A tárgy neve
ELEKTROMÁGNESSÉG ÉS RELATIVITÁSELMÉLET
Meghirdető tanszék(csoport)
SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék
Felelős oktató:
Dr. Varga Zsuzsa
Kredit
2
Heti óraszám
2
típus
Előadás
Számonkérés
Kollokvium
Teljesíthetőség feltétele
Félévközi dolgozatok
Párhuzamosan feltétel
nincs
Előfeltétel
Matematikai módszerek a fizikában
Helyettesítő tárgyak
-
Periódus
Tavaszi félév, évente
Javasolt félév
4
Kötelező vagy kötelezően
választható
Fizika
AJÁNLOTT IRODALOM
1.
Benedict Mihály: Elektrodinamika, JATE Press, Szeged, 2000.
2.
Jackson J. D.: Klasszikus elektrodinamika, Typotex Kiadó, Budapest, 2004.
3.
Hevesi Imre: Elektromosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.
A TANTÁRGY RÉSZLETES TEMATIKÁJA
Az elektrodinamika törvényeinek ismerete alapvető fontosságú, az energia és az
információ tárolását, továbbítását és felhasználását e törvények alapján oldja meg az
emberiség.
Az előadás az elméleti fizika szokásos módszerét követi: először összefoglaljuk az
általános törvényszerűségeket és fogalmakat, majd matematikai eszközökkel
származtatjuk a speciális körülmények között érvényes összefüggéseket.
Az elektrodinamikához történetileg szorosan kötődik a speciális relativitáselmélet,
ezért hagyományosan ennek keretében tárgyaljuk.
Alapfogalmak
Az elektrodinamika rövid története.
Az elektrodinamika mint mennyiségi tudomány egyetlen évszázad alatt fejlődött ki.
Cavendish 1771-73-ban végzete elektrosztatikai kísérleteit, és Hertz 1888-ban
kimutatta az elektromágneses hullámok létezését. A Coulomb törvény, a Biot-Savart
törvény, Ampere törvényének felfedezése után 50 évvel Faraday döntő lépést tett a
mező fogalmának megalkotásával. A munkát Maxwell fejezte be a mező dinamikai
elméletével 1864-ben.
Az elektrodinamika alapfogalmai
Az elektrodinamika alapvető fogalma a töltés. Töltött testek egymásra erőt
gyakorolnak. A töltés kvantált jellege, az elemi töltés, a töltés mértékegysége.
Kiterjedt testek töltéseloszlásának jellemzője a töltéssűrűség.
A töltések mozgása elektromos áramként jelentkezik. Az áramerősség és az
áramsűrűség. A töltéssűrűség és az áramsűrűség kapcsolata
Az elektromágneses kölcsönhatás jellege, a mező fogalma. Az elektromágneses mező
létezéséről egy töltött testre gyakorolt hatása alapján szerzünk tudomást. A nyugvó
töltésre gyakorolt erő és a próbatöltés hányadosa az E elektromos térerősség. A
mozgó töltésre gyakorolt erő adja a B mágneses indukcióvektor definícióját. A
Lorentz-féle erőtörvény:
F =q (E + v ×B)
A mezőket erővonalakkal szemléltethetjük.
A Maxwell-egyenletek vákuumban
A mező keltésének törvényei, a Maxwell-egyenletek, tapasztalati törvények
általánosításából jöttek létre.
A Gauss-törvény
2
A Gauss-törvény a Coulomb- törvény általánosítása: az elektromos töltések maguk
körül elektromos mezőt keltenek, az elektromos erővonalak a töltésekből indulnak
ki, illetve futnak be.
∫
∫
=
⋅
V
F
dV
df
ρ
ε
0
1
n
E
Az Ampere-törvény
A mozgó töltések (áramok) maguk körül mágneses mezőt hoznak létre, másképpen a
mágneses mező forrásai az áramok. Maxwell lényeges észrevétele, hogy az időben
változó elektromos fluxus (eltolódási áram) is mágneses mezőt kelt:
∫
∫
⋅
+
=
⋅
F
G
df
dt
d
I
d
n
E
s
B
0
µ
A Faraday-féle indukciós törvény
Az időben változó mágneses fluxus örvényes elektromos mezőt kelt. A negatív előjel
Lenz-törvénye.
