Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

MÜHAZİRƏ 5
XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİNİN TƏQRİBİ ÜSULLARLA HƏLLİ
PLAN:
1. Əsas anlayışlar
2. Ardıcıl yaxınlaşma
3. Zeydel və iterasiya üsulları
Ali cəbr kursundan xətti tənliklər sisteminin həll üsulları ilə tanışıq. Kramer-Qaus, Jordan çevirmələri və s.
1.Əsas anlayışlar-Ümumi şəkildə n məchullu n xətti tənliklər sistemi aşağıdakı şəkildə yazılır.
(1)
Bu xətti tənliklər sistemini daha yığcam şəkildə yazsaq:

Aşağıdakı işarələmələri aparsaq-xətti tənliklər sistemini matris şəklində yaza bilərik
, , .
A·X = B
Diaqonal əmsallar qəbul edib i-ci tənlikdən x_i dəyişənini tapaq.
(2)
Burada və .
Xətti tənliklər sistemini matris şəklində yazaq.
və
(2) sistemini ardıcıl yaxınlaşma üsulu ilə tapmaq olar.
Sərbəst hədləri sıfırıncı yaxınlaşma qəbul edək və birinci yaxınlaşmanı aşağıdakı kimi tapaq.
(I yaxınlaşma)
(II yaxınlaşma)
(III yaxınlaşma) (k=0,1,2,...)
vektorlar ardıcıllığının lim var və bu (2) sistemi ödəməlidir.

Məsələn:

Həlli:
(5)

(5) tənliyinə qoysaq qiymətləri



Yenidən alınan qiyməti qoysaq (5) ardıcıl
və s.
Zeydel üsulu:
Bu üsul iterasiya üsulunun müəyyən mənada təkmilləşmiş formasıdır. Zeydel üsulunda j-cu yaxınlaşmada dəyişəninin qiyməti elə bu yaxınlaşmada dəyişəninin qiyməti elə bu yaxınlaşmada tapılmış.
və j-1 yaxınlaşmanın qiymətlərinə əsasən tapılır.
(1)
tənlikiər sistemi verilmişdir. Başlanğıc sıfırıncı yaxınlaşmasını götürüb (1) tənliklər sisteminin birinci tənliyində (x₁, x₂, ..., x_n) dəyişənlərinin yerinə yazıb, x₁ dəyişəninin birinci yaxınlaşmada qiymətini tapaq. qiymətlərini ikinci tənlikdə (x₁, x₂, ..., x_n) dəyişənlərinin yerinə yazıb x₂ dəyişəninin birinci yaxınlaşmada qiymətini tapaq. Nəhayət qiymətlərini n-ci tənlikdə (x₁, x₂, ..., x_n) dəyişənlərinin yerinə yazıb x_n dəyişəninin birinci yaxınlaşmada qiymətini tapaq. Nəticədə birinci yaxınlaşmanın qiymətləri tapılır. Bu qayda ilə məlum k-cı yaxınlaşmasının qiymətlərinə görə (k+l)-ci yaxınlaşmanın qiymətləri aşağıdakı düsturlarla tapılır.


k=0,1,2,...,m
Zeydel üsulunda xətanın qitymətləndirilməsi və ε dəqiqlikdə təqribi həlli üçün iterasiyanın nömrəsi aşağıdakı düsturlarla tapılır.


Qeyd etdik ki, normal şəklə gətirilmiş xətti tənliklər sisteminin baxılan təqribi üsullarla həllində <1 şərti ödəndikdə iterasiya prosesi yığılır.
Misal:

Həlli:



və. s