Model is-lm V ekonomickej teórii a hospodárskej praxi

Empirická rola evidencie - teoretické a metodologické predpoklady

„Podľa nadobudnutých poznatkov môžeme vytvoriť rekonštrukciu vývoja modelov IS-LM. Na začiatok treba rozlišovať dve generácie, ktoré majú úplne iný základ. Pri druhej generácii zatiaľ nie je jasné časové obdobie, kedy sa začali prekrývať s prvou generáciu, nakoľko má odlišný základ, odlišné sú hlavne dôsledky pre makroekonomické analýzy a politiky. Prvá generácia je založená na základe všeobecnej rovnováhy, ktorý navrhol Hicks a Samuelson, druhá generácia je založená na mikro-základe náhodnej všeobecnej ekonomickej rovnováhy, ktorú navrhol Lucas a Sarget. Hiksov a Samulesov model všeobecnej ekonomickej rovnováhy je zmysluplný koncept nerovnováhy, ktorý nemusí naplniť o racionálne očakávania, kým v druhom prípade je nerovnováha nezmyselná a očakávania musia byť racionálne. Tieto rôzne fundamenty rozlišujú odlišnú koncepciu a iný rozsah uplatniteľnosti dvoch generácií: v prvom prípade ide o krátkodobé obdobie a ekonomický cyklus, v druhom prípade ide o silnú závislosť postupnosti medzi oboma modelmi. Vo všeobecnosti je možné tvrdiť, že nová generácia modelov IS-LM sa prejaví po veľkých štrukturálnych zmenách v ekonomickom a politickom prostredí: prvá generácia zobrazila reakciu veľkej depresie v tridsiatych rokoch minulého storočia a druhá generácia zobrazila ekonomickú krízu na strane ponuky v sedemdesiatych a začiatkom osemdesiatych rokov minulého storočia. Každá generácia modelov IS-LM charakterizuje mnohé špecifiká ktoré sa môžu značne odlišovať (napríklad pridávať nové parametre a niekedy aj ďalšie endogénne premenné), môžu byť klasifikované podľa štandardných empirických dôkazov (napríklad s krivkou agregátnej ponuky alebo bez nej). Zmena prevádzkovej rutiny je citlivejšia na štrukturálne zmeny menej radikálne ako na tie, ktoré vznikli novou generáciu modelov: pozitívne a normatívne modely IS-LM môžeme použiť ako kompletné zastúpenie hospodárstva v päťdesiatych a šesťdesiatych rokoch minulého storočia, ktoré sa vyznačovalo stabilitou cien a stabilným posunom krivky ponuky. Pridanie tretieho vzťahu, zastúpené stranou agregátnej ponuky po peniazoch, sa v ekonomike etablovala v roku 1960 v dôsledku rastúceho významu na strane ponuky, čo spôsobovalo v ekonomike šoky. Všetky evolučné zmeny, ktoré mali pôvod v ekonomických alebo v politických štrukturálnych zmenách boli zistené s oneskorením asi 5-10 rokov. Hicksov prototyp modelov IS-LM odhalil Keynesov heuristický model stálej ceny, ktorý si kládol za cieľ prezentovať príčiny a navrhnúť opravné opatrenia, ktoré boli vyvolané veľkou depresiou niekoľko rokov predtým, ako spôsobili zrútenie Wall Street. Toto systematické využívanie a jeho jemné doladenie nastalo na konci päťdesiatych rokov minulého storočia a nastolilo stabilný ekonomický rast v priemyselne rozvinutým krajinách. Integrácia tretej rovnice predstavuje obmedzenia celkovej ponuky, ktorá spôsobila v šesťdesiatych rokoch minulého storočia výrazné šoky, ktoré odsunuli používanie modelov IS-LM do úzadia, ale po 10 rokoch nastáva reštart modelov v podaní Philipsovej krivky. Oživenie modelov IS-LM v osemdesiatych rokoch minulého storočia spätne reflektuje takmer jednu dekádu štrukturálnej stability v procese rastu a ceny po turbulenciách v sedemdesiatych rokoch minulého storočia.“ (Vercelli, 1999, s. 16).
Pokiaľ ide o špecifickú kumulovanú rolu, na základe empirických dôkazov daného procesu evolúcie, možno konštatovať, že po sebe nadväzujúce udalosti v určitej časovej následnosti, spôsobujú určitú rutiny, ktorá je veľmi citlivá na nové chápanie dôkazov poskytované oficiálnymi zdrojmi a ekonometrickými modelmi, zatiaľ čo nová rutina môže vzniknúť napríklad na strane ponuky v krátkom období. Nová generácia modelov vyžaduje radikálne zmeny v chápaní dôkazov, ktoré sú založené na úplne nových teoretických a metodologických predpokladoch.

