20-mavzu. Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirib integrallash. 1-ta’rif

20-mavzu. Aniqmas integral. Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirib integrallash.

1-ta’rif. Agar intervalda differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi berilgan ga teng bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, u holda funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Berilgan funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi. Haqiqatdan ham agar funksiya ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda funksiya ham ning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi.
Lemma. Agar funksiyalar intervalda ning boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, u holda bo’ladi, ya’ni funksiyalar intervalda bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi.
2-ta’rif. Agar funksiya intervalda funksiyaning boshlang’ich funnktsiyasi bo’lsa, u holda funksiyalar to’plami shu intervalda funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va

kabi belgilanadi.
Bunda integral belgisi, integral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda deyiladi.
Aniqmas integralni yoki berilgan funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish jarayoni integrallash deyiladi.
Segmentda (kesmada) uzluksiz bo’lgan istalgan funksiya shu oraliqda boshlang’ich funksiyaga ega. Demak, aniqmas integralga ham ega.
Aniqmas integralning asosiy xossalari quyidagilardan iborat.
Aniqmas integralning hosilasi, integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni
.
Aniqmas integralning differensiali, integral belgisi ostidagi ifoda ga teng, ya’ni

Funksiya hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni:

Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan o‘zgarmas son yig‘indisiga teng:

O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisi ostidan tashqariga chiqarish mumkin:

CHekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniqmas integrali shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig‘indisiga teng:

Agar funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu yerda ning differentsiallanuvchi funksiyasi.
Bu xossa integrallash formulalarining invariantligi deyiladi.

«Asosiy integrallar jadvali»




























1.Bevosita integrallash usuli.
Bevosita integrallash usuli xossalar va asosiy integrallar jadvalidan foydalanishdan iborat.
Quyidagi integrallar topilsin.







2. Differensial belgisi ostiga kiritish usuli.
Differensial belgisi ostiga kiritishusuli, integral ostidagi ifodani almashtirish-dan iboratdir. Bunda


va hakazo, almashtirishlarni bajarish mumkin.
3.O‘rniga qo‘yish usuli.
Jadvalga kirmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. ni erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalab, integrallashning yangi o‘zgaruvchisini kiritamiz. Bu funksiyaga teskari funksiya mavjud bo’lsin. U holda bo’lib,

formula hosil bo^’ladi.
Bu o’rniga qo’yish usuli deyiladi.

Quyidagi integrallar topilsin.