Mavzu. Aniq integral. Mashg‘ulot texnologiyasi

1.    Nyuton-Leybnis formulasi

 

Aniq integralni integral yig‘indining limiti sifatida hisoblash hatto oddiy funksiyalar uchun ham ancha qiyinchiliklar tug‘diradi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning (15.3) formulaga asoslangan, amaliy jihatdan qulay bo‘lgan hamda keng qo‘llaniladigan usuli bilan tanishamiz.

2-teorema ( integral hisobning asosiy teoremasi). Agar   funksiya       kesmada uzluksiz  bo‘lgan   funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda   kesmada   funksiyadan olingan aniq integral                         funksiyaning integrallash oralig‘idagi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni

.                                        (15.4)

 (15.4) formulaga Nyuton-Leybnis formulasi  deyiladi.

 ayirmani shartli ravishda   deb yozish kelishilgan.

 Bu kelishuv natijasida  Nuyton-Leybnis formulasi

                                       (15.5)

ko‘inishda ifodalanadi.

Misollar

1.  .

2.

Nyuton-Leybnis formulasidan uning qo‘llanish shartlarini hisobga olmagan holda formal foydalanish xato hatijaga olib kelishi mumkin. 

Masalan,   funksiya uchun boshlang‘ich funksiya sifatida  ni yoki   ni olish mumkin.  Avval   deb olamiz:

Bunda  Nyuton-Leybnis formulasi to‘g‘ri qo‘llanildi, chunki   funksiya   kesmada uzluksiz va   tenglik butun kesmada bajariladi.

       Endi   deb olamiz: 

Bunda  Nyuton-Leybnis formulasi noto‘g‘ri (formal) qo‘llanildi, chunki    da    funksiya uzilishga ega va u   kesmada boshlang‘ich funksiya bo‘la olmaydi.  Natijada xatolik  kelib chiqdi.

Demak, Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llashda   boshlang‘ich  funksiya berilgan kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi (ayrim shartlarda Nyuton-Leybnis

formulasi uzilishga ega bo‘lgan funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘lishi mumkin).

2-ilova

T/r	Tushunchalar	Bilaman	Bilishnixohlayman	Biliboldim
1	Hosila
2	Differinsial
3	Aniqmas integral
4	O’zgaruvchilarni almashtirib integrallash
5	Bo’laklab integrallash
6	Differinsial belgisi ostiga kiritib integrallash