Mavzu: Dinamika. Dinamikaning asosiy tushunchalari. Dinamikaning asosiy qonunlari. Reja

Dinamika masalalarini yechishda biz asosan quyidagi o‘zgarmas va o‘zgaruvchan kuchlardan foydalanamiz (qoidaga ko‘ra kuchlarning o‘zgarish qonuniyatlari, tajriba yo‘li bilan aniqlanadi).
O g‘ i r l i k k u ch i. Bu Erning yaqinidagi fazoda, barcha jism (massa)lariga ta’sir etuvchi o‘zgarmas kuch - . Og‘irlik kuchining moduli jismning og‘irligiga teng bo‘ladi.
Tajribalar orqali aniqlandiki, og‘irlik kuchi ta’sirida (uncha katta bo‘lmagan balandlikdan, havosiz bo‘shliqda) Yerga erkin tushib kelayotgan har qanday jismning tezlanishi har doim bir xil bo‘lib erkin tushish tezlanishi, ba’zida esa og‘irlik kuchining tezlanishi⁴ deb ataladi va -vektori orqali belgilanadi. U holda (11.1’) tenglamadan
R=mg yoki m=R/g (11.3)
Bu tengliklar orqali jismning massasi aniq bo‘lsa, uning og‘irligini (unga ta’sir etayotgan og‘irlik kuchining modulini) yoki og‘irligi ma’lum bo‘lsa, uning massasini aniqlash mumkin ekan. Jismning og‘irligi yoki og‘irlik kuchi, g -qiymat kabi Yerning geografik kengligi va dengiz sathidan balandligiga bog‘liq ravishda ma’lum miqdorda farqlanadi; jismning massasi esa o‘zgarmas qiymat hisoblanadi.
I sh q a l a n i sh k u ch i. Sirpanib harakatlanuvchi jismlarning (suyuq yog‘lar ishlatilmagan sirtlar orasidagi) yuzalariga ta’sir etuvchi ishqalanish kuchini qisqacha shunday deb ataladi va u statika qismida (Kulon qonuni) batafsil bayon etilgan edi. Uning moduli quyidagi tenglama orqali aniqlanadi,
F=fN (11.4)
bu yerda f -ishqalanish koeffitsienti bo‘lib, uni o‘zgarmas deb hisoblash qabul qilingan. N -normal reaktsiya.
T o r t i l i sh k u ch i. Bu kuch, Nyuton tomonidan kashf etilgan kuch bo‘lib, butun olam tortilish qonuniga asosan ikkita moddiy jismlarning bir birlarini tortilish kuchlaridan iboratdir. Tortilish kuchi masofaga bog‘liq bo‘lib, oralaridagi masofa r -ga teng bo‘lgan va massalari m₁, m₂ bo‘lgan ikkita moddiy nuqtalarning o‘zaro tortilish kuchi, quyidagi tenglik orqali aniqlanadi,
F=fm₁m₂/r² (11.5)
bu yerda f -gravitatsion doimiy qiymat (SI sistemasida f=6,67310^-11 m³/kgs²).
E l a s t i k l i k k u ch i. Bu kuch ham masofaga bog‘liq holda o‘zgaradi. Uning miqdori Guk qonuniga binoan aniqlanadi, unga binoan kuchlanish (kuchni yuza birligiga nisbati) deformatsiyaga to‘g‘ri proportsional bo‘ladi. Masalan, prujinaning elastiklik kuchining qiymati, quyidagicha aniqlanadi
F=c (11.6)
bu yerda -prujinaning uzayishi (yoki siqilishi); s -prujinaning qattiqlik koeffitsienti (SI sistemasida N/m bilan o‘lchanadi).
Yo p i sh q o q i sh q a l i sh k u ch i. Bu kuch jismning tezligiga bog‘liq bo‘lib, yopishqoq suyuq muhitdagi (yoki suyuq yog‘langan sirtlarda) harakatlarda paydo bo‘ladi va quyidagicha aniqlanishi mumkin
R=v (11.7)
bu yerda v- jismning tezligi, -yopishqoq qarshilik koeffitsienti. (11.7) formulani Nyutonning yopishqoq ishqalish qonuni asosida aniqlash mumkin.
A e r o’ d i n a m i k (g i d r o d i n a m i k ) q a r sh i l i k k u -chi. Bunday kuch ham tezlikka bog‘liq bo‘lib, havoda yoki suv(suyuqlik)da harakatlanayotgan jismlarga ta’sir etadi. Amalda uning qiymatini quyidagi tenglama orqali aniqlanadi,
R=0,5c_xSv² (11.8)
bu Erda  - muhitning zichligi; S - jism shaklining harakat yo‘nalishiga perpendikulyar bo‘lgan tekislikka bo‘lgan proektsiyasining yuzasi (midel yuzasi); s_x-qarshilik koeffitsienti, o‘lchovsiz birlik bo‘lib uning qiymatini jismning shakliga va harakat yo‘nalishiga qarab qanday holatda ekanligiga bog‘liq holda tajribalar orqali aniqlanadi;
I n e r t v a g r a v i t a ts i o n m a s s a l a r. Berilgan jismning massasini eksperimental usulda aniqlash uchun (11.1) formulaga asoslanish mumkin, bu tenglamada massa inertlik xossasi bo‘yicha ishtirok etmoqda, shuning uchun uni inert massa deb ataladi. Lekin uni (11.5) formula orqali aniqlasak, bu tenglamada jismning gravitatsion xossasi bo‘yicha ishtirok etadi, shu sababli uni gravitatsion (yoki og‘ir) massa deb ataladi.
Inert va gravitatsion massalar bir narsa deb qabul qilinmagan bo‘lsa ham, ularning qiymatlari bir-birlariga juda yuqori aniqlikda teng ekan (jahon fiziklarining 1971 yilda o‘tkazgan tajribalari natijasida ularning farqi atigi 10^-12 ekanligi aniqlandi). Ana shu eksperimental tasdiqlangan fakt, ekvivalentlik printsipi deb ataladi. Bu printsipni Eynshteyn⁵ o‘zining nisbiylikning umumiy nazariyasiga asos qilib olgan edi (tortilish nazariyasi).
Yuqoridagilarga asoslanib, mexanika fanida massani jismning inertlik o‘lchovi va gravitatsion xossasini aniqlovchi «massa» degan yagona tеrmin ishlatiladi.

