Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

Toxunanlar (Nyuton) üsulıı.
Tutaq ki, (1) tənliyinin kökü [a,b] parçasında ayrılmışdır. Bu parçada f'(x) və f''(x) funksiyaları işarələrini sabit saxlamaqla kəsilməzdirlər. Toxunanlar üsulunun mahiyyəti (1) tənliyinin kökünün ayrıldığ [a,b] parçasında f(x) funksiyasının qrafıkinin ona parçanın uclarının birindən çəkilən toxunanla əvəz olunması, funksiya qrafıkinin ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsi əvəzinə toxunanın ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaqla, tənliyin x^* kökünə yaxınlaşmaların qurulmasından ibarətdir. Bu toxunan [a,b] parçasını iki hissəyə bölür. Tənliyin kökünün yerləşdiyi parça funksiyanın birinci və ikinci tərtib törəmələrinin işarəsin ilə müəyyən olunur. (1) tənliyinin köklərinin ayrılmasında dörd hala baxmışdıq:
I. f(a)<0; f(b)<0 II. f(a)>0; f(b)<0
f'(x)>0; f''(x)>0 f'(x)<0; f''(x)<0
I və II hallardan birinə baxmaq kifayətdir. Ona görə ki, 2-ci hadakı şərtləri 1-ci haldakı şərtləri 1-ə vurmaqla almaq olar.
1 . f'(x)>0*f''(x)>0 şərti ödənən hallardan 1-cisinə baxaq. A(a, f(a)) nöqtəsində çəkilən toxunan [a,b] parçasının daxili nöqtəsində ox oxunu kəsmir. B(b, f(b)) nöqtəsində y=f(x) funksiyanın qrafikinə çəkilən toxunan isə [a,b] parçasının daxili nöqtəsində ox oxunu kəsir. Deməli B(b, f(b)) nöqtəsində çəkilən toxunan [a,b] parçasını 2 hissəyə böləcəkdir. Bu nöqtədə toxunanın tənliyini yazaq və ox oxu kəsişməsini tapaq.
y= f'(b)∙(x-b)+f(b)
y=0 => x₁=b- (9)
Tənliyin kökü [a, x₁] parçasında yerləşəcək. B(b₁, f(x₁)) nöqtəsində toxunan çəkək və ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapaq:

Bu prosesi davam etdirsək:

yaxınlaşmalarını alarıq. Bu yaxınlaşmalar tənliyin kökünün yerləşdiyi parçanın bir ucunu müəyyən edir: [a, x_n]. Nəticədə {x_n} təqribi ardıcıllığını alarıq.
a^*_n<…₂₁.
Bu ardıcıllıq monoton azalan və aşağıdakı x^* kökü ilə məhdud olduğundan onun limiti var: