O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim fan va innovatsiyalar vazirligi farg‘na davlat universitedi matematika-Informatika fakulteti Matematika yo‘nalishi

1-teorema. tengsizlik tengsizlikka teng kuchli.
2-teorema. Ushbu (4) tengsizlik (5) tengsizlikka teng kuchli.
3-teorema. Agar (6) bo‘lsa, u holda yoki bo‘ladi.
4-teorema. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Natija. Ushbu (7) va (8) tengsizliklar teng kuchlidir.
5-teorema. Yig’indining absolyut qiymati qo ‘shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig’indisidan katta bo‘la olmaydi, ya’ni haqiqiy sonlar uchun (9) tengsidik o‘rinli.
6-teorema. Ikkita son ayirmasining absolyut qiymati bu sonlar absolyut qiymatlarining ayirmasidan katta yoki teng.
7-teorema. Ko ‘paytmaning absolyut qiymati ko‘paytuvchilar absolyut qiymatlarining ko‘paytmaslga teng.
8-teorema. Ikki son bo‘linmasining absolyut qiymati bo‘linuvchi absolyut qiymatining bo‘luvchi absolyut qiymatiga bo‘linganiga teng, ya’ni
1.2-§. Natural sonning sistematik ifodasi va pozitsion sanoq sistemasi
O‘rta maktab matematikasidagi barcha hisoblashlar o‘nlik sanoq sistemasi asosida o‘rgatiladi. Umuman olganda o‘nlik sanoq sistemasining yaratilishi matematika fanining rivoji uchun katta ahamiyatga ega bo‘ldi. Kishilik tarixida o‘nlik sanoq sistemasidan tashqari 12 lik, 60 lik, 7 lik, 5 lik, 2 lik va hokazo sanoq sistemalari bor. Bu sanoq sistemalarining hammasi bitta umumiy printsip asosida quriladi, ya’ni quyidagi teorema o‘rinli:
TEOREMA. t soni 1 dan katta natural son bo‘lib, to‘plam berilgan bo‘lsin. U holda. har qanday a natural son uchun ushbu
(1)
yoyilma mavjud va u yagonadir.
ISBOTI. Avvalo (1) yoyilmaning mavjudligini ko‘rsatamiz. Isbotni ning induksi-yasi asosida olib boramiz. bo‘lganda bo‘lib, tenglik biz izlayot-gan tenglik bo‘ladi. Faraz qilaylik, (1) yoyilma dan kichik bo‘lgan barcha natural sonlar uchun o‘rinli bo‘lsin. Unda qoldiqli bo‘lish teoremasiga asosan
(2)
mavjud bo‘lib, bo‘ladi. Farazimizga asosan (1) yoyilma dan kichik barcha natural sonlar uchun mavjud. Demak,
(3)
yoyilma ham mavjud. (3) ni (2) ga qo‘yamiz. U holda

Demak, (1) yoyilma son uchun ham o‘rinli ekan. Matematik induktsiya prinsipiga asosan, (1) yoyilma har qanday natural son uchun ham mavjud bo‘ladi.