3. Metodológia práce

Základným cieľom praktickej časti diplomovej práce je modelovanie IS-LM-BP modelu využitím nástrojov lineárnej regresie na odhad vplyvu jednotlivých parametrov na celkový výstup skúmanej krajiny. Ako už bolo spomenuté niekoľko riadkov vyššie, predmetom skúmania a využitia IS-LM-BP modelu budú 3 krajiny, konkrétne Slovenská republika, Česká republika a Maďarsko.

V tejto diplomovej práci využijeme viacero štatistických nástrojov, s ktorými sa bližšie zoznámime a vysvetlime ich význam a funkcie. Vzhľadom k charakteru skúmaného problému sa budeme okrem základných štatistických opisných charakteristík zaoberať aj spomínanou lineárnou regresiou, časovými radmi a budeme skúmať rôzne závislosti medzi jednotlivými ukazovateľmi. Pre jednotlivé krajiny postupne budeme odhadovať parametre lineárnej regresie, pričom na to využijeme metódu odhadu najmenších štvorcov a budeme testovať nulovú hypotézu, na základe ktorej sa rozhodneme o štatistickej významnosti modelu.
Na tomto mieste sa môže ponúkať otázka, prečo je dôležité vlastne zostaviť nejaký model, ak vieme, že existuje viacero nepriaznivých vplyvov, ktoré môžu celý výsledok rôznymi spôsobmi skresliť. Odpoveď je jednoduchá. Model, ktorý bude vytvorený a má pevný štatisticko-matematický základ, uľahčuje analytikom ľahšie a presnejšie odhadovať budúci vývoj a tým minimalizovať vynaložené finančné prostriedky. Metódou, ktorá bude predmetným záujmom v našej analýze je regresná analýza. Pre jednoduchšie pochopenie fungovania a významu regresnej analýzy, si priblížime jej podstatu.
Zjednodušene môžeme povedať, že regresná analýza skúma závislosť spojitej veličiny (závislej premennej) na jednej alebo viacerých veličinách (nezávislé premenné). Za závislú premennú považujeme tú premennú, ktorú chceme vysvetliť (napr. HDP) a nezávislú premennú tú, pomocou ktorej vysvetľujeme variabilitu závislej premennej (napr. spotreba domácnosti, vládne výdavky atď. ). Lineárna regresia teda zahŕňa preloženie priamky dátami a analýzu štatistickej vlastnosti tejto priamky.
Lineárna regresia

Nás bude zaujímať viacnásobná (mnohonásobná) lineárna regresia, keďže výstup ekonomiky HDP neovplyvňuje len jedna premenná ale viaceré exogénne premenné. Pri viacnásobnej regresii hľadáme hodnoty závislej premennej Y z lineárnej kombinácie hodnôt viacerých nezávislých premenných. Vzorec pre výpočet lineárnej regresie je nasledovný:

1. 
   _
   

V tomto vzorci Y predstavuje závislú premennú, ktorej hodnoty sa snažíme odhadnúť, „b₀“ je konštanta, hodnoty „b_i“ sú regresné koeficienty„ X_i“ sú hodnoty nezávislých premenných a „e“ je chyba odhadu. Ciele mnohonásobnej regresie sú:

• 
  Vysvetliť rozptyl v závislej premennej Y - k tomu slúži koeficient determinácie R²
  
• 
  Odhadnúť vplyv každej nezávislej premennej X na premennú závislú Y. Vplyv každej nezávislej premennej je odhadovaný tak, že je kontrolované pôsobenie ostatných nezávislých premenných, ktoré vstupujú do modelu. Viacnásobná regresia tak pomáha pomocou štandardizovaných regresných koeficientov (beta) určiť relatívnu silu vplyvu jednotlivých premenných na závislú premennú
  
• 
  Pomocou zostavenia regresnej rovnice prognózovať hodnoty závislej premennej.
  

