Mavzu: Dinamika. Dinamikaning asosiy tushunchalari. Dinamikaning asosiy qonunlari. Reja

11– Ma’ruza 2 soat.
Mavzu: Dinamika. Dinamikaning asosiy tushunchalari.
Dinamikaning asosiy qonunlari.
REJA:

1. 
   Asosiy tushunchalar va ifodalar,
   
2. 
   Dinamika qonunlari. Moddiy nuqta dinamikasining asosiy masalalari.
   
3. 
   O‘lchov birliklari.
   
4. 
   Kuchlarning asosiy ko‘rinishlari.
   
5. 
   Moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamalari.
   
6. 
   Dinamikaning birinchi masalasi.
   

Tayanch so’zlar:
Dinamika, jism, nisbiylik, deformatsiya, mexanika qonunlari, nuqta, kuch, massa, Nyuton, reaktsiya, inertsiya, sistema, og’irlik.

11.1§ Asosiy tushunchalar va ifodalar.

Kuchlar ta’sirida bo‘lgan jismlarning harakatini o‘rganuvchi qism dinamika deb ataladi.
Kinematika qismida jismlarning harakatlariga faqat geometrik nuqtai nazardangina qaralgan edi. Dinamika qismining kinematikadan farqi shundaki, jismlarning harakatlarini o‘rganishda, ularga ta’sir etayotgan kuchlar sistemasidan tashqari jismlarning inertligi, ya’ni ularning massalari va shu massalarning joylashish tartiblari (geometrik shakli) ham e’tiborga olinadi.
Kuch va ularning moddiy jismlarga ko‘rsatadigan mexanik ta’sirlarining o‘lchovi ekanligi haqidagi tushunchalar statika qismida ko‘rib o‘tilgan edi. Lekin, statika qismida jismlarga ta’sir etuvchi kuchlarning vaqt mobaynidagi o‘zgarishlarini hisobga olmagan edik va statika masalalarini echganimizda barcha kuchlarni o‘zgarmas deb qaragan edik. Amalda esa harakatlanuvchi jismga o‘zgarmas kuchlardan tashqari, moduli va yo‘nalishi bo‘yicha o‘zgaruvchan bo‘lgan kuchlar ham ta’sir etadi. Shu qatorda berilgan (aktiB) kuchlar¹ ham va bog‘lanish rektsiyalari ham o‘zgaruvchan bo‘lishlari mumkin.
Tajribalar orqali aniqlandiki, jismga ta’sir etayotgan kuchlar vaqtga, jismning holatiga (koordinatasiga) va uning tezligiga bog‘liq ravishda o‘zgaruvchan bo‘lar ekan. Masalan, reostatni yoqish va o‘chirish hisobiga elektrovozning tortish kuchi yoki elektromotorning yaxshi markazlashtirilmagan valining aylanishidan hosil bo‘ladigan tebranishlar ta’siridagi kuchlar vaqtga bog‘liq ravishda o‘zgaruvchi kuchlarga misol bo‘lishi mumkin; butun olam tortilish qonuni yoki prujinaning elastiklik kuchi esa jismlarning holatiga (ya’ni koordinatalardagi o‘rniga) bog‘liq ravishda o‘zgaruvchi kuchlarga misol bo‘la olishi mumkin; muhit qarshiligi kuchi tezlikka bog‘liq ravishda o‘zgaradi.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, statika qismidagi kuchlar haqidagi tushunchalar va qoidalar to‘lasicha dinamika qismida ham o‘rinli hisoblanadi, chunki statika qismidagi qoidalar faqat o‘zgarmas kuchlar uchungina o‘rinli deyilgan emas.
Inertlik tushunchasi shundan iboratki, agar jismga biror tezlik berilsa jism shu tezlikni saqlab qoladi, agar unga kuch ta’sir etilsa, jismning tezligi birdaniga emas balki ma’lum vaqt mobaynida o‘zgaradi. Va bu o‘zgarish davri jismning inertligiga to‘g‘ri proportsional ravishda bo‘ladi. Moddiy jismlarning inertlik xossasining miqdori fizik qiymat bo‘lib, uni jismning massasi² deb ataladi. Klassik mexanikada massa skalyar, faqat musbat ishorali va har-bir jism uchun o‘zgarmas qiymat hisoblanadi.
Jismning harakati uning umumiy massasigagina bog‘liq bo‘lib qolmasdan, shu massaning qanday joylashganligiga ham, ya’ni jismning geometrik shakliga ham uzviy bog‘liq bo‘ladi.
Dinamika qismi ancha murakkab bo‘lganligini hisobga olib, uni o‘rganish nuqta dinamikasidan boshlanadi. Bunda, ma’lum massaga ega bo‘lgan moddiy nuqta degan abstrakt tushuncha kiritiladi, ya’ni har qanday jismni uning geometrik shakliga (massalarning tarqalishiga) e’tibor bErmasdan o‘rganiladi (e’tibor bergan bo‘lsangiz, kinematika qismida «moddiy nuqta» so‘zi aslo ishlatilmagan edi).
Kinematika qismida ko‘rib o‘tganimizdek, har qanday harakat asosan ilgarilanma va aylanma harakatlarning yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Agar masalalarning shartlariga ko‘ra aylanma harakatlarni e’tiborga olinmasa bunday jismlarning harakatini o‘rganishda ularni moddiy nuqta deb qabul qilinadi, chunki natijaviy echimda hech qanday xatolik bo‘lmaydi. Masalan, planetalarning Quyosh atrofdagi harakatlarini, artileriya snaryadining qanday masofaga borib tushishini aniqlashda va shunga o‘xshash qator masalalarni yechishda, ularni moddiy nuqta deb qaraladi.
Ilgarilanma harakatdagi barcha masalalarni yechishda massasi jismning umumiy massasiga teng bo‘lgan moddiy nuqta deb hisoblanadi. Mexanik sistema yoki qattiq jismlarning dinamikasiga oid harakatlarni o‘rganishdan oldin, bitta moddiy nuqtaning dinamikasiga oid masalalarni ko‘rib o‘tish lozim bo‘ladi. Shu sababli dinamika qismini moddiy nuqta dinamikasidan boshlab o‘rganamiz.

