Mavzu: Qisqa ko’paytirish formulalarining umumlashmalari. Ko’phadlarni bo’lish Reja

Ko’phadlar.

Birhadlar yig'indisi ko'phad deyiladi. Masalan, ifodalarning bar biri ko'phaddir. Ko'phad tarkibidagi eng katta darajali birhadning da-rajasi shu ko'phadning darajasi deyiladi. Masalan, ikkinchi darajali ko'phaddir. ko'phadlarni qaraylik, ular bitta ko'phadning ikki ko'rinishli yozuvi. Ulardan ikkinchisi x o'zgaruvchi daraja ko'rsatkichlarining kamayib borishi tartibida, ya'ni standart ko'rinishdagi yozuvdir. Ko'p argumentli ko'phadlar ham standart ko'- rinishda yozilishi mumkin. x, y, ..., z ~ o'zgaruvchilar, a, b lar noldan farqli sonlar bo'lsin.
va birhadlarni solishtiraylik. lekin bo'lsa, birinchi birhad ikkinchisidan katta, chunk! ulardagi x va y lar daraja ko'rsat-kichlari bir xil bo'lsa-da, z ning ko'rsatkichi birinchi bir-hadda katta. Agar ko'p o'zgaruvchili ko'phadda har qaysi qo'shi-luvchi o'zidan o'ngda turgan barcha qo'shiluvchilardan katta bo'lsa, qo'shiluvchilar lug'aviy (leksikografik) tartibda joylashtirilgan deyiladi. Masalan, ko'phadning qo'shiluvchilari lug'aviy tartibda joylashtirilgan.Agar ko'phadning barcha hadlarida x, y,..., z o'zga-ruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi m ga teng bo'lsa, uni m- darajali bir jinsli ko 'phad deyiladi. Masalan, — birinchi darajali bir jinsli (bunda m=l), — uchinchi darajali (m = 3) bir ^{jinsli ko'phad.Agar birhad darajali bo'lsa, ixtiyoriy umumiy λ} ko'paytuvchi uchun a(λx) ga ega bo'lamiz. Agar ixtiyoriy soni uchun tenglik bajarilsa, ko'phad funksiya) m- darajali
bir jinsli ko'phad (funksiya) bo'ladi. Masalan,
= ftinksiya 3- darajali bir jinsli funksiyadir, chunki

Shu kabi, uchinchi darajali

nolinchi darajali birinchi darajali (m = 1) bir jinsliƒunksiyalardiτ. Agar ko'phadda x o'rniga y, y o'rniga x yozilsa (ya'ni x va y lar o'rin almashtirilsa), oldingi ko'phadning o'zi hosil bo'ladi.Agar ko'phad tarkibidagi harflarning har qanday o'rin almashtirilishida unga aynan teng ko'phad hosil bo'lsa, P ko'phad simmetrik ko'phad deyiladi. Simmetrik ko'phadda qo'shiluvchilar o'rin almashtirilganda yig'indi, ko'paytuvchilar o'rin almashtirilganda ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifodadagi qavslar ochilsa, λ darajalarining koeffitsientlari sifatida o'zgaruvchilarning simmetrik ko'phadlari turgan bo'ladi. Ular asosiy simmetrik ko 'phadlar deyiladi. Masalan,
^{o'zgaruvchilar soni n - 2 bo'lsa, bo'lib, asosiy simmetrik} ko'phadlar x + y va xy bo'ladi. Ularni orqali ifodalaymiz. Shu kabi, bo'ladi. Bulardan tashqari, quyidagi
ko'rinishdagi (n ta qo'shiluvchi),
darajali yig'indilar ham simmetrik ko'p-hadlardir.
1 - t e o r e m a. Ixtiyoriy darajali yig'indi va laming ko'phadi ko'rinishida tasvirlanishi mumkin.
I s b o t. Haqiqatan, k = 1 da da Teorema va (bunda uchun to'g'ri bo'lsin. Uning uchun to'g'riligini
isbotlaymiz:

Faraz bo'yicha va lar uchun tєorema to'g'ri edi. Demak, teorema uchun ham to'g'ri. 2-t e o r e m a. x,..., z o'zgaruvchilari har qanday sim-metrik P ko'phadyagona ravishda shu o'zgaruvchilardan tuzilgan asosiy simmetrik ko'phadlardan iborat bo'ladi.

Isbot. n = 2 bo'lganholniqaraymiz. simmetrik ko'phad qo'shiluvchiga ega bo'lsin.
Agar bo'lsa, bu qo'shiluvchi ga, ya'ni ga tєng,bo'lsa, ning tarkibida bilan bir qatorda x va y larni o'rin almashtirishdan hosil bo'luvchi qo'shiluvchi ham bo'ladi: Lekin 1- teoremaga muvofiq
ixtiyoriy darajali yig'indi, demak, P simmetrik ko'phad ham har doim orqali ifodalanadi.
1- m i s o 1. simmetrik ko'phadni lar orqali ifodalaymiz. Yechish.

ko'rinishdagi butun ratsional ifoda bir o 'zgaruvchili n- darajali ko 'phad deyiladi. Har qanday son 6- darajali ko'phaddan iborat. 0 soni esa darajaga ega bo'lmagan ko'phad. qo'shiluvchi ko'phadning bosh hadi, esa uning ozod hadi deyiladi.