Ministério da educação secretaria de educação básica

r
0
(= D), r
1
, r
2
, ..., r
n
, ...
só há duas possibilidades: a) para algum índice 
k
, temos 
r
k
 = 0 ; b) 
r
n
 ≠ 0 , para todo número natural 
n
. No primeiro caso, a divisão é exata e a representação decimal é finita. No segundo caso, como 
uma consequência do Princípio da Casa dos Pombos, existem dois índices 
i
 e 
j
 tais que 
i
 
≤
 
j
 e vale a 

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igualdade 
r
i
 = 
r
j
. Resulta daí que os quocientes 
q
i 
, q
i+1 
, q
i+2 
, ..., q
j
 formam um bloco que se repetirá in-
definidamente, na sequência dos quocientes da divisão não-exata de
D
 por 
d
. Se os índices 
i
 e 
j
 forem 
os menores possíveis que satisfazem às condições acima estabelecidas, o bloco 
q
i 
, q
i+1 
, q
i+2 
, ..., q
j
 é 
denominado 
período
 da representação decimal. Como convém lembrar, não provamos que só há uma 
representação decimal para um número racional. Por exemplo, se aplicarmos a algoritmo usado na 
demonstração ao racional 10/2, obteremos: 10/2 = 5 (representação finita). Mas sabemos que também 
é válida a igualdade 10/2 = 4,999… = 4,9 (representação infinita e periódica), que não é possível obter 
pelo algoritmo da demonstração apresentada. Quando desejamos estabelecer uma correspondência 
biunívoca entre os números racionais e as representações decimais, uma das maneiras possíveis é 
excluir as representações decimais que são compostas de infinitos algarismos 9 a partir de algum 
dígito da representação.
Como todo número racional pode ser escrito como uma fração de inteiros 
D/d
, 
d
 ≠ 0 , uma consequência 
imediata da proposição demonstrada é: (a) se um número real 
ρ
 é racional, então 
ρ
 admite uma repre-
sentação decimal finita ou periódica infinita. Ela é logicamente equivalente a outra proposição: (b) se é 
atribuído significado matemático a uma representação decimal infinita e não periódica, então ela não 
é a representação de um número racional.
Recorrer a uma dessas proposições equivalentes tem sido um caminho adotado para introduzir os nú-
meros irracionais no ensino básico, embora se observem algumas lacunas lógicas no percurso. Uma de-
las é a omissão da demonstração da proposição acima referida em sua forma (a). A outra lacuna, mais 
sutil, mas não menos grave, é não mencionar que é possível atribuir um significado matemático a uma 
representação decimal infinita e não periódica. A prova dessa afirmação pode ser deixada para etapas 
posteriores dos estudos em Matemática, mas é indispensável que sua existência seja mencionada.
A proposição (a) é a recíproca da proposição: (c) todo número que admite representação decimal por 
representação decimal finita ou periódica infinita é um número racional. A demonstração da propo-
sição (c) é acessível no Ensino Médio, após o estudo de progressões geométricas de razão com valor 
absoluto menor do que 1, o que seria bastante significativo fazer, mas não é encontrado nas obras.
Somente com a discussão das duas proposições (a), (b) e (c) é que, de fato, fica comprovada a ca-
racterização mais encontrada nos livros para os números irracionais: um número σ é irracional se 
e somente se sua representação decimal é uma representação decimal infinita e não periódica. As 
lacunas acima mencionadas acabam por dificultar a correta atribuição de significados, pelos estu-
dantes, à noção de número irracional.
Outra forma de produzir números irracionais é recorrer às raízes quadradas de inteiros positivos que 
não sejam quadrados perfeitos. O exemplo mais notável é a raiz quadrada do número 2, que, desde a 
Antiguidade Clássica, é objeto de estudo na Matemática. Nesse caso, não é possível provar, por méto-
dos elementares, que a representação decimal é infinita e não periódica. Mas é factível comprovar-se, 
usando um raciocínio por absurdo e o teorema da decomposição única em fatores primos dos núme-
ros naturais, que √2 não pode admitir representação por uma fração de inteiros. A demonstração de 

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que esse número é irracional, no sentido de não poder ser representado por uma fração de inteiros, 
é um dos mais antigos e belos exemplos de dedução matemática e, acertadamente, é feita em muitas 
obras didáticas para o Ensino Médio. Ressalta-se que as provas matemáticas da irracionalidade de 
muitos outros números, como 
π
 e 
e,
 são também feitas por redução ao absurdo.
Um ponto a observar é que, diante dos poucos exemplos oferecidos no ensino, o estudante seja le-
vado a pensar, erroneamente, que “os números irracionais são relativamente raros”. Nesse sentido, 
é importante um trabalho com os estudantes em que se busque gerar mais exemplos de números 
irracionais. Para isso, podemos recorrer a procedimentos simples e que contribuem, além disso, para 
o desenvolvimento da argumentação matemática.
Um primeiro é formar novos irracionais com base em irracionais conhecidos. Sabemos que 
π
 é um 
número irracional. Podemos, então, afirmar, por exemplo, que o número (3/4 + π) é irracional. De fato, 
a soma de dois racionais é um racional e o produto de dois racionais é um racional. Se, por absurdo, 
supusermos que o número (3/4 + 
π) 
é racional: