B I t I r u V m a L a k a V i y I sh I

Diskret Fure almashtirish(DFA) va teskari DFA

Har qanday davriy signal S(t) ning cheksiz ko^’p sinusoidal va kosinusoidal argumenti karrali tashkil etuvchilar va doimiy tashkil etuvchiyig^’indisi ko^’rinishida ifodalash mumkin. Bunday ifodalash Fure qatoriga yoyish deb ataladi va quyidagi matematik ifoda orqali ifodalanadi:

 

S(t)  a₀

• 
  _a_n cos(nT )  _b_n sin(nT ),
  

(2.1)

n1 n1

bunda t - mustaqil o’zgaruvchi bo’lib, odatda, vaqtni anglatadi, ammo u masofa yoki har qanday boshqa kattalik bo’lishi mumkin; S(t) – ko’p hollarda kuchlanish funksiyasining argument vaqtga bog’liqligini bildiradi, ammo har qanday boshqa

signalni ham bildirishi mumkin;
  2 / T_r
chastota asosiy (birinchi) garmonikasi

bo’lib, asosiy davriy chastota f bilan
  2f
ko’rinishda bog’liq, ^Tr
- signal

takrorlanish davri. Fure qatorining doimiy tashkil etuvchisi ^a0
quyidagi ifoda

orqali aniqlanadi:

a  ¹

0
T_r
T_r / 2
_ S (t)dt _,
T_r / 2

Signalning doimiy tashkil etuvchisi S(t) signalning bir davr vaqt bo‘yicha o‘rtacha qiymatiga mos keladi. Misol uchun o‘zgarmas kuchlanish sathi:

1. 
    ²
   

n _T


^Tк / 2
_ S(t) cos(nt)dt

^{r T}r / 2

2. 
    ²
   

n _T
^Tк / 2
_ S(t) cos(nt)dt

^{r T}r / 2
^n chastota ^ chastotaning n-garmonikasi deyiladi. Demak, cheksiz qator
chastotaga bogiiq boigan turli amplitudali an va bn kosinusoidal va sinusoidal

chastotalari musbat ^n
garmonikali tashkil etuvchilardan iborat. Bu qatorni

eksponensial funksiya yordamida ixchamroq impuls xarakteristikasi shaklda ham ifodalash mumkin:

S(t) 




n
_d
n
_eint _,

(2.2)

bunda
d_n 

T_r / 2

1
_ S(t)e ^int dt

(2.3)

r
^Tr T / 2

kompleks sonlar bo’lib, |d_n| — voltlarda baholanadigan kattalik.

(2.1) ifodada elementar tashkil etuvchilar yig‘indisini aniqlashda n ning manfiy

qiymatlari ham hisobga olinadi, qatorning yarim tashkil etuvchilari
^n manfiy

chastotaga ega bo’ladi. Ular fizik qiymatga ega boimaydi va faqat matematik tushunchalar bo’ib, buning natijasida kompleks amplituda d_n laming modullari
| dn | miqdor jihatdan ikki marta kichik qilib olingan. Bu musbat va manfiy chastotalarda mos amplitudalar bir-biriga teng etib taqsimlanganligini anglatadi.

Natijada chastotasi ^n
bo’lgan tashkil etuv- chining haqiqiy qiymati hisoblab

topilgan qiymatni ikkiga ko‘pay- tirish orqali aniqlanadi [9].

n

n
Signalning kompleks va trigonometrik shakldagi ifodalari bir- biri bilan

quyidagicha boglangan:

| d_n
| (a ²
_{ b}2 ₎1/ 2 _,

(2.4)
_т  arctg(b_n

/ a_n ),

(2.5) bunda
_n 
n-garmonikali tashkil etuvchisining boshlang’ich fazasi bo’lib,

uni dn ning mavhum va haqiqiy tashkil etuvchilarining arktangensi sifatida aniqlanadi. Demak, signalning har bir garmonikasi o’zining amplitudasi va fazasi siljishi bilan xarakterlanadi.
Agar signal davriy bo‘lmasa, u holda Fur’e qatoriga yoyish moslashtiriladi. Misol tariqasida 2 – rasmda keltirilgan to‘g‘ri burchakli impulslar ketma –

ketligidan impulslar takrorlanish davri T_r
ni cheksizlikkacha davom ettirish

natijasida yagona to‘rtburchakli impulsni hosil bo‘lishini ko‘rib chiqamiz .