V rovnici (1) je okrem hodnôt b₀, b₁, y, x uvedená aj náhodná chyba „e“. Bodový odhad náhodnej chyby „e“ sa nazýva rezíduum a vypočítame ho ako suma rozdielov medzi pozorovanou (empirickou) hodnotu premennej Y a teoretickou (vypočítanou, vyrovnanou) hodnotu Y. Táto náhodná chyba je v Obrázku 1 znázornená ako „e_i“.

Graf č. 15 Lineárna regresia a rezíduá

Zdroj: www.edupristine.com

Rezíduum je často vypočítavané ako:

Kde y_i – empirická, pozorovaná hodnota (observed value of y)

ŷ_i – teoretická, vypočítaná (predicted value of y)
To, čo nás zaujíma v rámci lineárnej regresie najviac, je určenie parametrov „b₀“ a „b₁“. Najpoužívanejším spôsobom určenia parametrov „b₀“ a „b₁“ pri rovnice lineárnej regresie je metóda najmenších štvorcov (Ordinary least squares). Pri tejto metóde sa snažíme o minimalizáciu chýb, ktoré predstavujú rozdiely medzi teoretickými (vypočítanými) a empirickými (nameranými, pozorovanými) hodnotami závislej premennej Y. Keďže rozdiely môžu nadobúdať ako kladné, tak aj záporné hodnoty, umocňujú sa na druhú a počítajú sa ich súčty. Hľadáme také hodnoty b₀ a b₁, pre ktoré nadobúda svoju minimálnu hodnotu reziduálny súčet štvorcov (SSE) odchýlok empirických hodnôt závislej premennej od teoretickej hodnoty. Z matematickej analýzy je známe, že bod minima funkcie dvoch premenných môžeme nájsť tak, že parciálne derivácie podľa premenných b₀, b₁ položíme rovné 0.
Základnou podmienkou vykonania regresnej analýzy musí byť splnenie siedmich predpokladov:
1. závislá premenná Y musí byť premenná metrická (teda meraná na intervalovej úrovni). Ak to nie je splnené, musí byť použitá logistická regresia.

2. nezávislé premenné X_i môžu mať buď intervalový alebo dichotomický charakter, keďže mnoho dôležitých nezávislých premenných nemá túto vlastnosť, vytvárajú sa tzv. „dummy“ premenné (napr. ak je odpoveď áno, priradíme hodnotu 1; k odpovedi nie, priradíme hodnotu 0)

3. predpoklad homoskedasticity (homogénnosti rozptylu) – všetky odchýlky náhodných sú rovnaké

4. neexistencia korelácie medzi náhodnými chybami. To znamená, že nesmie vzniknúť multikolinearita.

5. premenné musia byť v lineárnom vzťahu. To znamená, že závislá premenná Y závisí od parametrov b₀ a b₁ lineárnym spôsobom

6. v dátach sa nesmú vyskytovať odľahlé hodnoty (tzv. outliers). Táto podmienka alebo predpoklad sa často označuje aj ako normalita rozdelenie náhodných zložiek. Ak máme dostatočne veľkú vzorku (viac ako 30 pozorovaní), tento predpoklad nás nemusí príliš trápiť z dôvodu platnosti centrálnej limitnej vety.

7. premenné musia byť v lineárnom vzťahu
Splnenie týchto predpokladov lineárnej regresie sa najčastejšie overuje prostredníctvom štatistických testov.
Index determinácie

Mieru vhodnosti použitia modelu budeme skúmať koeficientom determinácie, ktorý udáva časť (percento) variability Y, ktorú je možné pomocou modelu vysvetliť. Inými slovami, pokúsime sa testovať zhodu modelu s dátami. Graficky môžeme význam koeficientu determinácie R² interpretovať nasledovne:

Graf č. 16 Grafické zobrazenie Koeficientu determinácie

Zdroj: www.edupristine.com

Koeficient determinácie R² môžeme vypočítať ako variabilita vysvetlená modelom/celková variabilita. Matematický zápis tohto výpočtu vyzerá nasledovne:
Výsledná hodnota koeficientu determinácie sa pohybuje od 0 do 1, pričom hodnota 1 znamená, že model vysvetľuje všetku závislosť medzi nezávislými a závislými premennými modelu.