∫
∫
⋅
−
=
⋅
F
G
df
dt
d
d
E
n
B
s
A negyedik törvény
A mágneses erővonalak zártak és nem létezik izolált mágneses pólus. Ezt fejezi ki a
negyedik törvény:
0
=
⋅
∫
F
df
n
B
A Gauss és Stokes integráltételek segítségével fölírjuk a Maxwell egyenletek
differenciális alakját.
0
E
ε
ρ
=
⋅
∇
,
,
,
E
J
B
0
0
&
0
ε
µ
µ
+
=
×
∇
B
E
&
−
=
×
∇
0
=
⋅
∇ B
A kontinuitási egyenlet
A kontinuitási egyenlet a természetben egyik legalapvetőbb törvény, a töltés
megmaradását fejezi ki.
0
=
+
⋅
∇
ρ
&
J
Minden lokális megmaradási törvény a fenti alakú. A kontinuitási egyenlet
3
levezethető a Maxwell egyenletekből. A levezetés kulcsa, hogy az eltolódási áram
szerepeljen az Ampere törvényben. A töltésmegmaradás törvényének imtegrálus
alakja.
A Maxwell-egyenletek nem függetlenek. A kontinuitási egyenletet felhasználva a
divergenciás egyenletek levezethetők a rotációs egyenletekből.
Az elektromágneses mező energiája, a Poynting-vektor.
Egy töltött testen az elektromágneses mező munkát végez. A mező által végzett
munka megegyezik a mező energiájának csökkenésével. Az elektromágneses
mezőhöz rendelhető energia levezethető a munkatétel alapján. Kiindulás az
elektromágneses mezőben mozgó töltés mozgásegyenlete, illetve a munkatétel.
Másrészt a töltésen végzett munka kifejezését a Maxwell-egyenletek segítségével is
föl lehet írni. A mennyiségek dimenziója alapján definiálható az elektromágneses
mező energiasűrűsége és a Poynting-vektor (a felületen kiáramlott teljesítmény). A
kapott eredmény megmaradási tétel alakú, eszerint a részecske és mező együttes
energiájának változása a felületen időegység alatt kiáramlott elektromágneses
energiával egyezik meg.
Hasonló megmaradási tétel felírható a lendületre is, itt levezetés nélkül. A részecske
és a mező együttes lendületének megváltozása a határfelületen ébredő erővel (a
felületen időegység alatt kiáramlott lendülettel) egyezik meg.
Közegek elektrodinamikája
Elvileg a vákuumban felírt Maxwell-egyenletek közeg esetén is érvényesek, azonban
a megoldásuk gyakorlatilag lehetetlen. Először is a töltött részekék száma nagyon
nagy, másodszor makroszkopikus szempontból a mezők változása atomi méreteken
belül nem lényeges. A makroszkopikus mérések a tényleges mező, illetve
töltéseloszlás átlagát regisztrálják. Az anyagok elektromos és mágneses
tulajdonságainak kezelésére további térjellemzőket (D és H) vezetünk be.
A fenomenológiai egyenletek
A D eltolódási vektor forrásai a makroszkopikus töltések. A H gerjesztettségi vektor
forrásai a makroszkopikus áramok és az eltolódási áram.
A Maxwell-egyenletek közegekben érvényes alakja differenciális alakban:
ρ
=
⋅
∇ D
,
,
,
D
J
H
&
+
=
×
∇
B
E
&
−
=
×
∇
0
=
⋅
∇ B
Az egyenletek a Gauss- és a Stokes-tételek segítségével integrális alakban is
megadhatók.
Anyagi egyenletek
Lineáris közegek esetén az D(E) és a H(B) függvénykapcsolat konkrét alakja. A
dielektromos állandó, elektromos szuszceptibilitás, a polarizációs vektor különböző
anyagok esetén. A mágneses permeabilitás, mágneses szuszceptibilitás, a
4
mágnesezettségi vektor. Para-, dia- és ferromágneses anyagok.
Ohm törvénye és a vezetőképesség.
Határföltételi egyenletek
A térjellemzők (D, E, B, H) viselkedése két közeg határán.
Az eltolódási vektor normális komponense nem folytonos, ha van felületi
töltéssűrűség. A mágneses indukcióvektor normális komponense folytonos.
Bizonyítás a Gauss-törvény integrális alakjából kiindulva.
Az elektromos térerősségvektor felületi irányú komponense folytonos, a
gerjesztettségi vektor felületi komponense ugrást szenved, ha felületi áramok is
vannak. Bizonyítás az Amper-törvény integrális alakjából kiindulva.