11.2§ Dinamika qonunlari. Moddiy nuqta dinamikasining masalalari.

Dinamikaning asosida jismlarning harakatlarini o‘rganishga bag‘ishlangan va jamiyatning ijtimoiy-mehnat faoliyatida sinovdan o‘tgan qator tajriba va kuzatishlar natijasida aniqlangan qonuniyatlar yotadi. Dinamikaning qonunlarini birinchi bo‘lib I. Nyuton o‘zining 1687 yilda³ nashr etgan, «Tabiiy falsafaning matematik asoslari» nomli kitobida klassik ko‘rinishda sistemalashtirilgan holda bayon qilgan.
Ushbu qonunlarni quyidagicha ifodalash mumkin:
Birinchi qonun (inertsiya qonuni): tashqi muhit ta’siridan ihotalangan moddiy nuqtaga qo‘yilgan kuchlar uning holatini o‘zgartirmaguncha, u o‘zining tinch holatini yoki to‘g‘ri chiziqli tekis harakatini davom etdiradi. Kuchlar ta’sir qilmayotgan (aniqrog‘i-kuchlarning bosh vektori nolga teng bo‘lgan) jismning harakatini, inertsiya bo‘yicha harakat deb ataladi.
Inertsiya qonuni materiya (borliq) ning asosiy xossalaridan biri, ya’ni uning har doim harakatda ekanligini ko‘rsatib beradi. Ushbu qonun italyan olimi G. Galiley tomonidan (1638 y.) ochilgunga qadar, Aristotel (Arastu, yunon faylasufi, Iskandar Zulqarnayning ustozi, eramizdan oldingi 384-322y. yashagan) tomonidan aytilgan fikr, ya’ni jism faqat kuch ta’siridagina harakat qilishi mumkin degan fikr hukmronlik qilar edi.
Eng muhim narsalardan biri, ushbu inertsiya qonuni qaysi hisob sistemasida o‘rinli ekanligini aniqlashdan iboratdir. Nyutonning fikricha ushbu qonun qandaydir qo‘zg‘almas (absolyut) fazoda joylashgan hisob sistemasidagina o‘rinli hisoblangan. Lekin hozirgi zamondagi tushunchalar bo‘yicha, fazo - bu matEriya (borliq)ning yashash formasi bo‘lib, undagi materiyalarning harakatiga bog‘liq bo‘lmagan qandaydir absolyut fazo bo‘lishi mumkin emas ekan.
Ushbu qonun tajribalar orqali aniqlanganligi sababli (Galileyning ko‘rsatmasiga asosan, qiyaligi kamayib borayotgan tekislikning ustidagi sharchaning harakati orqali ham aniqlash mumkin ekan), ma’lum darajadagi xatoliklarga ega bo‘lgan hisob sistemasi, albatta, mavjud bo‘lib, u hisob sistemasida bu qonun o‘rinli bo‘ladi. Shunga asosan ilmiy abstraktsiyaga tayangan holda, mexanikada ushbu inertsiya qonuni o‘rinli bo‘lgan hisob sistemasi mavjud ekanligi postulot (hali isbot qilinmagan fikr) tarzida kiritiladi va uni inertsial hisob sistemasi deb ataladi.
Amalda foydalanilayotgan real hisob sistemasini inertsial hisob sistemasi deb qabul qilish mumkin ekanligi, o‘sha hisob sistemasining inertsial hisob sistemasi deb hisoblab, o‘tkazilgan tajribalardan olingan natijalarni solishtirish orqali aniqlash mumkin. Tajribalar natijasida aniqlandiki, markazi Quyoshda joylashib, o‘qlari qo‘zg‘almas yulduzlar tomonga yo‘naltirilgan o‘qlardan iborat hisob sistemasi bizning Quyosh sistemamiz uchun yuqori aniqlikdagi inertsial sistema hisoblanar ekan. Aksariyat masalalarni yechishda, Yerga mahkamlangan hisob sistemasini inertsial sistema deb qabul qilish mumkin ekan va bundagi xatolik sezilarli emas ekan. Bunday fikrning o‘rinli ekanligi keyinchalik asoslanib beriladi.