Homoskedasticita

Jedným z predpokladov lineárnej regresie je splnenie predpokladu homoskedasticity náhodných chýb. Homoskedasticita znamená, že rozptyl závislej premennej Y je rovnaký pre každú hodnotu nezávislej premennej X. Overenie homoskedasticity sa najčastejšie vykonáva vizuálne – reziduá sa systematicky nezvyšujú ani systematicky neznižujú spolu s rastúcimi odhadovanými hodnotami.

Ako môžeme pozorovať z obrázku 1, na pravej strane je sú konštantné rozptyly, čo poukazuje na homoskedasticitu rozdelenia. Obrázky naľavo nemajú konštantný rozptyl, čo je porušením jedného z predpokladu lineárnej regresie. Homoskedasticitu tak isto budeme testovať Levenovým testom, ktorý nám v podstate vykonáva analýzu rozptylov na reziduách. Využíva pritom premennú.
F-štatistika je následne porovnávaná s kritickou hodnotou F-rozdelenia s (k-1) a (n-k) stupňami voľnosti. V prípade zistenia šikmosti je možné využiť namiesto y̅_i medián. V prípade výraznej špicatosti súboru je namiesto y̅_i možné použiť 10% orezaný priemer. Základom Levenovho testu je stanovenie hypotéz:

• 
  _
  
• 
  _
  

Následne sa stanovia kritické hodnoty a oblasti zamietnutia hypotézy. My nebudeme využívať klasický prístup, kde sa porovnávajú kritické hodnoty s tabuľkovými hodnotami, my budeme porovnávať p-hodnotu. Ak je p-hodnota menšia ako zvolená hladina významnosti α, vtedy zamietame nulovú hypotézu a prijímame alternatívnu hypotézu.

Multikolinearita modelu

Ak sú nezávislé premenné silne lineárne závislé, je význam modelu (aspoň z hľadiska interpretácie dopadu vysvetľujúcich premenných na premennú závislú malý). Vzniká problém multikolinearity. V prípade prítomnosti multikolinearity:

• 
  sú odhady regresných parametrov nepresné
  
• 
  čiastkové t-testy nevedú k zamietnutiu hypotézy o nulových hodnotách regresných parametrov ( a to aj napriek tomu, že vysvetľujúca premenná na vysvetľovanú premennú vplyv majú)
  
• 
  index determinácie je vysoký
  

Riešením multikolinearity je vypustiť niektoré vysvetľujúce premenné. V prípade nášho modelu to však príliš nie je možné, pretože závislá premenná HDP je explicitne daná štyrmi nezávislými premennými. Iným spôsobom je zvýšiť veľkosť výberu, čo je však takisto obmedzené časovou neprítomnosťou dostupných dát. Ako môžeme odhaliť multikolinearitu dát? Jedným zo spôsobov je preskúmať bivariačné korelácie. Vysoké vzájomné korelácie sú väčšinou zdrojom multikolinearity. Orientačným kritériom je, ak aspoň jeden párový korelačný koeficient medzi vysvetľujúcimi premennými je vo výške 0,8.
Iným spôsobom ako preskúmať multikolinearitu je vykonať test multikolinearity. K diagnostike poslúžia údaje o „variable innflation factor“ (VIF) a údaje o tolerancií (tolerance). Ak ukazovateľ Tolerance <0,2 => v modeli je prítomná multikolinearita. Takisto ak ukazovateľ VIF >5 => je prítomná multikolinearita

Tolerancia je ukazovateľom kolinearity a v podstate tvorí doplnok ku koeficientu determinácie. Tolerancia sa vypočíta ako:

Nízke hodnoty tolerancie naznačujú, že premenné, ktoré sú predmetom analýzy sú takmer dokonalou lineárnou kombináciou nezávislých premenných v modeli. Niektorí odborníci odporúčajú, ak je tolerancia <0.1, tak by mal byť model podrobený ďalším úpravám. Ak je nízka hodnota tolerancie sprevádzaná vysokými štandardnými chybami a štatistickou nevýznamnosťou modelu, multikolinearita s a môže stať vážnym problémom modelu.