A sztatikus elektromos mező
A legegyszerűbb alkalmazása a Maxwell-egyenleteknek az időben állandó, sztatikus
mezők vizsgálata. Időben állandó töltések hozzák létre. A Maxwell egyenletekben
sztatikus mezők esetén az időderiváltak nullák.
Potenciál, tetszőleges töltéseloszlás potenciálja
Mivel most
, az elektrosztatikus mező konzervatív, amiből következik, hogy
az elektromos mező egy skalárfüggvény segítségével leírható.
. Φ neve
skalárpotenciál, fizikai jelentése a mező által a próbatöltésen végzett munka,
miközben a töltés az adott pontból a végtelenbe kerül.
0
=
×
∇ E
Φ
−∇
=
E
A Coulomb-törvényből kiindulva általánosításként megkapható a Gauss-törvény.
A ponttöltés elektromos térerőssége és potenciálja.
A potenciálegyenlet tetszőleges töltéssűrűség esetén. A potenciálegyenlet
megoldásának felírása a szuperpozíció elve alapján.
Néhány gondolat a ponttöltés töltéssűrűségéről és a Dirac-deltáról.
Elektrosztatikai peremérték problémák: A potenciál-egyenlet megoldása különböző
töltéseloszlások esetén. A tükörtöltés módszere végtelen vezető sík és vezető gömb
esetére.
Multipólusok
Véges térfogatot kitöltő (lokalizált) töltésrendszer potenciálja nagy távolságból nézve
végtelen összegként felírható. Az egyes potenciáltagok az n-ed rendű multipólus-
momentumok és távolság n-ik hatványának hányadosai, ahol a multipólus-
momentumok kizárólag a töltésrendszerre jellemző mennyiségek, a távolságtól nem
függenek. Megmutatjuk, hogy a nullad rendű momentum a rendszer össztöltése, az
első rendű a dipólus-momentum, a másodrendű az elektromos kvadrupólus-
momentum. Tehát nagy távolságból minden véges méretű töltésrendszer
ponttöltésként közelíthető.
Különböző töltéselrendezések dipólus és kvadrupólus momentumainak
meghatározása.
5
Energiaviszonyok sztatikus mezőben
Megmutatjuk, hogy a mező energiája a töltések kölcsönhatási energiája, az a munka,
amivel a mező fölépíthető a töltések egymásra hatását figyelembe véve.
Véges töltésrendszer energiája külső elektromos mezőben. A külső mező lassan
változik, forrásai messze vannak. Az energia kifejezése töltés⋅potenciál,
dipólus⋅térerősség tagokkal kezdődik. A dipólus-dipólus kölcsönhatási energia.
Az elektrosztatikus energia dielektromos közegben. A munka egy része a közeg
megfelelő polarizációs állapotának létrehozására fordítódik. Az eredmény azonos az
elektrosztatikus kölcsönhatási energiára kapott kifejezéssel. Az elektromos
energiasűrűség kifejezése lineáris közeg esetén.
A kapacitás definíciója. Különböző elrendezések kapacitásának meghatározása.
Sztatikus és kvázisztatikus mágneses mezők
Bevezetés
Stacionárius áramok által keltett mező. A kontinuitási egyenlet stacionárius
áramokra.
Mivel
, a B mágneses indukcióvektor egy A vektorpotenciálból
származtatható
0
=
⋅
∇ B
A
B
×
∇
=
szerint. A vektorpotenciál egyenlete ugyanolyan alakú,
mint a skalárpotenciál egyenlete az elektrosztatikában. A sztatikus elektromos
mezővel való analógia alapján rögtön fölírható a potenciálegyenlet megoldása.
A Biot-Savart-törvény
A vektorpotenciál rotációját véve az indukcióvektorra kapott kifejezés a jól ismert
Biot-Savart törvény. A Biot-Savart törvény árammal átjárt vezetőre, és v sebességgel
mozgó töltésre.
Lokalizált árameloszlás mágneses tere
A mágneses mező nagy távolságból első közelítésben olyan, mint egy elektromos
dipólus tere. Mágneses momentumok. Áramhurok és mozgó töltés mágneses
momentuma. A mágneses momentum ás a spin kapcsolata.
Lokalizált árameloszlásra ható erő és forgatónyomaték külső mágneses mezőben.
Mágneses tükrök.
Energiaviszonyok
, k
vázisztatikus mezők
A Faraday-féle indukciós törvény figyelembevétele, a kvázisztatikus mező közelítés.
