Ministério da educação secretaria de educação básica

y = a + bcos (wt + c),
em que 
a, b 
e
 c
 são números reais quaisquer e 
w
 é um número real positivo. 
Observa-se que, apenas variando os parâmetros 
w
 e 
b
 nessa função, podem ser construídas funções 
periódicas de qualquer período e de qualquer amplitude. Ao variar, também, os outros dois parâme-
tros, 
a
 e 
b
,  e, dessa maneira, aumenta-se a classe de fenômenos periódicos que podem ser mode-
lizados pela citada família de funções. Nos livros para o Ensino Médio, observa-se maior atenção ao 
estudo dessa família de funções como modelo para os fenômenos periódicos, o que é elogiável. A 
exploração de softwares de representação gráfica pode auxiliar esse estudo. No entanto, por ser ain-
da incipiente, é desejável que essa tendência seja aprofundada e estendida amplamente, no âmbito 
dos materiais didáticos para essa etapa do ensino.
As equações algébricas do 1° e do 2° graus, que são temas do ensino fundamental, têm sido reto-
madas e aprofundadas no livro do primeiro ano do Ensino Médio, mas nem sempre com a devida 
atenção. De fato, esses tópicos são importantes pelas suas aplicações, ao longo dos três anos, em 
outros conteúdos matemáticos e, mais ainda, em muitos assuntos de outros componentes curricula-
res. Além disso, as citadas equações articulam-se de modo natural com as funções afim e quadrática. 
Também nesse momento, o recurso aos gráficos cartesianos permite importantes conexões entre 
objetos matemáticos distintos e inter-relacionados: função, equação e figura geométrica. A esse res-
6. Pode ser escolhida, com os mesmos objetivos a função 
y = sen t
.

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peito, é indispensável que o estudante compreenda, por exemplo, que dada uma função quadrática 
f
(
x
) = 
ax
2
 + 
bx
 + 
c, a ≠ 
0, o seu gráfico no sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 
x
 e 
y
, é o con-
junto de pontos (
x, y
) tais que 
y
 = 
ax
2
 + 
bx
 + 
c, a ≠ 
0. Tal conjunto de pontos é uma parábola de eixo 
paralelo ao eixo dos 
y 
e diretriz paralela ao eixo dos 
x.
 Reciprocamente, dada qualquer parábola, 
podemos encontrar um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 
x
 e 
y
, no qual a parábola é o 
gráfico de uma função quadrática definida por 
y
 = 
ax
2
 + 
bx
 + 
c, a ≠ 
0.
Desde o primeiro ano do Ensino Médio, uma ferramenta matemática que é útil em outros componentes 
curriculares são os sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Seu estudo pode ser feito 
com simplicidade, nessa etapa, e em conexão com as posições relativas de um par de retas no plano 
cartesiano. Quase sempre, o tratamento das matrizes é feito no 2° ano do Ensino Médio e, em geral, seu 
estudo precede o dos sistemas de equações lineares. Com frequência, para atribuição de significado às 
matrizes, recorre-se às tabelas de dupla entrada, o que é adequado. No entanto, com essa abordagem, 
perde-se a oportunidade de uma contextualização significativa que pode ser estabelecida quando os sis-
temas lineares são trabalhados antes das matrizes. De fato, estas últimas surgem como uma ferramenta 
fundamental na resolução desses sistemas.
Muitos educadores criticam a inclusão de determinantes no Ensino Médio, apoiados no fato de esse 
conceito não ser atualmente uma ferramenta utilizada na resolução de sistemas lineares, por meio de 
programas computacionais, que é feita de modo muito mais eficiente pelo método do escalonamento. 
Outros sugerem que os determinantes sejam um tópico a ser estudado, ainda que na condição de assun-
to opcional. Argumentam que determinantes são essenciais no estudo de matrizes que, por sua vez, são 
ferramentas indispensáveis não apenas na resolução de sistemas lineares, mas em outros campos, como 
a combinatória. Além disso, determinantes podem ser associados à área de triângulos e ao volume de 
paralelepípedos, o que o faz presente na geometria analítica e no cálculo.
A despeito dessas opiniões divergentes sobre determinantes, há maior consenso quando se trata de cri-
ticar a abordagem desse conceito que predomina no nível médio, em que se privilegia o ensino de regras, 
raramente bem justificadas.
Em geral, a articulação entre sistemas lineares e geometria, no caso dos sistemas de equações lineares 2 x 
2 é bem conduzida. Nessas situações, cada equação do sistema representa uma reta no plano cartesiano 
e o sistema terá infinitas soluções, uma única ou nenhuma solução, a depender da posição de uma reta 
em relação a outra: coincidentes, concorrentes ou paralelas distintas.
No entanto, já não é tão simples realizar conexão análoga entre sistemas de equações lineares 3 x 3 e as 
posições relativas de três planos no espaço tridimensional. Uma dificuldade vem de que, comumente, o 
estudo da equação cartesiana de um plano no espaço tridimensional não é feito no Ensino Médio. Em 
face disso, tem prevalecido uma abordagem meramente informativa para relacionar as possibilidades de 
solução de um sistema linear 3 x 3 com as posições relativas de três planos no espaço, o que é insatisfa-
tório do ponto de vista da aprendizagem.

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No que se refere à resolução de sistemas lineares, o método de escalonamento, atualmente o mais in-
dicado, vem recebendo atenção crescente no Ensino Médio. Além disso, a nomenclatura “sistema deter-
minado”, “sistema impossível” e “sistema indeterminado”, poderia, vantajosamente, ser substituída por 
“sistema com uma única solução”, “sistema com infinitas soluções” e “sistema sem soluções”. Afinal, é 
isso que realmente se verifica quando se resolve um sistema pelo método do escalonamento da matriz 
aumentada do sistema.
Apesar de o método de escalonamento ser privilegiado na resolução de sistemas, há muito a avançar no 
ensino desse importante algoritmo para resolver sistemas, na medida em que as abordagens são muitas 
vezes centradas em apenas alguns exemplos, que não abrangem todas as situações possíveis. Além disso, 
um bom tópico opcional, ainda ausente nos livros, poderia ser a comparação entre o emprego de escalo-
namento e o de determinantes, do ponto de vista do número de operações envolvidas em cada um deles.
Nas obras didáticas, uma evolução bem-vinda, mas que ainda não se firmou, é o estudo da conexão das 
matrizes com as transformações geométricas no plano. Em alguns livros são tratados temas igualmente 
instigantes e atuais, como as aplicações das matrizes à computação gráfica e à programação linear. Con-
tudo, no Ensino Médio, a abordagem das matrizes que predomina ainda é muito técnica e fragmentada.
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