VIF meria dopad kolinearity medzi premennými v regresnom modeli. Je v podstate recipročnou hodnotou ukazovateľa Tolerancia. Je vždy rovný alebo väčší ako 1. Takisto neexistuje nejaká všeobecne uznávaná hodnota aby sme vedeli presne určiť, či je prítomná multikolinearita. Spomínali sme hodnotu väčšiu ako 5, iní odborníci uvažujú o hodnote VIF >10 ako prejav prítomnosti multikolinearity.
Normalita reziduí

Na testovanie normálneho rozdelenia reziduí sa využíva Jarque-Berov test dobrej zhody. Tento test vychádza z toho, že normálne rozdelenie má šikmosť 0 a špicatosť 3. Šikmosť je ukazovateľom asymetrie rozdelenia okolo strednej hodnoty. Špicatosť vyjadruje plochosť rozdelenia. Empirickým vyjadrením špicatosti je Šikmosť meria symetriu dát a hodnota 0 udáva dokonalú symetriu. Špicatosť vypovedá o plochosti rozdelenia s hodnotou 3 pre normálne rozdelenie pravdepodobnosti. Využitím týchto ukazovateľov sa dostávame k testovacej štatistike Jarque-Berovho testu normality reziduí.

Táto testovacia štatistika vychádza z chí-kvadrát rozdelenia s dvoma stupňami voľnosti. Nulová hypotéza stanovuje, že reziduá majú normálne rozdelenie. Inými slovami sa predpokladá, že šikmosť je 0 a špicatosť 3.
Verifikácia modelu
Základná verifikácia modelov sa uskutočňuje prostredníctvom celkového F-testu a čiastkových t-testov, ktoré sú štandardnými výstupmi viacerých štatistických programov. T-testy sú testy o hodnotách jednotlivých parametrov regresnej funkcie a umožňujú testovať oprávnenosť zotrvania príslušnej funkcie vysvetľujúcej premennej v regresných modeloch. Pri t-testoch si stanovujeme tieto hypotézy:

• 
  _{ (medzi X a Y nie je žiadny vzťah)}
  
• 
  _(medzi X a Y existuje vzťah)
  

Pokiaľ sa ukáže, že pre konkrétne „i“ sa nedá zamietnuť nulová hypotéza, je potrebné zvážiť zotrvanie príslušnej premennej v modeli. Pokiaľ by sa totiž parameter u príslušnej premennej neodlišoval významne od 0, tak takáto premenná do modelu nič nové neprináša a je v ňom zbytočne. Nulovú hypotézu budeme (ne)zamietať pomocou porovnávania p-hodnoty s hladinou významnosti. P-hodnota je maximálna možná hladina testu α, pod ktorú nulovú hypotézu ešte nezamietneme. Ak je p-hodnota < α => zamietame nulovú hypotézu.

F-test sa používa na celkovú verifikáciu modelu a porovnáva vysvetlený a nevysvetlený rozptyl modelu. Inými slovami môžeme tvrdiť, že F-test testuje, či je vysvetľovaná (závislá) premenná Y lineárnou kombináciou vybraných funkcií vysvetľujúcej premennej. Pri F-teste sú stanovené hypotézy:

• 
  _
  
• 
  _
  

Pokiaľ by sme hypotézu nezamietli, znamenalo by to, že model je chybne špecifikovaný. F-test takisto testuje štatistickú významnosť modelu podľa koeficientu determinácie R2.
Nulová hypotéza v tomto prípade určuje štatistickú nevýznamnosť koeficientu determinácie a alternatívna hypotéza hovorí o štatistickej významnosti koeficientu determinácie. Hodnota štatistiky F (spoločná štatistická významnosť všetkých regresných koeficientov ako skupiny) je určujúca pre významnosť jednotlivých koeficientov a preto by F-test mal predchádzať t-testom. Pokiaľ nie sú koeficienty významné ako skupina, je zbytočné zisťovať významnosť pri jednotlivých hodnotách.
F-test si vyžaduje 3 hodnoty:

• 
  Hladinu významnosti
  
• 
  1.stupeň voľnosti – počet regresných koeficientov
  
• 
  2. Stupeň voľnosti – počet dát bez počtu koeficientov určených pre vyrovnávanie
  

3.