Reja: Funksiya differensiali va uning funksiya hosilasi bilan bog’liqligi

Differensialning fizik ma’nosi

Moddiy nuqta s=f(t), bu erda s –bosib o‘tilgan yo‘l, t-vaqt, f(t)-differensial-lanuvchi funksiya, qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin.

t vaqt oralig‘ida nuqta s=f(t+t)-f(t) yo‘lni bosib o‘tadi. Yo‘lning bu orttirmasini
s=f’(t)t+(t)t
ko‘rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yo‘lni nuqta biror o‘zgaruvchan tezlik bilan bosib o‘tgan. Agar t vaqt oralig‘ida nuqta o‘zgarmas f’(t) tezlik, ya’ni t vaqtdagi tezligiga teng tezlik bilan harakatlandi desak, bu holda bosib o‘tilgan yo‘l f’(t)t ga teng bo‘ladi. Bu esa yo‘lning differensialiga teng: ds= f’(t)t.


Elementar funksiyalarning differensiallari

Elementar funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning differensiallari uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:

1. d(x^)=x^–1dx (x>0);
2. d(a^x)=a^xlna dx (a>0,a1);
3. d(log_ax)= ;xususan, .
4. d(sinx)=cosxdx;
5. d(cosx=-sinxdx;
6. d(tgx)= ;
7. d(ctgx)=- ;
8. d(arcsinx)= ;
9. d(arccosx)=- ;
10. d(arctgx)= dx;
11. d(arcctgx)=- dx
Differensial topish qoidalari

Funksiya differensiali ta’rifi va hosila topish qoidalaridan quyidagi tasdiqlarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:

a) Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining differensiali ularning differensiallari yig‘indisiga teng.
Masalan, ikki funksiya yig‘indisi uchun bu tasdiqni quyidagicha yozish mumkin
d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))’dx=(u’(x)+v’(x))dx==u’(x)dx+v’(x)dx =du+dv.
b) Quyidagi d(u(x)v(x))= v(x)du+u(x)dv formula o‘rinli.
v) Quyidagi d(Su(x))=Sdu formula o‘rinli.
g) Bo’linmaning differensiali uchun quyidagi
d( )= formula o‘rinli.