Reja: maydonlar nazariyasi

Vektor maydonning divergensiyasi.
α(M) vektor maydonning asosiy differensial xarakteristikalaridan biri – uning
divergensiyasidir. (5) vektor maydonningdivergensiyasi deb
divα=𝜕P/𝜕x+ 𝜕Q/𝜕y+ 𝜕R/𝜕z
ifodaga aytiladi. Divergensiya quyidagi xossalarga ega:

div(c₁α₁+-c₂α₂)=c₁divα₁+ c₂divα₂ (chiziqliligi),

div(φα)=φdivα+αgradφ
agar α=const bо’lsa, divα=0 va div(φα)= αgradφ.
B sohada 𝑑𝑖𝑣𝑎(𝑀)=0 tenglikni qanoatlantiradigan 𝑎(𝑀)vektor maydon bu
sohada solenoidal (naysimon) maydon deyiladi.
Vektor maydon rotori.
Dekart koordinatalari sistemasida (5) formula bilan berilgan 𝑎 𝑀
vektor maydonining rotori deb

𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑜𝑡𝑎(𝑀) = 𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧=(𝜕𝑅/𝜕𝑦- 𝜕𝑄/𝜕𝑧)𝑖+(𝜕𝑃/𝜕𝑧- 𝜕𝑅/𝜕𝑥)𝑗+(𝜕𝑄/𝜕𝑥- 𝜕𝑃/𝜕𝑦) 𝑘

𝑃 𝑄 𝑅 (6)

ifodaga aytiladi. (6) formuladagi determinant birinchi satr elementlari bо’yicha

yoyilayotganda, ikkinchi satr elementlarining uchinchi satr elementlariga kо’paytmasi
sifatida tegishli xususiy hosilatushiniladi.
Masalan,
𝜕/𝜕𝑥∙𝑄=𝜕𝑄/𝜕𝑥.
Rotorning differensiallash bilan bog„liq xossalari ;
1) 𝑟𝑜𝑡(𝑐₁𝑎₁+𝑐₂𝑎₂₎=𝑐₁𝑟𝑜𝑡𝑎₁+𝑐₂𝑟𝑜𝑡𝑎₂,
2) 𝑟𝑜𝑡(𝜑𝑎)=[𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 ∙ 𝑎]+ 𝜑 𝑟𝑜𝑡𝑎,
3)agar 𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bо’lsa, u holda 𝑟𝑜𝑡𝑎=0 va 𝑟𝑜𝑡(𝜑𝑎)= = [𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑𝑎 ]
Agar B sohada 𝑟𝑜𝑡𝑎 𝑀 = 0 bо’lsa, bu sohada 𝑎 (𝑀) uyurmasiz maydon deyiladi.
Nabla operatori. Ikkinchi tartibli differensiallash amallari
Skalyar maydondan gradiyent olish amalini, vektor maydondan divergensiya va rotor

olish amallarini nabla (Gamelton) operatori deb ataladigan, quyidagi

∇= 𝑖𝜕/𝜕𝑥+𝑗𝜕/𝜕𝑦+𝑘𝜕/𝜕𝑧
simvolik vektor yordamida ifodalash mumkin. Aniqroq aytadigan bо’lsak,
∇φ = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑, ∇𝑎 = 𝑑𝑖𝑣𝑎 , ∇𝑎 = 𝑟𝑜𝑡𝑎
Nabla-birinchidan, chiziqli differensiallash operatordir, ya’ni uning tadbiqi chiziqlilik
xossalariga ega hamda kо’paytmani differensiallash qonuniga bо’ysunadi. Ikkinchidan,
u vektor operatordir, ya’ni kо’p hollarda ga vektorlar algebrasi formulalarini tadbiq
qilish mumkin. Ammo, shuni unutmaslik lozimki , u yoki bu vektorni operator bilan
almashtirish natijasida hamma vaqt ham tо’g’ri munosabat hosil bо’lavermaydi. Masalan;
𝑎[𝑎 ∙ 𝑏] = 0 tenglikdagi 𝑏 vektor ∇ bilan almashtirilganda u tо’g’ri tenglik bо’lmay qoladi.
Shu sababli ga vektor sifatida qaralib , hosil qilinadigan har qanday formal operatsiyaning
tо’g’riligini tekshirib kо’rilishi lozim, ammo bir qator qoidalar mavjudki, operator
bilan ish kо’rilayotganda bu qoidalarga rioya qilinsa, tо’g’ri natijaga kelinadi. Shunday
qoidalardan ba’zilarni keltiramiz ;
a) ∇ bilan ish kо’rilayotganda differensiallash qoidalariga rioya qilish kerak,
b) Vektorlar algebrasi qoidalariga kо„ra almashtirish bajarilayotganda, ∇ kо’paytmadagi
oxirgi о„ringa tushib qolmasligi kerak. Kо’paytmadagi oxirgi о’rinda ta’sir
ettirilayotgan kо’paytuvchi, undan oldin esa turishi mumkin, operator ikki marta
ta’sir ettirilsa [∇ ∇ ]= 0 deb hisoblash lozim.
∇²= ∆=𝜕²𝜑/𝜕𝑥²+𝜕²𝜑/𝜕𝑦²+𝜕²𝜑/𝜕𝑧²
Laplas operatoridir. Agar 𝜑 −skalyar maydon bо„lsa,
∆𝜑 =𝜕²𝜑/𝜕𝑥²+𝜕²𝜑/𝜕𝑦²+𝜕²𝜑/𝜕𝑧²,
agar 𝑎 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 − vektor maydon bо„lsa,
∆𝑎 = ∆𝑃𝑖 + ∆𝑄𝑗 + ∆𝑅𝑘

Ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi skalyar va vektor maydo nlar uchun hammasi bо„lib 5 ta 2-tartibli differensiallash amallari

mavjud :
1.𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = ∆𝜑 ,
2. 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 0
3. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎 = ∇(∇𝑎)
4. 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎 = 0
5. 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎 − ∆𝑎 .
2. va 4. tengliklar 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 uyurmasiz maydon ekanini,
𝑟𝑜𝑡 𝑎 (𝑀) solenoidal maydon ekanligini kо'rsatadi.