T_r ni kattalashtirib borilsa, garmonikalar orasidagi
1/T_r
  / 2
bo‘lgan

masofa
d / 2
gacha kichiklashib boradi va nolga teng bo‘ladi.

t  T_r / 2
t  0
t  T_r / 2
t  T

2– rasm. Davriy takrorlanuvchi to‘rtburchakli impuls.
Bu o‘zgaruvchi diskret chastota n dan uzluksiz o‘zgaruvchi  ga o‘tishga,
shu bilan vaqtda zamonaviy va amplitudaviy va amplitudaviy spektr ham uzluksiz

bo‘lishiga olib keladi. Demak,
T_r  bo‘lganda,
d_n  d
bo‘ladi. Ushbu

o‘zgartirishlar e’tiborga olinsa, (2.3) ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi:

d   ^d
2

_ St e


• 
  jt
  

dt.

(2.6)

Qulay bo‘lishi uchun (2.6) ifodani
d / 2 ga bo‘lib, quyidagiifodani olamiz:

d  _

  
_{ }  jt

d / 2 ^{F j}
_ S t e

dt.
(2.7)

Bu formuladigi
F j Fure integrali yoki oddiygina Fure tasviri (ko‘rinishi)

deb ataladi.
F j ni haqiqiy va mavhum qismlari yig‘indisi shaklida quyidagicha

ifodalash muhim, agar
F j  Re j 
bo‘lsa, u holda


j Im j 


F je ^{j },
(2.8)

F j  Re²  j  Im²  j1/ 2

(2.9)

bo‘ladi va bu kattalik voltdan emas, V / Hz
larda baholanadi.
F j
ni amplituda

zichligi, ba’zan esa amplitudada spektrli zichligi yoki amplituda spektri deb

ataladi. Amplitudada spektriga mos ravishda faza siljishi aniqlanadi:

quyidagicha

  arctgIm j/ Re j.
(2.10)

F  j²


qiymati
V ² / Hz ²

shaklda baholanadi. Normallashtirilgan elektr

quvvati, ya’ni qarshiligi 1 Om bo‘lgan qarshilikka ajralib chiqayotgan quvvat V ²

larda baholanadi, bu
J / s
yoki
J  Hz (Djoul bu energiya birligi) ni anglatadi, u

holda V ² / Hz ² kattalik JHz  Hz^2  J  Hz^1 ga teng bo‘ladi [7,8,9].

Demak,
F  j² bir taqsim Hz energiyani, ya’ni
F  j² - spektr

energiyasining zichligini anglatadi.
F j ning f ga bog‘liqligi grafigi ostidagi

yuza asosi
f₀  df
va f₀  df
plosa
f₀ chastotasi o‘rtacha kuchlanishini

ifodalaydi.
F  j²
ning f ga bog‘liqlik grafigi ostidagi yuza
f₀ chastotadagi

energiya o‘rtacha qiymatiga teng bo‘ladi. bundan tashqari, spektr tahlilida ko‘p hollarda spektr energiyasi zichligining chastotasiga bog‘liqlik grafigi (chizmasi) ham quriladi. Agar impulsdan oniy oliy uning markaziga (qoq o‘rtasiga) mos

kelsa, ya’ni

10. 
     ¹
    

2
bo‘lganda, ushbu impulsning Fure shakli (ko‘rinishi)

quyidagicha beriladi:
F i  ^{A sin / 2}  A sin

/ 2

(2.11)

 / 2

va haqiqiy hisoblanadi.
F  j
funksiya uzluksiz bo‘lib, uning
A 1
V , T_r
10 s

va   2
s qiymatlari uchun grafigi 2.3 – a rasmda tasvirlangan. Bu amplituda

spektr ioniy qiymatlar funksiyasiga proporsional bo‘lib, hamma vaqt ideal past chastota filtiriga to‘g‘riburchakli impuls ta’sirida hosil bo‘ladi, shu bilan birga har qanday davomiyligi t bilan cheklangan impuls tasirida ham yuzaga kelishi mumkin.

