Munosabatlar superpozitsiyasi. Tа’rif

Munosabatlar superpozitsiyasi.


Tа’rif. va binar munosabatlar uchun predikat quyidagicha aniqlangan bo`lsin: shart bilan aniqlangan ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, o`rinli bo`ladi. ga P va Q munosabatlarning superpozitsiyasi deyiladi.
Demak ,


Misol 1. ={1,2,3}, B={a, b, c} va C={x, y, z} to`plamlar berilgan bo`lsin.
P  A B={(1;a);(1:c);(2;b);(2;c);(3;a)};
Q  B C={(a; x);(a; y);(b; y);(b; z);(c; x);(c; z)};
A C\{(3;z)}={(1;x);(1;y);(1;z);(2;x);(2;y);(2;z);(3;x);(3;y)}.
Misol 2. ={a, b, c, d} to`plam berilgan bo`lsin.
P  ={(a; a);(a; b);(a; d);(c; a);(c; b);(d; a)},
u holda teskari munosabat
P^-1 ={(a; a);(b; a);(d; a);(a; c);(b; c);(a; d)} bo`ladi.
Quyidagilarni hisoblaymiz: :
а) = {(a; a);(a; d);(d; a)};
b) ={(a; a);(a; c);(a; d);(c; a);(c; c);(c; d);(d; a);(d; c);(d; d)};
v) ={(a; a);(a; b);(a; d);(b; a);(b; b);(b; d);(d; a);(d; b);(d;d)}.
Bundan ko`rinadiki, , ya`ni superpozitsiya amali kommutativ emas.


Teоremа 1. munosabat uchun quyidagilar o`rinli
а) ;
б) .
Isboti: a) ni olib qaraylik, uning uchun shunday topiladiki, va . Biroq dan x=z kelib chiqadi, demak , u holda .
Endi bo`lgan holni qaraymiz, bu holda va hosil bo`ladi. Ya`ni shunday topiladiki, uning uchun va bo`ladi, demak .
б) shart ham shunga o`xshash isbotlanadi.
Teоremа 2. va binar munosabatlar uchun
tenglik o`rinli.
Isboti: uchun shunday element topiladiki, uning uchun va va bo`ladi. Teorema isbotlandi.