Q. Y. Abbasova Sosial proseslərin modelləri. Dərslik. Rus dilindən tərcümə. B.: 2016

17. Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии. M., 1999. 
18. Форрестер Дж. Мировая динамика M., 1978. 
19. Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35  years // A Systems  - based 
approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B. Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239. 
20. Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems// Eur. J. of Opnl. 
Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109. 
21. Hanneman  R.A. Computer-assisted  theory  building.  Modeling  dynamic  social 
systems. N. Y.: Sage. 1988. 
 22. Harvey  D.L.,  Reed  M. Social  Science  as  the  Study  of  Complex  Systems  //  Chaos 
Theory  in  the  Social  Sciences  /  Ed.by  L.D.Kiel  and  E.Elliot  Ann  Arbor.  The  Univ.  of 
Michigan Press, 1996. P. 295-323. 
23.  Huckfeldt  R.R.,  Kohfeld  C.W.,  Likens  T.W. Dynamic  modeling.  An Introduction. 
Newbery Park: Sage, 1982. 
24. Olinick  M. An  Introduction  to  mathematical  models  in  social  and  life  scince.  N.Y., 
1978. 
25. Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 
1983. 
26. Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960. 
27. Weidlich  W. Stability  and  Cyclicity  in  Social  Systems  //  Behavioral  Sci.  Vol.  33. 
1988. P. 241-256. 
 
FƏSİL 13. XAOS VƏ KATASTROFA MODELLƏRİ 
 
13.1. “Quraşdırma” katastrofasının riyazi modeli 
 
Katastrofalar  nəzəriyyəsinin  əsas  müddəalarını  ―quraşdırma‖  katastrofasının 
nümunəsində nəzərdən keçirək, hansına ki, aşağıdakı differensial tənlik uyğun gəlir. 
dx/dt= - x
3
+ bx + a                                           (13.1) 
burada  a  və  b  parametrlərinin  qiymətləri  variasiya  edəndə  sistemin  də  davranışı 
(stasionar  nöqtələrin  sayı,  onların  yeri)  da  dəyişəcəkdir.  Bu  dəyişikliklərin  keyfiyyət 
xarakterini öyrənmək üçün potensial funksiyanı nəzərdən keçirək. 
F (x,a,b) = x
4
 / 4 - bx
2
 / 2-ax 
Qeyd edək ki,  F(1,a,b) = х 4 /4 - b12 /2 - ах. 
Şəkil  13.1-
də  F  funksiyasının 
davranışını 
xarakterizə 
edən 
ikiölçülü  qrafiklər 
göstərilmişdir. Şəkil 
13.1.a-da 
bifurkasion 
əyri 
adlandırılan 
əyri 
(4b
3
 – 27a
2
) təsvir olunmuşdur. Bu əyri müstəvini 2 hissəyə (a, b) bölür. Əyrinin daxilində 
F funksiyası iki minimuma (şəkil 13.1.b) malikdir. Bu əyrinin hüdudlarından kənarda isə F 
funksiuası  ancaq  bir  minimuma  malikdir  (13.1.b).  məlum  olduğu  kimi  F  funksiyasının 
ekstremal qiymətlərini birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirməklə müəyyən etmək olar:  
x
3
 – bx – a=0                                                 (13.2) 
Şəkil 13.2. 