A mágneses mezőben tárolt energia, mint a mező fölépítéséhez szükséges munka.
A mágneses energia és energiasűrűség kifejezése mágnesezhető közeg jelenlétében.
Analógia az elektrosztatikus mezők megfelelő mennyiségeivel.
Az ön- és kölcsönös indukció definíciója, egyszerű áramkörök indukciós
együtthatónak meghatározása.
6
Elektromágneses síkhullámok, hullámterjedés
A Maxwell-egyenletek fontos tulajdonsága az energiát szállító, haladó hullám alakú
megoldások létezése. A legegyszerűbb és legalapvetőbb elektromágneses hullámok
transzverzális síkhullámok. Csak a síkhullámok terjedésével foglalkozunk, a
hullámok forrásainak vizsgálata az Elektrodinamika haladó kurzus témakörébe
tartozik.
Síkhullámok szigetelő közegben
Elektromágneses síkhullám fogalma, tulajdonságai. A síkhullám megoldás kielégíti a
hullámegyenletet, illetve a Maxwell-egyenleteket. Transzverzális jelleg, az energia
kifejezése és energiaterjedés a síkhullámban. Monokromatikus síkhullámok.
A síkhullám polarizációs tulajdonságai
Monokromatikus síkhullámban az E és B vektorok végpontja szabályos görbét
(ellipszist) ír le: a hullám elliptikusan poláros. Lineárisan és cirkulárisan polarizált
hullámok. A fordított probléma adott síkhullám polarizációs állapotának
meghatározása. A Stokes-paraméterekkel a hullám polarizációs állapotának felírása,
geometriai szerkesztés.
Elektromágneses hullámok áthaladása különböző közegek sík határfelületén
Jól ismert és gyakorlati szempontból fontos az eltérő közegek sík határfelületén
bekövetkező fényvisszaverődés és fénytörés jelensége.
Kinematikai jellemzők:
1. A beesés szöge egyenlő a visszaverődés szögével.
2. Snellius-Descartes törvény.
Dinamikai jellmezők:
1. A visszavert és megtört sugárzás intenzitása
2. Fázisbeli és polarizációs változások.
A fenti törvények levezetése a határföltételi egyenletek felhasználásával.
A reflexiós polarizáció. Teljes visszaverődés energiaviszonyai.
Síkhullámok terjedése anizotrop közegben, a kettős törés.
Anyagi egyenletek anizotrop közegben, a dielektromos tenzor tulajdonságai.
Monokromatikus síkhullámok állapotvektorainak iránya a Maxwell-egyenletek
alapján a kristályban. Az energia kifejezése, az energia terjedés iránya.
Egyszerű geometriai modell a kettős törés meghatározására. Az optikai tengely
fogalma, egy- és kéttengelyű kristályok.
Dielektrikumok és vezetők diszperziós jellemzői
A dielektromos állandó frekvenciafüggése miatt számos új jelenség lép föl a
hullámok terjedésében. A megértéshez első lépés a dielektromos állandó
7
frekvenciafüggésének elemi modellje. Normális diszperzió és rezonáns abszorpció.
Az elektromos vezetőképesség Drude-féle modellje. Alacsony frekvenciás határeset,
magas frekvenciás határeset, a plazmafrekvencia. Síkhullámok terjedése vezetőkben.
A szkin-effektus.
Az elektromágneses sugárzás
Az elektromágneses hullámok keltésének alapjait tárgyalja ez a fejezet.
Az inhomogén hullámegyenlet levezetése a Maxwell-egyenletekből. Az inhomogén
hullámegyenlet megoldásainak az ún. retardált potenciáloknak tulajdonságai.
A legegyszerűbb sugárzó rendszer, a harmonikusan rezgő pontszerű dipólus
vizsgálata. Az elektromos és mágneses erővonalak, a kisugárzott energia.
8
A speciális relativitáselmélet alapjai
Bevezetés
A speciális relativitáselmélet abból a kérdéskörből nőtt ki, hogy milyen
vonatkoztatási rendszerben érvényesek az elektrodinamika törvényei, ezért
tárgyaljuk az elektrodinamikához kapcsolódva. A relativitáselmélet túlnő az eredeti
kérdéskör megválaszolásán, és ma egész fizikai világképünk alapjának tekintjük.
Kidolgozásában jelentős szerepet játszott Lorentz, Poincaré, Laue, Planck és mások, a
legfőbb érdem azonban Einstené.
