Kombinatorika elementlari. O‘rinlashtirishlar va o‘rin almashtirishlar

1.Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar.
Kombinatorikada, asosan, chekli to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni to’plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin.
Yig’indi qoidasi. Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasi deb ataladi.
Agar A∩B =∅ bo’lsa,
n(A∪B) = n(A) + n(B) (1) bo’ladi.
Ya’ni kesishmaydigan A va B to’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng.
Agar A∩B≠∅ bo’lsa,
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (2)
bo’ladi. Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada n(A∩B)=∅, ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q.
Masalan, savatda 8 ta olma va 10 ta nok bor bo’lsa, 1 ta mevani 8 + 10 = 18 usul bilan tanlash mumkin.
(2) formula bilan yechiladigan masala: 40 talabadan 35 tasi matematika imtihonini, 37 tasi rus tili imtihonini topshira oldi. 2-talaba ikkala fandan «2» oldi. Nechta qarzdor talaba bor?
Yechish. A — matematika fanidan «2» olgan, B - rus tili fanidan «2» olgan talabalar to’plami bo’lsin.
1-masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi?
Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: A — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, V — suzish bilan shug`ullanuvchilar, S — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi.
Bu yerda x = 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi.
2-masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin?
Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: A —barcha talabalar to`plami, V — nemis tilini o`rganadigan, S — inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami.
Masala sharti bo`yicha n(A) = 50, n(V) =20, n(S) = 15.
A, V va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni V va S to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq.
n ( B C) = 0 n ( B C) = 15
n (B C) = 35 n (B C) = 20
x—Ikki tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 0 ≤ x ≤ 15 (x N0). u — 1 ta tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 20 ≤ u ≤ 35 (u N0).