Mavzu 1 : Elektr energetika tizimlarining elementlari. Elektr energetika tizimi va tarmoqlari holatlari va unda kechadigan jarayonlar. Elektr energetikaning asosiy masalalari va ularni kompyuterda yechishni tashkil etish

Determinantlar.
Ikkinchi tartibli determinant deb, ikkinchi tartibli kvadrat matritsa elementlari yordamida aniqlanuvchi quyidagi songa aytiladi.



Determinantning bosh diagonalida joylashgan elementlar ko`paytmasidan, yordamchi diagonalda joylashgan elementlar ko`paytmasi ayiriladi.
Uchinchi tartibli determinant deb, uchinchi tartibli kvadrat matritsa elementlari yordamida quyidagicha aniqlanuvchi songa aytiladi. . (1)
Bu formulani eslab qolish uchun uchburchaklar qoidasidan foydalanish mumkin. U quyidagilardan iborat:
Ko`paytmasi determinantga «+» belgisi bilan kiruvchi elementlari quyidagicha joylashadi (2.1-rasm):
2.1-rasm
Bosh diagonalga simmetrik bo`lgan ikkta uchburchak hosil qilinadi. Ko`paytmasi determinantga «-» belgisi bilan kiruvchi elementlar xam, xuddi shu kabi, yordamchi diagonalga nisbatan joylashadi (2.2-rasm):


2.2-rasm
Determinantning asosiy xossalari.
Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.

1. 
   Determinantda mos satrlarni mos ustunlar bilan almashtirilsa, determinantning qiymati o`zgarmaydi.
   

Bu xossani isbotlash uchun yuqoridagi determinantlarga (1) formulani tatbiq etish va olingan ifodalarning tug`riligiga ishonch xosil qilish yetarlidir.

2. 
   Determinantning satr(yoki ustun) elementlari biror songa ko`paytirilsa, determinantning qiymati shu songa ko`paytiriladi, ya’ni
   

Isboti:
Demak,biror satr(yoki ustun) elementlarining umumiy ko`paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin ekan.
Nolli satr(yoki ustun)ga ega bo`lgan determinant nolga teng

Bu xossani isbotlash uchun ikkinchi xossada k=0 deb olish kifoyadir.

3. 
   Ikkita bir xil satr(yoki ustun)ga ega bo`lgan determinant nolga teng.
   

Bu xossani isbotlash uchun determinantga (1) formulani tatbiq etish yetarlidir.

4. 
   Ikkita satr(yoki ustun)i o`zaro proporsional bo`lgan determinant nolga teng.
   

Agar ikkita parallel satrning hadlari proporsional bo`lsa,u holda 2) xossaga asosan, bu satr elementlarinining umumiy ko`paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin natijada ikkita parallel bir xil satr qoladi, bu esa 4) xossaga asosan nolga teng.

5. 
   Determinantda ikkita satr(yoki ustun)i o`zaro almashtirilsa, uning qiymati
   

(-1)ga ko`paytiriladi.

Bu xossa 1) xossa kabi isbotlanadi.

6. 
   Agar determinantning biror satr(yoki ustun)ining har bir elementi ikkita qo`shiluvchining yig`indisidan iborat bo`lsa,u holda bu determinant ikki determinant yig`indisidan iborat bo`ladi.
   

Bu xossa determinantlarga (1) formulani qo`llash orqali tekshiriladi.

7. 
   Determinantning biror satr(yoki ustun) elementlarini biror songa ko`paytirib, ikkinchi satr(yoki ustun)ning mos elementlariga qo`shilsa, determinantning qiymati o`zgarmaydi.
   

Bu xossani tenglikning chap tomoniga 7) va 5) xossalarni qo`llab tekshirish mumkin.
Yuqori tartibli determinantlar.
n - tartibli kvadrat matritsani, ya’ni n - ta satr va n - ta ustundan iborat bo`lgan quyidagi jadvalni qaraymiz:

Bu matritsaning n- tartibli determinanti deb bunday belgilanadigan songa aytiladi:

Uchinchi tartibli determinantning barcha xossalari n- tartibli determinant uchun ham o`rinlidir,
Amaliyotda yuqori tartibli determinantlarni satr yoki ustun bo`yicha yoyishdan foydalanib hisoblanadi. Ustun yoki satr bo`yicha yoyish natijasida determinantning tartibi pasaytiriladi va natijada uni uchinchi tartibli determinantga olib kelish mumkin.
Misol .
4- tartibli determinantni xisoblansin

2	-5	1	2
- 3	7	-1	4
5	-9	2	7
4	- 6	1	2

A=

Yechish. Determinantni shunday almashtiramizki, natijada bir ustun yoki satrda to`rtta elementdan uchtasi nolga aylansin Buning uchun 8-xossadan foydalanamiz. Agar determinantda ± 1 ga teng element bo`lsa, bu xossani qo`llash juda o`rinli bo`ladi. SHunday element sifatida a<sub>13</sub> = 1 elementni tanlaymiz va uning yordamida 3-chi ustunning qolgan barcha elementlarini nolga aylantiramiz.
SHu maqsadda:
a) 2- satr elementlariga ularga mos 1- satr elementlarini qo`shamiz;
b) 1- star elementlarini 2 ga ko`paytirib 3- satr elementlaridan ayiramiz.
v) 4- satr elementlaridan 1- satr elementlarini ayiramiz.
Natijada quyidagi determinantni hosil qilamiz.

Hosil qilingan determinantning 3- ustun bo`yicha yoyamiz

Bu determinantning 2-chi satr elementlarini 2-ga kupaytirib, 1-chi satr elementlaridan ayiramiz.

Bu determinantni 1-satr elementlari bo`yicha yoyib natijani hosil qilamiz

Teskari matritsa.
Agar ∆_a = 0 bo`lsa A kvadrat matritsa xos matritsa, Bo`lsa, xosmas matritsa deyiladi.
Agar A ∙A^-1= A^-1 ∙A = E kabi bo`lsa, A<sup>-1</sup> kvadrat matritsa, ushanday tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa deyiladi. Berilgan matritsaga teskari matritsa mavjud bo`lishi uchun, berilgan matritsaning xosmas bo`lishi zarur va yetarlidir. Teskari matritsa quyidagi formuladan topiladi:

Misol:

matritsaga teskari matritsani toping

Yechish: Birinchi ustun bo`yicha yoyib A matritsaning determinantini hisoblaymiz.

Demak, A matritsaga teskari matritsa mavjud.
A matritsaning algebraik to`ldiruvchilarini topamiz:

Natija quyidagicha ko`rinish oladi:



Matritsalar ustida chiziqli amallar.
Matritsalarni qo`shish. Bir xil m x n ulchamli A va B matritsalarning yig`indisi deb, xuddi shunday o`lchamli C matritsaga aytiladiki, bu matritsaning har bir elementi A va B matritsalarning mos elementlarining yig`indisidan iborat bo`ladi:

Matritsani songa ko`paytirish. Matritsani songa ko`paytirish deb, o`lchami berilgan matritsa o`lchamiga teng bo`lgan, har bir elementi berilgan matritsa elementini berilgan songa ko`paytirishdan hosil bo`lgan matritsaga aytiladi.