Ikkinchi qonun (dinamikaning asosiy qonuni): moddiy nuqtaga ta’sir etayotgan ixtiyoriy kuchlar, uning tezligini qanday o‘zgartirishi mumkin ekanligini aniqlab beradi, ya’ni: moddiy nuqtaning massasini unga ta’sir qilayotgan kuchlardan oladigan tezlanishiga ko‘paytmasi, moduli bo‘yicha kuchga teng bo‘lib, moddiy nuqtaning oladigan tezlanishining yo‘nalishi kuchning yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lar ekan.
Ushbu qonunning vektor ko‘rinishdagi matematik ifodasi, quyidagicha yoziladi
(11.1)
Kuch bilan tezlanishning modullari orasidagi bog‘lanish, quyidagicha bo‘ladi
ma=F (11.1’)
Dinamikaning ikkinchi qonuni ham, birinchi qonun kabi faqat inertsial hisob sistemalaridagina o‘rinli bo‘ladi. Ushbu qonundan ko‘rinib turibdiki, jismning massasi uning inertlik o‘lchovi bo‘lib hisoblanar ekan. Chunki biror kuchni moddiy nuqtaga ta’siridan oladigan tezlanish nuqtaning massasiga bog‘liq bo‘lib, qanchalik uning massasi oz bo‘lsa, oladigan tezlanishi katta bo‘ladi yoki aksincha.
Agar moddiy nuqtaga bir vaqtning o‘zida bir nechta kuchlar ta’sir etsa, kuchlarning parallelogrammi haqidagi qoidaga asosan, ular shu kuchlarning geometrik yig‘indisiga teng bo‘lgan bitta teng ta’sir etuvchi -kuchga ekvivalent bo‘ladilar,
U holda dinamikaning asosiy qonuni, quyidagi ko‘rinishga keladi,
yoki (11.2)
Ushbu natijani boshqa usul bilan ham aniqlash mumkin, ya’ni kuchlarning jismga ta’sirlari
bir birlariga bog‘liq emasligiga asoslanib, har bir kuchdan alohida tezlanish oladi, so‘ngra shu olingan tezlanishlarni geometrik usulda qo‘shilsa, yuqoridagi tenglik kelib chiqadi.
Uchinchi qonun (ta’sir va aks ta’sir qonuni): moddiy jismlarning o‘zaro mexanik ta’sirlarini xaraktErlab beradi. Ikkita moddiy nuqta uchun quyidagicha ifodalanadi: ikkita moddiy nuqtaning bir-birlariga ta’sir kuchlari, shu nuqtalarni birlashtiruvchi chiziqda joylashib, modullari teng lekin yo‘nalishlari qarama qarshi bo‘lar ekan.
Bu qonundan statika kursida foydalangan edik. Bu qonun moddiy nuqtalar sistemasining dinamikasida alohida ahamiyatga ega bo‘lib, shu nuqtalarga ta’sir etadigan ichki kuchlarning o‘zaro bog‘likligini aniqlab beradi.
Agar ikkita erkin nuqta bir birlariga kuch bilan ta’sir etsalar, bu nuqtalar dinamikaning uchinchi va ikkinchi qonuniga asosan, ularning massalariga teskari proportsional bo‘lgan tezlanishlar bilan harakatlanadilar. D i n a m i k a n i n g m a s a l a l a r i. Erkin moddiy nuqta uchun dinamikaning quyidagi masalalari echiladi: 1) moddiy nuqtaning harakat qonuni berilgan bo‘lsa, shu nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni aniqlash (dinamikaning birinchi masalasi); nuqtaga ta’sir etayotgan kuchlar ma’lum bo‘lsa, nuqtaning harakat qonunini aniqlash (dinamikaning ikkinchi yoki asosiy masalasi).
Agar moddiy nuqta erkin bo‘lmasa, ya’ni unga bog‘lanishlar ta’sir etib u ma’lum tekislik ustida yoki egri chiziq bo‘ylab harakatlansa, dinamikaning birinchi masalasida nuqtaning harakat qonuni va unga ta’sir etuvchi aktiv kuchlar berilgan bo‘lsa, bog‘lanishlarning reaktsiyalari aniqlanadi. Erkin bo‘lmagan jismlar uchun dinamikaning ikkinchi qonuni yana ikkiga ajraladi, ya’ni nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar ma’lum bo‘lsa a) nuqtaning harakat qonuni, b) unga qo‘yilgan bog‘lanishlarning reatsiyalari aniqlanadi.

