Mavzu. Aniq integral. Mashg‘ulot texnologiyasi

1-ilova
MAVZU. ANIQ INTEGRAL, XOSSALARI. N’YUTON-LEYBNITS FORMULASI.

Reja:

1.     Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar

2.     Aniq integralning xossalari

3.   Nyuton-Leybnis formulasi

4.Aniq integralning tatbiqlari.

 

1. Aniq integral tushunchasiga

olib keluvchi masalalar

        Aniq   integral   tabiat   va   texnikaning   bir  qancha  masalalarini  yechishda,

xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi. 

 Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasi

Tekislikda   to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan va  ,  kesmada uzluksiz va manfiy bo‘lmafan  , ya’ni   funksiya aniqlangan bo‘lsin.

        Yuqoridan   funksiya grafigining yoyi bilan, quyidan   o‘qning    kesmasi bilan, yon tomonlaridan   va   to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan   figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi (2-shakl).

  egri chiziqli  trapetsiyaning    yuzasiga ta’rif beramiz.   kesmani   ta kichik kesmalarga bo‘lamiz: bo‘linishsh nuqtalarining abssissalarini

   bilan belgilaymiz.   bo‘lish nuqtalari to‘plamini   kesmanining bo‘linishi deymiz.    bo‘linish nuqtalari orqali   o‘qqa parallel   to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar    trapetsiyani asoslari   bo‘lgan   ta bo‘lakka bo‘ladi.   trapet-siyaning   yuzasi   ta tasma yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.   yetarlicha katta va barcha   kesmalar kichik bo‘lganida har bir       ta tasmaning yuzasini husoblash oson bo‘lgan mos to‘g‘ri to‘trburchakning yuzasi  bilan almashtirish mumkin bo‘ladi. Har bir   kesmada biror        nuqtani tanlaymiz,   funk-siyaning bu nuqtadagi qiymati   ni hisoblaymiz va uni to‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi deb qabul qilamiz.   kesma kichik bo‘lganida   uzluksiz funksiya bu kesmada kichik o‘zgarishga ega bo‘ladi. Shu sababli bu kesmalarda funksiyani o‘zgarmas va taqriban   teng deyish  mumkin. Bitta   tasmaning   yuzasi     ga

teng bo‘lganidan     egri chiziqli  trapetsiyaning    yuzasi taqriban   teng bo‘ladi:

,                              (14.1)

(14.1) taqribiy qiymat    kattalik qancha kichik bo‘lsa shuncha aniq bo‘ladi.   kattalikka   bo‘linishning diametri deyiladi. Bunda   da   

Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyning   yuzasi deb,   to‘g‘ri to‘rtbur-chaklar yuzasining bo‘linish diametri  nolga intilgandagi limitiga aytiladi, ya’ni

                                (14.2)

Demak,     egri     chiziqli     trapetsiyaning     yuzasini     hisoblash    masalasi (14.2) ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi.

Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasiga qaytamiz. (14.2) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat. U holda (14.5) formuladan aniq integralning geometrik ma’nosi kelib chiqadi: agar   funksiya    kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda   kesmada   funksiyadan olingan    aniq    integral         chiziqlar   bilan 

chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga  teng.

Misol

 integralni uning geometrik ma’nosiga tayanib hisoblaymiz.

Bunda   ning   dan   gacha o‘zgarishida tenglamasi   bo‘lgan

chiziq  aylananing yuqori bo‘lagidan iborat bo‘ladi. Shu sababli  chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya   doiraning yuqori qismidan tashkil topadi. Uning yuzi   ga teng. 

Demak,

Endi bosib o‘tilgan yo‘l masalasiga o‘tamiz.  (14.3) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat bo‘lgani uchun (14.5) formuladan ushbu xulosaga kelamiz: agar   funksiya  ,  kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda   tezlikdan    vaqt oralig‘ida olingan aniq integral material nuqtaning    dan   gacha vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘liga teng.

Bu jumla aniq integralning mexanik ma’nosini anglatadi.