Matematikadan olimpiada masalalari

Yechimi: Masala shartiga ko’ra 1+np=k², . Bundan np=k²-1, va p-tub son bo’lganligi sababli yoki bo’ladi. Faraz qilaylik bo’lsin, ya’ni k-1=pt, bo’lsin. U holda,
ekanligini aniqlaymiz.

4. 
   ABC uchburchakning BB₁ va CC₁ bissektrisalari I nuqtada kesishadi. B₁C₁
   

to’g’ri chiziq ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylanani M va N nuqtalarda kesib o’tadi. MIN uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusidan ikki marta katta ekanligini isbotlang.
Yechimi: ABC uchburchakning AI, BI, CI bissektrisalari tashqi chizilgan aylana bilan mos ravishda A₀, B₀, C₀ nuqtalarda kesishsin. B₀ va C₀ nuqtalar mos ravishda AC va AB yoylarning o’rtalari bo’ladi.

A nuqta orqali B₀C₀ to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazsak, bu chiziq bissektrisalarni I_B va I_C nuqtalarda kesib o’tadi. ekanligidan B₀AI-teng yonli uchburchak ekanligi ma’lum bo’ladi (B₀A=BI).

Shu kabi, C₀A=C₀I ekanligini ham ko’rsatish mimkin. Bundan B₀AC₀ va B₀IC₀ uchburchaklarning tengligi kelib chiqadi. B₀C₀ kesma AI ning o’rta perpendikulyari ekanligidan, AI kesma II_BI_C uchburchakning balandligi bo’ladi. Bundan B₀C₀ kesma II_BI_C uchburchakning o’rta chizig’I ekanligini aniqlaymiz. Tashqi chizilgan aylana radiuslari uchun quyidagi tengliklarni yozamiz:
.
Endi M va N nuqtalarning II_BI_C uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotishini ko’rsatish yetarli. Bilamizki, .
Demak, A, I, C, I_B nuqtalar bitta aylanada yotadi. Bundan bo’ladi. Boshqa tomondan esa, bo’lib, bundan A, M, C, N nuqtalarning bitta aylanada yotishi kelib chiqadi. Natijada tenglik va I_B nuqta IMN uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotishi kelib chiqadi. I_C nuqtaning ham aylanada yotishi shu kabi ko’rsatiladi.