A vonatkoztatási rendszer kérdése a klasszikus mechanikában
A vonatkoztatási rendszerről a Newton-axiómák adnak felvilágosítást. A Newton-
axiómák felidézése. Globális és lokális inerciarendszerek. A Galilei-féle relativitási
elv szerint végtelen sok inerciarendszer létezik, az egymáshoz képest egyenes vonalú
egyenletes mozgást végző rendszerek inerciarendszerek a mechanikai jelenségek
szempontjából. Az inerciarendszerek kapcsolata a Galilei transzformáció. A newtoni
mozgásegyenletek teljesítik a Galilei elvet.
A vonatkoztatási rendszer kérdése az elektrodinamikában
Már Maxwell tudta, hogy egyenletei nem invariánsak a Galilei transzformációval
szemben. Egy példa: síkhullám fázisának változása. Következtetés: Ha a Galilei-
transzformáció igaz, akkor az elektrodinamika egyenletei kitüntetnek egy
vonatkoztatási rendszert. Ez az éterhez rögzített rendszer. A Michelson-kísérlet az
abszolút koordunátarendszer létezésének kimutatására szolgált. Próbálkozások a
kísérlet kudarcának megmagyarázására.
Einstein-posztulátumai:
1.
Az ekvivalencia elve: Az inerciarendszerek a fizikai jelenségek szempontjából
egyenértékűek, semmilyen fizika jelenség sem tüntet ki vonatkoztatási
rendszert.
2.
A fénysebesség állandóságának elve: a fény sebessége a forrástól és a
vonatkoztatási rendszertől független fizikai állandó.
A posztulátumok következményei: nincs abszolút idő. Az esemény (abszolút és
relatív vonatkozások), a megfigyelő fogalma. Az idő, az időmérés, az órák
szinkronizálása, azaz a koordinátarendszerben mért idő beállítása. Helykoordináták,
a hosszúság mérése nyugvó és mozgó tárgyak esetén. Az egyidejűség, az
idődilatáció, a hosszúságkontrakció szemléltetése egyszerű példákon keresztül.
A Lorentz-transzformáció
Az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási
rendszereket a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz–transzformáció kapcsolja
össze. A Lorentz-transzformáció levezetése pusztán a posztulátumok felhasználása
segítségével. Kiindulás: egy esemény hely- és időkoordinátái között lineáris
9
kapcsolatnak kell fennállnia. A Lorentz-transzformáció vizsgálata, kis sebességre
visszaadja a Galilei-transzformációt, a fénysebesség határsebesség volta.
A Lorentz-transzformáció következményei
1. A négyestávolság invarianciája. A négyestávolság két esemény távolsága a
téridőben.
2. Az egyidejűség. Két esemény időbeli különbsége a koordinátarendszerektől függ.
3. Hosszúságkontrakció. Egy test x irányú hosszúsága abban a vonatkoztatási
rendszerben a legnagyobb, ahol nyugszik. Példák hosszúságkontrakcióra, a mérés és
látás különbsége.
4. Idődilatáció. Mozgó órák lassabban járnak.
5. Sajátidő. Abban a koordinátarendszerben mért idő, amelyben a részecske
pillanatnyilag nyugszik. A sajátidő invariáns (koordinátarendszetől független). Egy
kísérleti bizonyíték a müon élettartama. Az ikerparadoxon tárgyalása tér-idő
diagrammal.
6. A relativisztikus Doppler-eltolódás. A frekvencia és a hullámszám
transzformációja.
7. A sebességek transzformációja. A fénysebesség mint határsebesség.
Relativisztikus mechanika
A lendület relativisztikus alakja
Egy bomlási példa kapcsán bemutatjuk, hogy a lendület alakja a
relativitáselméletben nem lehet mv.
A lendület relativisztikus alakjának megállapítása a posztulátumok és a Newton-
axiómákból következő (tapasztalati) tények alapján. Két pontszerű test rugalmas
ütközésének elemzése tömegközépponti, majd az egyikkel együtt mozgő
rendszerből.
Erő, munka, kinetikus energia
Az erő most is a test lendületének megváltozása. A kinetikus energiát kalsszikusan a
munkatétel definiálja. A munka definíciója változatlan, így a munkatétel felírása a
kinetikus energiát fogja megadni. A test teljes energiája, és a nyugalmi energia.
Az energia és a lendület összefüggése. Az állandó gyorsulású mozgás relativisztikus
tárgyalása.
10
Dostları ilə paylaş: |