---

Həmçinin  r  funksiyasının 
tədqiqini 
keçirmək 
məqsədə 
uyğundur,  bunun  üçün  (-5;  5) 
intervalından  fiksasiya  olunmuş  y 
qiymətlərinin 
yanında 
qafiklər 
seriyasını qurmaq lazımdır. 
Əgər 
üçölçülü 
məkanda 
şaquli 
oxda 
tənliyin 
xüsusi 
nöqtələrinin  vəziyyətini  əks  etdirsək 
(13.1) х*, х*, qalan iki ox üzrə isə a 
və  b 
parametrləri 
göstərsək, 
onda 
katastrofalar  (fəlakətlər)  səthini  əldə 
etmiş 
oluruq  (şək.  13.2).  Проекция  на 
плоскость  параметров  (а,  b)  özündə  şaquli  xətt  olan  parametrlər  üzərinə  aparılan 
proyeksiya bifurkasiya əyrini bizə verir. (13.2) tənliyi bu cür yenidən yazaq:  
х
3
 - ух- 3 = 0, (13.3) 
burada  у  =  b;  3  =  а.  hesab  etmək  olar  ki,  bu  tənlik  qeyrixətti  funksiya  tapşırığını 
bizə verir, burada у və z – müstəqil dəyişən, х isə asılı dəyişəndir. Bu funksiyanın qrafikini 
üç ölçülü məkanda Ecsel vasitəsilə təsvi etmək olar. Burada əsas çətinlik ondan ibarətdir ki, 
bəzi  mənalarda  bu  funksiya  öz  təkmənalılığını  itirmiş  olur.  Bununla  belə  bu  funksiyanın 
qrafikini çəkmək olar. Məsələn, əgər (13.3) asılı dəyişən z-dürsə, onda belə yazmaq olar:  
z = х
3
– ху(13.4)  
bu  isə  iki  dəyişənin,  yəni  x  və  y  –  in  adi  funksiyasıdır  və  onu  elektron  cədvəllər 
vasitəsilə quraşdırmaq olar.  
§12.3-də  göstərildiyi  kimi  müstəvidə  faza  portretinin  əsas  xarakteristikaları 
tarazlığın  vəziyyəti  və  ən  son  sikllərdir.  Separatrisalar  tarazlığın  vəziyyəti  və  ən  son 
dövrlərdir.  Separatrisalar  tarazlığın  yəhər  vəziyyətini  xüsusi  nöqtələr  və  ən  son  sikllərlə 
bağlayırlar.  əgər  struktur  –  müvazinət  parametrlərini  dəyişsək,  onda  faza  portreti  də 
dəyişməyə  başlayacaq,  amma  onun  topoloji  strukturu  parametr  qiymətlərinin  müəyyən 
diapazonunda  sabit    qalacaqdır.  Parametlərin  kritik  qiymətlərinə  çatan  zaman  bifurkasiya 
baş verir – faza portretinin topoloji strukturu dəyişir. Dinamik sistemin parametrlərdən asılı 
olan  keyfiyyətli  tədqiqi  onda  ola  biləcək  bütün  mümkün  bifurkasiyaların  təsvirini  və 
parametrlərin çoxlu bifurkasiya qiymətlərinin müəyyən etməyi nəzərdə tutur. 
Bir parametrdən asılı olan sistemi nəzərdən keçirək. Şəkil 12.5-3 qayıdaq. Hansında 
ki, müvazinət nöqtəsi ətrafında tipik faza portretləri təsvir olunmuşdur. İki halda müvazinət 
vəziyyəti  sabit  sayılır  (sabit  fokus  və  yəhər)  və  üç  halda  isə  qeyri-sabit  sayılır  (yəhər  və 
qeyri-sabit düyün, fokus). 
Əgər  sistemin  dəyişməsi  prosesində  parametr  bifurkasiya  qiymətinə  yaxınlaşırsa, 
onda  ya  iki  müvazinət  vəziyyəti  birləşir  və  ―ölür‖  (sistem  başqa  rejimə  keçərək  sıçrayış 
edir)  və  ya  müvazinətin  iki  yeni  vəziyyəti  ―doğulur‖.  Həm  də  ki,  müvazinətin  iki 
vəziyyətindən biri sabit, digəri isə qeyri-sabit olur. 
Son  hədd  dövrünün  yaranma  situasiyası  aşağıdakı  tənliklər  sistemi  ilə  illüstrasiya 
oluna bilər. 
 
????????????/???????????? = ???????????? − ??????3
????????????/???????????? = ??????
                                              (13.5) 
burada c – konstantadır r və f əks koordinatlardır. (x=rcos cp; j/rsin+p). Əgər A˂0, 
onda  (13.5)  dinamik  sistemi  bir  sabit  fokusa  malikdir.  Əgər  A  parametri  dəyişirsə  və 
müsbət  olursa,  onda  Xonfa  –  nında    bifurkasiyası  baş  verir,  fokus  müvazinətini  itiri  ə 
sistemdə ˃X(1) radiuslu sabit son hədd sikli yaranır. (13.5) sisteminin faza portreti bu halda 
daxildən  və  xaricdən  son  hədd 
siklinə 
―sarılan‖ 

---