Shuni alohida ta’kidlash kerakki, funksiyaning chastotaga bog‘liqligidan vaqt funksiyasiga Fure teskari almashtirishi yordamida o‘tish mumkin. Bu holda

f t  

1. 
   _F
   



X
2 p _
ie
it
d 
X
_{ F}it _df

(2.12)

Amalda signal Fure tashkil etuvchilari, unga analog ishlov berish natijasida emas, raqamli hisoblashlar natijasi orqali aniqlanadi. Analog signal cheksiz ko‘p bir – biriga yaqin nuqtalardan iborat bo‘lganligi uchun hamma qiymatlarni ifodalash mumkin emas. Shuning uchun raqamli foydalanish uchun analog signalni

bir xil vaqt oraliqlarida diskretlash kerak bo‘ladi va bu oniy qiymat (o‘lchov) lari ikkilik raqamli signal shakliga keltirish kerak bo‘ladi.
Bu oniy qiymatni o‘lchash xotirasida saqlash konturi yordamida amalga oshiradi, so‘ngra analog – raqamli o‘zgartirish amalga oshiriladi. Analog signalni yuqori aniqlik bilan tiklash uchun bu bir sekund davomida olingan oniy qiymat (o‘lchash) lar soni etarli darajali bo‘ladi. Nazariy nuqtayi nazardan diskretlash

kerakli tezligi Naykvist chastotasi deb ataladi va

2. 
   f _yu
   

ga teng,
fu 
signalning

amplitudasi sezilarli darajada kata eng yuqori chastotali sinusoidal ko‘rinishdagi tashkil etuvchisi chastotasi.

Shunday qilib, o‘zgartirishi kerak bo‘lgan hamma ma’lumotlar diskret va nodavriy ham bo‘lishi mumkin. Shuning uchun Fur’e almashtirishidan foydalanish mumkin emas, chunki u uzluksiz ma’lumotlar uchun mo‘jallangan. Ammo, shunday analog almashtirish borki, uni diskret ma’lumotlarga ham qo‘llash mumkin – bu Fur’e diskret almashtirish (FDA) [15].
Faraz qilaylik analog signalni bir xil vaqt T oraliqdagi diskretlash natijasida
N ta oniy qiymat (o‘lchash) ga ega bo‘lgan quyidagi diskretlash ketma – ketlik

olingan bo‘lsin,
xnT  x0, xt,...xN 1T 
bunda
n olingan oniy qiymat

tartib raqami bo‘lib,
n  0
dan
n  N 1
gacha qiymatlarini qabul qiladi.
xnT 

qiymati faqat kuchlanish spektriga tegishli vaqt qatoriga tegishli qiymatlarini ifodalanganda haqiqiy kattalik bo‘ladi.

n0
Shuning uchun signalning vaqt bo‘yicha bo‘yicha haqiqiy bo‘lgan N ta qiymatlari FDA ning chastota bo‘yicha N ta kompleks qiymatlariga aylanadi:

xk   F_D
xnT   _^{N 1}xnT e^itknT , k  0,1...,N 1,
(2.13)

bunda
F_D orqali Fur’e diskret almashtirishi belgilangan.
Teskari Fur’e diskret almashtirish (TFDA) quyidagicha aniqlanadi:

xxT   F ^1xk   ¹ _^{N 1} X k e^iknT , n  0,1...,N 1

(2.14)

^D _N k 0

D
bunda
F ^1 orqali Fure diskret almashtirishi belgilangan.

2.