
Q

---

34 
ko‘phadni kiritamiz. Bundan hosila olsak,
]
)
(
[
)
(
0
0
1
'


=
=
+
−
=
n
i
i
n
k
n
x
x
x

kvadrat qavs ichidagi ifoda 
x
x
j
=
va 
j
k

bo‘lganda nolga aylanadi, chunki
)
x
-
(x
j
j
ko‘paytuvchi qatnashadi. Demak, 


+
−
=
j
i
i
j
n
x
x
x
)
(
)
(
1
'

shuning uchun ham 


−
−
j
i
i
j
i
x
x
x
x
)
(
)
(
Lagranj koeffitsientini 
)
)(
(
)
(
'
1
1
j
j
n
n
x
x
x
x
−
+
+


ko‘rinishida yozish mumkin. Bundan esa Lagranj ko‘phadi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 

=
+
+
−
=
n
j
j
j
n
n
j
n
x
x
x
w
x
w
x
f
x
L
0
'
1
1
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
(5) 
endi tugunlar bir xil uzoqlikda joylashgan 
h
x
-
x
x
-
x
x
-
x
1
-
n
n
1
2
0
1
=
=

=
=
xususiy holni ko‘ramiz. 
Bu holda soddalik uchun 
ih 
x
x
0
+
=
almashtirish bajaramiz, u holda 
(x)
h
(x)
,
j)
-
h(t
=
x
-
x
1
n
1
n
1
n
j

+
+
+
=


bu yerda, 
n
j
-
n
j
'
1
n
1
n
h
j)!
-
(n
j!
(-1)
=
)
(x
n),
-
(t
…
1)
-
t(t
=
(t)
+

+


bo‘lib, (5) Lagranj interpolyatsion ko‘phadi quyidagi ko‘rinishni oladi: 
(6) 
Lagranj interpolyatsion ko‘phadining ko‘rinishini aniqlab beradigan algoritm va dasturini MathCAD 
dasturida ko‘rib chiqamiz. 
L2 t x
 
y
 
n
 
(
)
s
0

a
1

w
x
k

q
x
j

a
a
t
q
−
w
q
−


j
k

if
j
0
n


for
w
y
k

s
s
a w

+

k
0
n


for
s
=
x
1
2
3
4












=
y
2
−
1
3
5












=
f t
( )
L2 t x
 
y
 
3
 
(
)
expand
→
=
Xulosa.
Yuqoridagi misolda jadval ko‘rinishda berilgan funksiyani Lagranj interpolyatsion ko‘phadi 
yordamida ko‘rinishini aniqlovchi dastur keltirilgan. Bu dastur yordamida ixtiyoriy jadval ko‘rinishda berilgan 
funksiyani n darajali ko‘phad ko‘rinishda aniqlash mumkin. 
Adabiyotlar 
 
1.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.: “Наука”. 1989 г. 
2.
Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. -T.: “O‘qituvchi”, 2000. 
3.
Бахвалов Н.С. Численные методы. -М. “Наука”, 1987 г. 
4.
Abduxamidov A., Xudoynazarov S. Hisoblash metodlari. -T., “O‘zbekiston”, 1995. 

=
−
+
−
−
−
=
+
n
j
j
j
n
n
n
j
n
j
j
t
x
f
t
w
th
x
L
0
*
1
0
)!
(
!
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(