11.3§ O‘lchov birliklari.

Barcha mexanik qiymatlarni o‘lchash uchun bir birlariga bog‘liq bo‘lmagan uchta o‘lchov birliklari etarli ekan. Ulardan ikkitasi uzunlik va vaqt o‘lchovlari. Uchinchisi o‘lchov birligi sifati yoki massani yoki kuchni tanlab olish mumkin. Ular (19.1) formula orqali bir-birlariga bog‘liq bo‘lganligi uchun, ularni ixtiyoriy ikkita o‘lchov birligi sifatida qabul qilib bo‘lmaydi. Shu sababli mexanikada bir-biridan mutloq farq qiluvchi o‘lchov sistemasi bo‘lishi mumkinligi kelib chiqadi.
B i r i n ch i t i p b i r l i k s i s t e m a s i. Bu sistemada, asosiy birlik sifatida uzunlik vaqt va massa qabul qilingan, kuchning o‘lchov birligi esa ularning hosilasidan kelib chiqadi.
Bunday sistemaga fizik qiymatlarning xalqaro o‘lchov sistemasi (SI) kiradi va unda mexanik qiymatlarning asosiy o‘lchov birliklari sifatida metr (m), kilogramm massa (kg) va sekund (C) qabul qilingan. Kuchning o‘lchov birligi esa hosilaviy qiymat bo‘lib, -1 Nyuton (N) deb belgilangan; 1N - shunday kuchki, uning ta’sirida 1 kg massali jism 1 m/s² tezlanish oladi (1N=1kgm/s²). 1 m, 1 kg va 1 s qanday qiymat ekanligi fizika fanida batafsil ko‘rib chiqilgan.
1961 yilda qabul qilingan halqaro birliklar sistemasi (SI) ancha afzal hisoblanganligi uchun, biz shu o‘lchov sistemasidan foydalanamiz.
I k k i n ch i t i p b i r l i k s i s t e m a s i. Bu sistemada, asosiy birlik sifatida uzunlik vaqt va kuch qabul qilingan, massaning o‘lchov birligi esa ularning tegishli hosilalaridan kelib chiqadi.
Bunday o‘lchov sistemasi texnikada keng tarqalgan MKGSS sistemasi bo‘lib, unda mexanik qiymatlarning asosiy o‘lchov birliklari sifatida metr (m), kilogramm kuch (kG) va sekund (C) qabul qilingan. Massaning o‘lchov birligi esa hosilaviy qiymat bo‘lib, -1 kGs²/m deb belgilangan; ya’ni 1 kG kuch ta’sirida 1 m/s² tezlanish oladigan massa hisoblangan.
SI o‘lchov sistemasi bilan MKGSS o‘lchov sistemalari orasidagi bog‘lanish quyidagicha: 1kG=9,81N yoki 1N=0,102 kG.
Mexanikada o‘lchov (razmer) va o‘lchovning birligi degan tushunchalar ham bo‘lib, ularni bir-birlari bilan almashtirib yubormaslik lozim. O‘lchov berilgan qiymatning mazmunini bildirib, u faqat tenglamaning ko‘rinishidan aniqlanadi. O‘lchov birligi esa asosiy qiymatlarning tanlab olinishiga bog‘liq bo‘ladi. Masalan, agar uzunlik vaqt va massani tegishlicha L, T va M harflari bilan belgilasak, tezlikning o‘lchovi L/T bo‘ladi, (ya’ni uzunlikni vaqtga nisbati tezlikning o‘lchovi), o‘lchov birligi esa 1 m/c, 1km/soat va h. k. bo‘ladi.

11.4§ Kuchlarning asosiy ko‘rinishlari.