11.5§ Moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamalari.

Moddiy nuqta dinamikasi masalalarini yechish uchun quyidagi ikkita tenglamalar sistemalarining biridan foydalanamiz.
Dekart koordinatalaridagi tenglamalar. Kinematika qismidan ma’lumki nuqtaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalaridagi harakati quyidagi tenglamalar orqali beriladi:
x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) (11.9)
Dinamikaning asosiy masalalari shundan iboratki, nuqtaning harakatini bilgan holda, ya’ni (11.9) formula aniq bo‘lsa, shu nuqtaga ta’sir etuvchi kuch aniqlanadi. Yo’ki teskarisi, ya’ni nuqtaga ta’sir etayotgan kuchlar ma’lum bo‘lsa uning harakat qonuni, aniqrog‘i (11.9) tenglamalar aniqlanadi. Shu sababli, nuqta dinamikasi masalalarini yechish uchun shu nuqtaning x, y, z -koordinatalari bilan unga ta’sir etuvchi kuch (kuchlar)ni bog‘lovchi tenglamalar kerak bo‘ladi. Bunday tenglamalarni dinamikaning ikkinchi (asosiy) qonuni orqali olinadi.
Oxyz inertsial hisob sistemasida joylashgan moddiy nuqtaning , , ,..., kuchlar ta’siridagi harakatini ko‘rib o‘taylik. (11.2) tenglamaning, ya’ni m = - ning ikkala tomonini x, y, z -koordinata o‘qlariga proektsiyalaymiz va a_x=d²x/dt², a_y=d²y/dt², a_z=d²z/dt² ekanligini e’tiborga olsak,
m = , m = , m = (11.10)
yoki vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalarni ikkita nuqta orqali belgilasak,
, , (11.10’)

Mana shular bizga kerak bo‘lgan tenglamalar sistemasidan iborat bo‘lib, ularni nuqtaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalaridagi harakatining differentsial tenglamalari deb ataladi. Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar vaqt t-ga, nuqtaning o‘rni, ya’ni uning x, y, z koordinatalariga va tezligiga, ya’ni v_x= , v_y= , v_z= -larga bog‘liq holda o‘zgarishi mumkin ekanligi sababli, (19.10) tenglamalar sistemasidagi har bir tenglamaning o‘ng tomonlari shunday o‘zgaruvchilarning funktsiyalaridan iborat bo‘lishi mumkin, ya’ni t, x, y, z, , , -lar birgalikda ishtirok etishlari mumkin.

Uch yoqli tabiiy o‘qlarga pro’ektsiyalardan iborat tenglamalar. Bunday tenglamalarni hosil qilish uchun -tenglikni ikkala tomonini Mnb- o‘qlarga proektsiyalaymiz, ya’ni nuqtaning traektoriyasiga urinma - M o‘qqa, bosh normal - Mn o‘qqa va binormal - Mb o‘qqa (Oxyz-o‘qlar, traektoriyalarga nisbatan harakat qilmoqda) pro’ektsiyalaymiz. U holda a_=dv/dt, a_n=v²/, a_b=0 ekanligiga asoslanib, quyidagilarni yozamiz,
, m = , 0= (11.11)
bu yerdagi v=ds/dt, (11.11) tenglamalar sistemasi moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamasining uch yoqli tabiiy o‘qlardagi pro’ektsiyalari hisoblanadi.

11.6§. Dinamikaning birinchi masalasini yechish (harakat qonuniga binoan kuchlarni aniqlash).

Agar moddiy nuqtaning tezlanishi berilgan bo‘lsa, unga ta’sir qilayotgan kuch yoki bog‘lanish reaktsiyasi (19.1) va (19.2) formulalar orqali darhol aniqlanadi. Lekin bog‘lanishlar reaktsiyalarini aniqlash uchun qo‘shimcha ravishda aktiv kuchlar ma’lum bo‘lishi kerak. Agarda tezlanish bevosita berilmagan, lekin nuqtaning harakat qonuni ma’lum bo‘lsa, u holda kuchni aniqlash uchun (11.10) va (11.11) formulalardan foydalanish mumkin.